CÁLCULO DE LA TENSIÓN DE FLUENCIA EN
ACEROS DEFORMADOS EN CALIENTE

L. Béjar¹, C. A. Hernández² y J. E. Mancilla²

1. Universidad Michoacana de San Nicolás de Hidalgo, Morelia, Mich., México.
2. Centro de Investigación en Materiales Avanzados, S. C. Chihuahua, Chih. México.
*lbgomez@zeus.ccu.umich.mx

Resumen

Se ha desarrollado un modelo matemático para la predicción de la curva de fluencia de la austenita deformada en aceros de baja aleación. Las ecuaciones constitutivas tienen en cuenta los mecanismos gobernantes durante la deformación plástica -responsables de la forma de la curva- y emplea las variables de proceso y la composición química del acero. Para una demostración de su precisión, el modelo propuesto se ha comparado con las curvas de fluencia clásicas de Cook en condiciones hasta dos órdenes de magnitud mayores a las empleadas para su desarrollo, encontrándose satisfactoria.

Palabras clave: Aceros, modelización matemática, curva tensión-deformación, Zener-Hollomon.

Abstract

A mathematical model for the prediction of the flow curve of the hot deformed austenite in low alloy steels has been developed. The constitutive equations take into account the governing mechanisms during the plastic deformation -respon-sible of the form of the curve- and it uses the process variables and the chemical composition of the steel. For a demonstration of its precision, the proposed model has been applied to the classical flow curves of Cook in conditions up to two orders of magnitude with respect to those used for its development, being satisfactory.

Keywords: Steel, Mathematical Modelization, Stress-Strain Curve, Zaner-Hollomon.

 

1. Introducción

Cuando el acero se deforma a temperaturas elevadas, la fase austenítica muestra una curva de fluencia la cual es resultado de los mecanismos de endurecimiento por deformación contrarrestado por un ablandamiento dinámico [1]. Al inicio de la deformación, el endurecimiento por deformación es un fenómeno que caracteriza al incremento de la densidad de dislocaciones y un aumento en la tensión de fluencia. A medida que aumenta la densidad de dislocaciones, la restauración dinámica es el mecanismo de regeneración de la estructura por el cual se aniquilan y reordenan las dislocaciones formando límites de subgranos. En aquellos metales que tienen fallas de apilamiento altas este proceso es relativamente lento, conduciendo a un más rápido incremento en la densidad de dislocaciones con la deformación. Este proceso continúa hasta que se alcanza un nivel crítico de densidad de dislocaciones después del cual nuclean granos nuevos equiaxiales libres de deformación (recristalización dinámica), preferencialmente en los límites de granos originales.
A velocidades de deformación relativamente grandes, típicas de las condiciones de laminación, la nucleación de granos recristalizados es muy grande, pero a medida que crecen se deforman y por tanto son endurecidos. De esta manera, la densidad de dislocaciones aumenta en su interior y disminuye la fuerza impulsora para el deslizamiento de los límites de grano, hasta que se detiene el crecimiento cuando los granos adquieren un tamaño característico, que es mucho más pequeño que el grano original. Esta nucleación y crecimiento produce un "collar" de granos nuevos y pequeños alrededor de los límites de grano originales. Para que continúe la recristalización dinámica deben nuclear granos nuevos y crecer hasta el tamaño característico. El proceso se repite hasta que se logra una condición de régimen donde la velocidad con la cual nuclean y crecen granos nuevos y pequeños es aproximadamente igual a la velocidad con la cual endurecen por deformación y se detiene el crecimiento de los granos. El tamaño así conseguido es independiente de la magnitud de la deformación. La naturaleza térmicamente activada de estos fenómenos de ablandamiento dinámico o de regeneración de la estructura son, por tanto, dependientes de la temperatura y de la velocidad de deformación [2].
El propósito de esta publicación, es mostrar los resultados obtenidos para la modelización de la curva de fluencia, a partir de ensayos de torsión en caliente, de una serie de aceros C-Mn, sujetos a distintas velocidades de deformación (0.54 a 5.22 s-1), temperaturas (900° a 1100° C), tamaños de grano y contenidos de C, Mn y Si. Para ello se propone una ecuación constitutiva que calcula la tensión de fluencia en la región de endurecimiento por deformación y restauración dinámica dado que los modelos más comúnmente empleados trabajan con una ecuación de tipo Avrami que da soluciones erróneas cuando se deforma el acero a valores de Z/A elevados. La ecuación propuesta corrige esta mala solución gráfica siendo capaz de predecir con mayor precisión la región de endurecimiento. Esta capacidad de predicción se ha validado con las curvas de fluencia experimentales más empleadas para la determinación de la tensión de fluencia en aceros deformados en caliente, publicadas por Cook [3].

