Cómo encontrar una tasa de cambio promedio

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La tasa de cambio promedio, la cual está representada por el símbolo "A(x)", mide el ritmo promedio al cual un elemento cambia en relación con otro elemento cambiante. También puedes usar este concepto para determinar la tasa de cambio de una función matemática, las tasas de cambio promedio de ciertas cualidades físicas (por ejemplo, la velocidad es simplemente la tasa de cambio promedio de la posición de un objeto) y las tasas de crecimiento promedio de las plantas y los animales.

Método 1

Método 1 de 3:

Calcular la velocidad promedio

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Establece la fórmula para obtener la velocidad promedio. Si quieres determinar la velocidad promedio sin un velocímetro, puedes calcularla obteniendo algunas medidas básicas. Por ejemplo, puedes encontrar la velocidad promedio de un objeto dividiendo el cambio en la posición entre el cambio en el tiempo, lo cual se expresa matemáticamente de la siguiente forma:^{[1]
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Fuente de investigación}
- ${\text{Velocidad}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}$
- $\Delta x$ corresponde al cambio en la posición del objeto o a la distancia que se haya desplazado y $\Delta t$ corresponde al cambio en el tiempo.
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Establece la posición inicial del objeto. La velocidad promedio se calcula dividiendo el cambio en la posición de un objeto a lo largo de un determinado periodo de tiempo, por lo que lo primero que debes hacer es establecer a partir de dónde empezarás a medir el desplazamiento del objeto.^{[2]
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Fuente de investigación}
- Por ejemplo, para calcular la velocidad promedio del trayecto de tu casa a la escuela a pie, debes empezar a medir el trayecto en tu casa.
- No es necesario utilizar la posición en donde empiece realmente el trayecto. Por ejemplo, para calcular la velocidad promedio de un auto de carreras, su posición inicial puede ser cualquier lugar de la pista.
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Mide la distancia desde la posición inicial hasta la posición final del objeto. Puedes usar cualquier distancia o periodo de tiempo para calcular la velocidad promedio; simplemente debes tener en cuenta la precisión de tus instrumentos de medición. Es decir, si vas a calcular la velocidad promedio de un corredor, la distancia debe tener una precisión de más o menos algunos centímetros, mientras que, si vas a calcular la velocidad promedio de un auto de carreras, la distancia debe tener una precisión de más o menos una cierta cantidad de metros.^{[3]
X
Fuente de investigación}
- Por ejemplo, si quieres calcular la velocidad promedio del trayecto de tu casa a la escuela, determina la distancia recorrida usando un mapa o desplazándote a lo largo de esa distancia en un auto equipado con un odómetro. Imagina que la distancia resultar ser de 1 km (0,6 millas).
- Si vas a calcular la velocidad promedio de un auto de carreras, imagina que cada vuelta de la pista mide 4 km (2,5 millas). Por tanto, independientemente de dónde empieces a calcular el trayecto del auto, cada vez que pase por el mismo lugar habrá recorrido 4 km (2,5 millas).
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Mide el tiempo transcurrido. Para calcular la velocidad promedio, debes medir el tiempo que transcurre mientras el objeto se desplaza desde su posición inicial hasta su posición final. Nuevamente, la precisión de estas mediciones dependerá del cálculo que vayas a realizar. Es decir, si vas a calcular la velocidad promedio de un corredor, debes medir el tiempo con una precisión de hasta décimas o centésimas de segundo usando un cronómetro, mientras que, para calcular la velocidad promedio de un auto de carreras, solo necesitarás usar la manecilla de los segundos de un reloj.^{[4]
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Fuente de investigación}
- Siguiendo el ejemplo de calcular la velocidad del trayecto de tu casa a la escuela, un reloj de pulsera será suficiente para medir el tiempo. Por tanto, imagina que el trayecto toma 15 minutos.
- Siguiendo el ejemplo del auto de carreras, puedes usar un cronómetro o un reloj regular para medir el tiempo que le toma al auto realizar una vuelta completa a la pista. Imagina que un auto a una velocidad relativamente alta realiza una vuelta en 45 segundos.
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Calcula la velocidad promedio. Una vez que tengas todas las medidas necesarias, debes reemplazarlas en la fórmula establecida anteriormente para calcular la velocidad promedio. Asegúrate de que las unidades de la velocidad sean coherentes con las de las medidas individuales de distancia y tiempo.^{[5]
X
Fuente de investigación}
- En el ejemplo del trayecto de tu casa a la escuela, se estableció que la distancia era de 1 km (0,6 millas) y que recorrerla tomaba 15 minutos. Reemplaza los valores en la fórmula de la siguiente manera:
  - ${\text{Velocidad}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}={\frac {1}{15}}=0,07$ km/minuto (0,04 millas/minuto).
- En el ejemplo del auto de carreras, se estableció que este recorría 4 km (2,5 millas) en 45 segundos. Reemplaza los valores en la fórmula de la siguiente manera:
  - ${\text{Velocidad}}={\frac {\Delta x}{\Delta t}}={\frac {4}{45}}=0,09$ km/segundo (0,0556 millas/segundo).
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Convierte las unidades según corresponda. Es posible que las unidades del resultado final no sean las que más te convengan, por lo que puedes cambiarlas multiplicándolas por un factor de conversión.
- Por ejemplo, la velocidad en el contexto de los autos de carreras por lo general se expresa en kilómetros por hora, no por segundo. Por tanto, puedes convertir la velocidad a kilómetros por hora multiplicándola por un factor de 3600, ya que una hora tiene 3600 segundos.^{[6]
  X
  Fuente de investigación}
- $0,09{\text{ km por segundo}}*3600{\text{ segundos por hora}}=324{\text{km/h}}$ (200,16 millas por hora).
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Método 2

