Armando tiene una casa en un terreno de 10 m de frente por 10 m de fondo. ¿Cuál es el área del terreno de Armando?

La superficie del terreno de Armando es igual al número de cuadritos que cabe en su interior. Cada cuadrito mide un metro de cada lado, o sea, es un cuadrado de 1 m por 1 m.

m1 • m1 = m(1+1) = m2

Al multiplicar a una cantidad o letra por ella misma se dice que la cantidad se elevó al cuadrado, lo que se indica con un número pequeño arriba de la letra o cantidad. A este numerito se le llama exponente, y a la cantidad o letra se le llama base.

Una cantidad sin un numerito arriba o exponente es lo mismo que si tuviera exponente 1. m = m1

Para conocer la superficie del terreno de Armando, se pueden seguir dos caminos:

1. Contar el número de cuadritos de 1 m² que caben en él.

área de un cuadrado = lado por lado

2. Multiplicar los metros del frente (10) por los metros de fondo (10).

(10m) · (10m)= 10⁽¹⁺¹⁾m⁽¹⁺¹⁾ = 10²m² = 100 m²

Como las letras pueden representar cantidades, también una letra puede elevarse a un exponente y ello indica cuántas veces debe multiplicarse por sí misma.

Los exponentes o el producto de varias literales multiplicadas por ellas mismas se utiliza mucho en el cálculo de las superficies y de los volúmenes.

Ejemplo

En el terreno de Armando se tiene que el 10 se elevó al cuadrado, esto quiere decir que se multiplicó por sí mismo una vez.

Si se tuviera 2² (dos al cuadrado), quiere decir que el dos debe multiplicarse por sí mismo.

2 · 2 = 2¹⁺¹ = 2² = 4

De la misma manera se procederá cuando se eleva el 4 al cuadrado (4²).

4² quiere decir que el 4 se multiplica por otro 4:

4 · 4 = 4¹⁺¹ = 4² = 16 

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Un número con exponente se puede sumar, restar, multiplicar o dividir con otro número igual, con o sin exponente.

Ejemplos

2² + 2² = (2 · 2) + (2 · 2) = 4 + 4 = 8
2³ - 2² = (2 · 2 · 2) - (2 · 2) = 8 - 4 = 4

Observe que cuando se suman o restan los números con exponentes, los exponentes no se suman.

Cuando dos números con exponentes se multiplican, los exponentes se suman.

Ejemplos

2² · 2² = (2 · 2) · (2 · 2) = 4 · 4 = 16

Las operaciones anteriores también se pueden presentar de la siguiente manera:

Así también se puede hacer la siguiente operación:

Observe que sumar literales con exponentes es muy diferente a multiplicar literales con exponentes.

Si una expresión con exponentes se divide entre otra expresión con exponentes, el resultado se obtiene restando los exponentes, en las mismas variables o letras.

Ejemplos

Cuando se divide una literal o cantidad elevada a un exponente entre esa misma literal o cantidad elevada a otro exponente, los exponentes se restan.

Ejemplos

Recuerde que para hacer la división, las literales deben ser las mismas en el numerador y en el denominador.

El último caso se comprueba con las siguientes operaciones:

El volumen de un cubo es igual a elevar uno de sus lados al cubo (L³). ¿Cuál será el volumen de un tinaco que tiene forma de cubo si cada uno de sus lados mide 1.1 m?

Como en el problema se indica que el volumen de un cubo se obtiene al elevar uno de sus lados al cubo, se tiene lo siguiente:

Con lo anterior se puede saber que el volumen o capacidad de un tinaco con lados de 1.1 m es de 1.331 metros cúbicos.

Problema

La superficie de un círculo se obtiene al multiplicar (Pi) por el cuadrado de su radio. Si se tiene una superficie circular con radio de 3 m, ¿cuál será su área?

El volúmen de una pirámide de base cuadrada es igual al área de su base multiplicada por (un tercio) de la altura. ¿Cuál será el volumen de una pirámide como la que se muestra en el dibujo?

El volúmen de la pirámide es de 0.0665 m³.

Observe cómo en la fórmula se elevó la longitud de un lado de la base al cuadrado, lo que dio metros cuadrados (m²) y luego esos metros cuadrados se multiplicaron por de la altura que también está en metros, lo que generó metros cúbicos.

m² · m = m⁽²⁺¹⁾ = m³

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