2. Metodología experimental

Se fabricaron una serie de aceros de tipo C-Mn cuyas composiciones químicas (Tabla 1) se eligieron para estudiar el efecto de cada elemento sobre la tensión de fluencia. Para ello se variaron los contenidos de C, Mn y Si, pero manteniendo aproximadamente constantes los contenidos del resto de los elementos.
Los lingotes de acero así fabricados fueron tratados térmicamente a 1200° C por dos horas. Posteriormente fueron forjados para eliminar tanto estructura de colada como las porosidades de fundición y se dio otro tratamiento térmico a 1200° C durante 30 minutos para volver a homogeneizar la microestructura. Se cortaron muestras para los análisis químicos y térmicos y el mecanizado de probetas para los ensayos de torsión en caliente.
En la misma Tabla 1 se presentan los valores de las temperaturas de transformación de γ→α, que han sido medidas en un dilatómetro, calentando y enfriando a velocidades de 0.2 °C/s.
Las probetas de torsión fueron mecanizadas según las dimensiones de probetas estándar (radio de 3 mm y longitud útil de 50 mm). Los ensayos de torsión en caliente se realizaron en una máquina automatizada a temperaturas entre 900°, 1000º y 1100° C y velocidades de deformación de 0.54, 1.45, 3.63 y 5.22 s^-1. Las curvas experimentales que da la máquina de torsión (par de torsión, en N-m, frente al numero de giros) se convirtieron a magnitudes equivalentes o eficaces empleando las ecuaciones publicadas por Faessel [4]. Se templaron algunas probetas para determinar el tamaño medio de grano austenítico (Tabla 1).

Tabla 1: Composición química, temperatura de transformación Ar₃ y tamaño medio de grano de aceros.

Para el desarrollo del modelo se escogieron dos de los ocho aceros para tener 24 datos de Z/A, ya que cada acero se ensayó a cuatro velocidades de deformación por temperatura (tres temperaturas distintas).

3. Ecuaciones constitutivas

Cuando se deforma en caliente la austenita, la tensión de fluencia es una función de la deformación, la velocidad de deformación, la temperatura, el tamaño de grano y la composición química del acero. Sellars y Tegart [5] han propuesto una relación de la forma:

(1)

siendo ε la velocidad de deformación; σ_p la tensión máxima; A, α, n parámetros independientes de T y Q la energía de activación [kJ/mol], y R la constante universal de los gases. La ecuación (1) es la base de la definición del parámetro de Zener-Hollomon Z:

(2)

Q se determina o bien en términos de ln ε -a tensión constante- o del ln(senh α σ) -a velocidad de deformación constante- frente al recíproco de la temperatura 1/T [6]. Se calcula con el modelo de Hernández [7] como Q = 267000 - 2535.52 ( %C) + 1010 ( %Mn) + 33620.76 ( %Si) [MPa]. A es un parámetro de significado complejo que tiene unidades de s^-1 y que depende de la energía de activación: A = [12.197 + 65.59 (%C)] exp.(7.076 x 10-5 Q) [7]. σ_p es la tensión de fluencia máxima de la curva experimental en MPa, la cual es función del tamaño de grano inicial y del parámetro adimensional Z/A. Las constantes α y n valen 0.011875 MPa-1 y 4.458, respectivamente [7].
De esta forma, la dependencia de la tensión de fluencia se simplifica al reducirse el efecto de la temperatura y la velocidad de deformación a uno solo: el parámetro adimensional Z/A, por lo cual se puede deducir que cualquier expresión funcional que se proponga explícitamente también será función de Z/A.
Para la región de la curva de fluencia que crece monotónicamente hasta antes de la tensión máxima, se encuentra en la literatura una relación simple de tipo potencial [8]:

(2)

Sin embargo durante la deformación en caliente del acero, la magnitud de la tensión de fluencia no sólo depende del tamaño de grano inicial y los parámetros de la deformación, sino también de cambios microestructurales, los cuales son causados por una combinación de mecanismos de endurecimiento por deformación atérmico y de ablandamiento dinámico activados térmicamente. La evidencia experimental permite inferir el efecto que estos mecanismos tienen sobre la forma de la curva:

· Curvas de fluencia cuyo fenómeno de endurecimiento esta compensado por una regeneración de la microestructura al formarse subestructuras dinámicamente (restauración dinámica) sin que se alcance nunca un valor crítico de densidad de dislocaciones que active el mecanismo de recristalización dinámica.
· Curvas de fluencia donde la formación alcanza el valor crítico para que ocurra la recristalización dinámica, mostrando la curva un máximo que después disminuye hasta alcanzar un valor de régimen dado por el equilibrio entre los fenómenos de endurecimiento y de ablandamiento dinámico de los granos recristalizados.

La zona de la restauración dinámica de la curva de endurecimiento se puede evaluar con:

(4)

Por tanto, se propone la combinación de las ecuaciones (3) y (4) para el cálculo de la tensión de fluencia en las zonas de endurecimiento y de restauración:

(5)

Esta ecuación constitutiva contrasta con la relación mas aceptada en la mayoría de los modelos propuestos [9], la cual es una expresión de tipo Avrami típica de fenómenos cinéticos:

(6)

A valores de Z/A elevados (equivalente a deformaciones realizadas a temperaturas bajas y velocidades de deformación elevadas), la ecuación (6) presenta un comportamiento gráfico a deformaciones menores a 0.1 que no tiene sentido físico: A una determinada temperatura y velocidad de deformación constantes, la pendiente de la curva de endurecimiento es inusualmente menor con respecto a la pendiente de una curva a una velocidad de deformación mas pequeña, cuando la evidencia experimental -que fundamentalmente transcurre bajo condiciones adiabáticas- muestra que a mayor velocidad de deformación, mayor es el endurecimiento por deformación y por tanto la pendiente de la curva debe ser mayor a la mostrada por una curva a velocidad de deformación menor. Sin embargo, cabe la posibilidad de que la mala solución grafica se deba a problemas de ajuste matemático de los parámetros c y n de la ecuación (6).
Algo más puede decirse de las propiedades en el límite de la ecuación (5). Por un lado, este tipo de expresión presenta error cuando la deformación es igual a cero y tiene un máximo a un valor de deformación igual a ln(C)/n. Sin embargo, la magnitud de la tensión de fluencia tiende a cero a medida que la deformación tiende a cero y este comportamiento da al modelo un sentido físico aun cuando matemáticamente sea indefinida a deformación cero. Con respecto al máximo se puede decir que las pendientes de la curva alrededor del máximo de la curva de fluencia son tan pequeñas en un intervalo de deformaciones muy grande que la solución grafica que se obtiene con la ecuación (5) es adecuada, en el intervalo de deformaciones tecnológicamente alcanzables. Por ello, la naturaleza de la ecuación (5) es la de ser una expresión que evalúa el comportamiento plástico del material, aplicable a partir de la condición límite cuando la deformación del acero tiende a cero.
En la zona de recristalización dinámica se hará uso de una ecuación de tipo Avrami:

(7)

Esta función ha probado su validez tanto física como matemática, ya que toma en cuenta el parámetro característico de la curva de fluencia: la deformación pico å_p ( que es el valor de la deformación a la cual ocurre la tensión máxima) y que multiplicada por a = 0.95 indica el inicio de la recristalización dinámica, calculada aquí con el modelo de Medina y Hernández [10]. Por ello ajusta de manera correcta la región de ablandamiento dinámico, aun cuando la curva presenta una región muy extendida de restauración dinámica, sin un valor máximo claro, típica de los aceros deformados a temperaturas bajas y con elementos aleantes endurecedores, o bien muestre un valor máximo muy claro típico de deformaciones realizadas a temperaturas altas y velocidades de deformación bajas.
De este modo, la ecuación constitutiva para el cálculo de la tensión de fluencia se expresa como la suma algebraica de las ecuaciones (5) y (7):