Método 2 de 3:

Calcular la tasa promedio de crecimiento

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Establece la fórmula para calcular la tasa de crecimiento. Puedes encontrar el cambio en la altura o el peso de las plantas o los animales y dividirlo entre el cambio en el tiempo para determinar la tasa de crecimiento. Matemáticamente, esta fórmula se expresa de la siguiente forma:^{[7]
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Fuente de investigación}
- ${\text{Tasa}}={\frac {\Delta h}{\Delta t}}$ o ${\frac {\Delta p}{\Delta t}}$
- En este caso, $h$ y $p$ corresponden a la altura (por su inicial en inglés) o al peso, respectivamente, y $t$ corresponde al tiempo transcurrido.
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Determina el transcurso de tiempo durante el cual quieras medir la tasa de crecimiento. Por ejemplo, solo necesitarás apenas unas horas para medir los cambios en ciertas plantas de crecimiento rápido, como el bambú asiático. En cambio, si quieres calcular la tasa de crecimiento de un niño, necesitarás como mínimo varios meses o hasta años. Por tanto, elige el transcurso de tiempo más apropiado para el cálculo que vayas a realizar.^{[8]
X
Fuente de investigación}
- Por ejemplo, imagina que una clase de primaria realiza una actividad en la que los estudiantes plantan semillas de frijol. Si el punto de partida para la medición es apenas empiece a germinar la planta, puedes determinar un transcurso de tiempo razonable de aproximadamente un mes contabilizado en días.
- Por otro lado, si un grupo de científicos quisiera calcular la tasa de crecimiento de un elefante bebé, la medirían en el transcurso de sus primeros 90 días de edad.
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Determina la altura o el peso inicial. Para poder medir la tasa de crecimiento, debes establecer un punto de partida que constituya la primera medida que tomarás.^{[9]
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Fuente de investigación}
- Siguiendo el ejemplo de las plantas de frijol, dado que los estudiantes decidieron empezar la medición el día en que aparecieran los primeros brotes, el tamaño inicial será de 0 cm.
- Siguiendo el ejemplo del elefante bebé, lo más probable es que los veterinarios hayan pesado al elefante cuando nació. Imagina que pesó 90 kg (200 libras).^{[10]
  X
  Fuente de investigación}^{[11]
  X
  Fuente de investigación}
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Mide la altura o el peso final. Deja que transcurra el tiempo establecido y luego mide la altura o el peso del objeto de estudio.^{[12]
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Fuente de investigación}
- En el caso de las plantas de frijol, imagina que, al culminar el trigésimo día del mes establecido, estas tenían una altura promedio de 60 cm (24 pulgadas). Por tanto, debido a que la altura inicial fue de 0 cm, estas crecieron un total de 60 cm (24 pulgadas).
- En el caso del elefante, imagina que, al culminar el nonagésimo día del periodo establecido, se encontró que este pesaba 180 kg (400 libras).
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Reemplaza estos valores en la fórmula para la tasa de crecimiento. Reemplaza los valores que hayas obtenido a partir de tus mediciones en la fórmula establecida para encontrar la tasa de crecimiento.
- Siguiendo el ejemplo de las plantas de frijol, la fórmula se verá así:
  - ${\text{Tasa}}={\frac {60{\text{cm}}}{30{\text{días}}}}=2{\frac {\text{cm}}{\text{ día}}}$ (0,8 pulgadas al día).
- Siguiendo el ejemplo del elefante, primero debes encontrar la diferencia en el peso:
  - ${\text{Tasa}}={\frac {180-90{\text{kg}}}{90{\text{ días}}}}$
  - ${\text{Tasa}}={\frac {90{\text{kg}}}{90{\text{ días}}}}$
  - ${\text{Tasa}}=1{\frac {\text{kg}}{\text{día}}}$ (2,22 libras al día)
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Método 3