(8)

4. Determinación de los parámetros de las ecuaciones constitutivas

Los parámetros de las ecuaciones constitutivas descritas en la sección precedente incluyen los de la ecuación (5), para la zona de endurecimiento más restauración: B, n, C y los de la ecuación (7), para la zona de recristalización dinámica: B', K, m.
Cuando se graficaron frente a Z/A se observa una dependencia de tipo no lineal, la cual fue examinada sin suponer de entrada ningún tipo de relación funcional entre los datos. El primer problema a abordar entonces, y del cual depende en gran medida el poder de predicción que pueda alcanzar el modelo, es el de encontrar la función de ajuste que describa de una manera más fácil la tendencia subyacente en los datos y que nos permita interpolar, y extrapolar, entre ellos.
Hay dos amplias clases de funciones básicas: aquellas con coeficientes lineales

                                                                                     y= ß f(x)
                                                                                                   (9)
y las de coeficientes que se comportan no linealmente

(10)

donde x es la variable independiente (Z/A) y β es el vector de p-componentes de coeficientes estadísticos desconocidos. La primera clase de funciones tiene sólo un mínimo cuadrado global, que se determina por descomposición de valores singulares; pero la segunda clase requiere, en general, de un procedimiento de ajuste iterativo con el problema latente de evitar mínimos locales y de decidir cuando detener la iteración. Obsérvese que los coeficientes están ahora dentro de la función no lineal. Se probaron ambas clases de funciones con el fin de asegurar la bondad de los modelos. Para la primera clase de funciones, lo que se hizo fue probar distintas transformaciones de los datos para linealizarlos y aplicar una sencilla regresión lineal. Se emplearon métodos de regresión lineal robustos para minimizar el efecto de los datos influyentes y atípicos, pero verificando que la transformación realizada haga la variabilidad del error más consistente y gaussiana. En el análisis de la segunda clase de funciones se emplearon algoritmos robustos y generalizados, ajustando una amplia base de ecuaciones empíricas (polinomíales, exponenciales, funciones complejas), cinéticas, simples, etcétera, dando como resultado una lista de las "mejores" funciones ordenadas según algún estadístico como el error estándar, la suma de errores al cuadrado (SEC). Se empleó como criterio de ajuste a la suma de errores al cuadrado. En esencia, el método de mínimos cuadrados no lineales requiere la minimización del error a través de hacer un ajuste iterativo para encontrar la mejor solución posible[11]:

(11)

El soporte lógico empleado para encontrar las "mejores" ecuaciones fue TableCurve 2D 5.0 y el programa DataFit 7.0. Una vez elegida la mejor o las mejores ecuaciones se repitieron los cálculos sólo para esas ecuaciones en los programas matemáticos Mathcad y S-Plus 5.0. De esta forma se validaron los resultados iniciales, se determinó la magnitud de los estimadores b y se graficaron los resultados. Los algoritmos de ajuste que emplean estos programas son los métodos de Levenberg-Marquardt, gradiente conjugado y Newton modificado. En todos los casos se empleó un factor convergencia de 1 x 10-5. Cabe señalar que el ajuste automático con la base de ecuaciones empíricas dio como resultado que los ajustes polinómicos siempre tuvieran los valores mas bajos de la SEC, pero fueron descartados porque fallan enormemente cuando se extrapolan, o incluso interpolan, los datos experimentales.
Los cálculos se realizaron empleando datos de 24 ensayos de torsión de los aceros Cl y S1 y se calcu1ó para cada ensayo el parámetro adimensional Z/A correspondiente.
Se presenta para cada parámetro su relación funcional y debajo de cada coeficiente las magnitudes de los parámetros estadísticos b, el error estándar, el estimador t, el error estándar residual del modelo y el coeficiente de correlación múltiple R2. También se graficó la banda de confianza al 95%. Como criterio de comparación entre la curva experimental y la calculada se escogió un estadístico estandarizado como el error estándar residual que aunque tiene un significado físico difícil de interpretar en el caso de modelos no lineales, sirve como base para calcular los intervalos de confidencia al 95%, que son más fáciles de interpretar.

4.1. Parámetro B

Este parámetro representa el límite máximo al cual tiende la curva de endurecimiento más restauración. El ajuste iterativo de distintas ecuaciones a los datos experimentales de B y Z/A sugiere un modelo logarítmico [β_o + β₁ ln(x)] y uno no lineal de tipo potencial [β_o β₁^1/x xβ²] (Fig. 1):

(12)

El "mejor" modelo fue el logarítmico no sólo porque tuvo valores mas pequeños de la SEC sino que es más sencillo y sólo tiene dos coeficientes β, mientras que la relación no lineal requiere de tres y tiene un máximo. Los estimadores estadísticos β de la ecuación (12) tienen errores estándar pequeños. La bondad de ajuste de este modelo también se aprecia por el valor tan alto de los estadísticos t de cada β , 1o cual significa que hay una fuerte relación (de tipo logarítmica) entre B y Z/A [12]. Un examen visual de los residuos revela buenas propiedades de regresión, ya que los errores se comportan aleatoriamente, son homocedásticos y se distribuyen de manera gaussiana.

Figura 1. Modelos de B en función de Z/A.

4.2. Parámetro n
n es el exponente de la deformación en la ecuación (3), que es la función de ajuste de la curva de endurecimiento. Por su relación matemática con el parámetro C tiene valores negativos y menores a la unidad, por lo cual aumenta instantáneamente hasta que alcanza un valor máximo para después disminuir gradualmente tendiendo al valor de B, como se deduce de un análisis de la ecuación (3). Con el ajuste iterativo de distintas ecuaciones a los datos experimentales de n y Z/A se encontraron ecuaciones similares a las del parámetro B, pero en este caso el mejor modelo fue el no lineal de tipo potencial, sobre todo por su comportamiento a valores extremos de Z/A (Fig. 2):

(13)

Figura 2. Modelos de n en función de Z/A.

Los parámetros estadísticos β tienen errores estándar pequeños. Además, los valores de los estadísticos t de cada parámetro β no fueron tan altos como los de la ecuación (12), aunque sigue siendo válida la hipótesis de que hay una fuerte relación entre n y Z/A. Los residuos para este modelo también mostraron un comportamiento aleatorio, homocedástico y se distribuyeron de manera gaussiana, aún cuando se aprecian varios datos atípicos fuera de la banda de confidencia, la cual fue calculada para una regresión no lineal.
Se observa que la ecuación (13) tiene mejor comportamiento a valores de Z/A altos, con respecto al modelo logarítmico y que este último tiende a quedar por arriba de los datos experimentales a Z/A altos, trazado con línea interrumpida de la figura 2, aún cuando se emplearon para su génesis métodos de regresión robustos LTS ( de sus siglas en inglés Least Trimmed Squared) y MM ( de sus siglas en inglés Robust Regresión MM-estimator) [13].

4.3. Parámetro C
Para el caso del ajuste iterativo de C frente a Z/A se encontraron ecuaciones similares a las del parámetro B. Sin embargo, el mejor modelo fue el potencial multiplicativo, el cual se ajusta de mejor manera a los datos, sobre todo a valores extremos de Z/A y además tiene estimadores estadísticos con magnitudes más pequeñas (Fig. 3):

(14)

En este modelo, los errores estándar de los estimadores estadísticos β son muy pequeños y los valores de los estadísticos t son muy elevados, por 1o cual se acepta la hipótesis de que hay una fuerte relación entre C y Z/A. Los residuos para este modelo muestran un comportamiento aleatorio, homocedástico y con distribución normal.

                                                                Figura 3. Modelos de C en función de Z/A,


Se puede observar que la ecuación (14) tiene mejor comportamiento a valores de Z/A extremos, con respecto al modelo logarítmico, lo cual asegura que si extrapolamos se podrá mantener una buena correlación con los valores experimentales.