Método 3 de 3:

Calcular la tasa de cambio de una función

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Establece la función para la cual realizarás el cálculo. Las funciones son relaciones matemáticas entre los números. Es decir, si reemplazas un número en la función, esta dará como resultado otro número. Por lo general, puedes graficar las funciones, lo cual te dará diferentes formas, como líneas rectas, parábolas o curvas sin una definición aparente.^{[13]
X
Fuente de investigación}
- Estos son algunos ejemplos de funciones:
  - $y(x)=3x+4$ (línea recta)
  - $y(x)=sin(x)$ (onda)
  - $y(x)=x^{2}$ (parábola)
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Determina los valores de x. Para determinar la tasa de cambio de una función, debes determinar el resultado de la función para dos valores diferentes de x. Por tanto, debes elegir un valor inicial y un valor final de x dependiendo de cuán grande quieras que sea la diferencia entre ambos.
- Esta diferencia dependerá en gran medida del tipo de cálculo que quieras realizar. Para este ejercicio, el valor inicial de x será 0 y el valor final será 3.
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Calcula el resultado de la función para cada valor de x. En realidad, la tasa de cambio de la función mide el cambio en los resultados (es decir, los valores de y) a lo largo del rango de valores de x que hayas establecido. Por tanto, debes obtener los valores de y que correspondan a los valores inicial y final de x.^{[14]
X
Fuente de investigación}
- Por ejemplo, x = 0 y x = 3 fueron los valores elegidos para la función $y(x)=x^{2}$ $y(x)=x^{2}$ . Entonces, los valores de $y(x)$ $y(x)$ que corresponden a cada uno de ellos son:
  - $y(0)=0^{2}=0$
  - $y(3)=3^{2}=9$
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Calcula la tasa de cambio promedio de la función. Puedes expresarla de la siguiente forma:^{[15]
X
Fuente de investigación}
- $A(x)={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}$
- $f(x)$ corresponde al resultado de la función para el primer valor de x, $f(x+h)$ corresponde al resultado de la función para el segundo valor de x y $h$ corresponde a la diferencia entre ambos valores de x.
- También puedes expresar $h$ como $\Delta x$ , ya que, básicamente, corresponde al cambio en los valores de x.
- En el caso de la función $y(x)=x^{2}$ $y(x)=x^{2}$ , la tasa de cambio promedio entre los valores de x 0 y 3 puede calcularse de la siguiente forma:
  - $A(x)={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {9-0}{3-0}}=3$ .
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Interpreta los resultados. En este ejemplo particular, la tasa de cambio mide el cambio vertical en la función conforme esta se desplaza horizontalmente a lo largo del eje x. Según el cálculo realizado, la función $y(x)=x^{2}$ $y(x)=x^{2}$ empieza en (0,0) y termina en (3,9) a lo largo del rango establecido. En el caso de las funciones que no produzcan una línea recta al graficarlas, la tasa de cambio promedio constituye la pendiente de la línea recta que se puede dibujar entre estos dos puntos, la cual, en esta función, es un incremento de 3 unidades de y por cada unidad de x.^{[16]
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Fuente de investigación}
- La tasa de cambio promedio puede variar según el lugar en donde la midas. Por ejemplo, si bien la tasa de cambio promedio fue de 3 entre x = 0 y x = 3 en la parábola anterior, el mismo rango de valores de 3 unidades entre x = 3 y x = 6 producirá una tasa de cambio promedio de 8,33.
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Consejos

Siempre debes prestar atención a las unidades del cálculo que vayas a realizar.
Si estudias cálculo, aprenderás a obtener la tasa de cambio instantánea de una función por medio de su derivada. Esto te permitirá encontrar la tasa de cambio en cualquier instante en lugar de como un promedio calculado a lo largo de un rango de valores de x o de un determinado periodo de tiempo, lo que significa que, en teoría, el rango de valores de x es 0. Puedes leer el artículo Cómo calcular derivadas para encontrar más información.

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