4.4. Parámetro B’
B’ es un parámetro que establece el límite máximo que puede alcanzar la curva de ablandamiento dinámico, que aumenta a medida que Z/A también se incrementa. Los modelos más adecuados fueron uno logarítmico y otro complejo, siendo este último el que mejor se ajusta a los valores experimentales, sobre todo a valores de Z/A elevados (Fig. 4):

(15)

Este modelo no lineal mantiene errores estándar de los parámetros estadísticos β pequeños, siendo altos los valores de los estadísticos t de cada β, por lo cual hay una fuerte relación entre B’ y Z/A. Al igual que en el parámetro B, los residuos con este modelo cumplen con las propiedades de un buen modelo de regresión mostrando un comportamiento aleatorio, homocedástico y distribución gaussiana de los errores. Esto no sucedió con el modelo logarítmico, ya que los errores tienen una tendencia positiva a valores de Z/A altos.

Figura 4. Modelos de B' en función de Z/A.

4.5. Parámetro K

K es un parámetro que tiene un comportamiento fuertemente no lineal en su dependencia con respecto a Z/A, misma tendencia que ya se había observado anteriormente [l]. El ajuste iterativo de K frente a Z/A dio ecuaciones polinómicas y una de tipo potencial multiplicativo similar a la encontrada en los parámetros anteriores. Sin embargo, el modelo de tipo potencial ajusta de mejor manera a los datos experimentales y tiene más sentido físico, sobre todo en las regiones extremas de Z/A donde se aprecian pendientes muy grandes y de signo opuesto, lo cual refuerza el buen comportamiento del modelo a valores de Z/A mas allá de los aquí analizados (Fig. 5):

(16)

Los estimadores estadísticos β tienen errores estándar muy pequeños. Además, los valores de los estadísticos t de los parámetros β son muy altos (hay un valor de 25,722) y el error residual estándar es muy pequeño (apenas 0.5). Por ello es perfectamente válida la hipótesis de una fuerte dependencia entre n y Z/A según la ecuación planteada. Los residuos para este modelo también mostraron un comportamiento aleatorio, homocedástico y se distribuyeron de datos atípicos fuera de la banda de confidencia.

 

Figura 5. Dependencia de K frente a1 parámetro Z/A.

4.6. Parámetro m
Para este caso, el ajuste iterativo de m y Z/A experimentales dio varias ecuaciones como las mejores matemáticamente, aunque el "mejor" modelo fue el potencial multiplicativo por su poder explicativo sobre todo a valores de Z/A altos, como se muestra en la Fig.6:

(17)

El comportamiento aleatorio, homocedástico y con distribución normal de los residuos en este modelo confirman sus buenas propiedades de regresión. De acuerdo a la tendencia de los datos se puede observar que la ecuación (17) se ajusta adecuadamente a valores de Z/A altos, asegurando así un buen poder de predicción.

Figura 6. Modelos de m en función de Z/A.

5. Verificación del modelo
La formulación de la ecuación constitutiva (8) tiene como primera consecuencia la predicción de la curva de fluencia de aceros en fase austenítica a distintas temperaturas, velocidades de deformación y en un amplio intervalo de concentraciones de C, Mn y Si, como se ilustra a modo de ejemplo en la Fig. 7 para un acero Cl a l000 °C y cuatro velocidades de deformación: 0.54, 1.45, 3.63 y 5.22 s^-1. Los errores estándar entre la curva experimental y calculada fueron de 1.65, 1.741, 1.082 y 3.116, respectivamente, apreciándose que no siempre ajusta el modelo con la misma precisión a todas las curvas.

Figura 7. Curvas σ-ε experimentales (líneas só1idas) y calculadas (líneas interrumpidas). Acero C1. 1000°C cte.

El cálculo de la tensión de fluencia es fundamental para la determinación de la resistencia a la deformación del acero a laminar en caliente y con ello las fuerzas y el par de laminación. Por ello se aplicó el modelo a las curvas experimentales más empleadas en la literatura especializada [3] para el cálculo de la tensión de fluencia de una amplia gama de aceros, tomando como criterio de comparación el error estándar residual (Tabla 2).

Tabla 2. Errores estándar residuales entre las curvas experimentales de Cook [3] y las calculadas.

Para esta comparación se escogió un acero de bajo contenido de carbono de los 12 publicados por Cook (Tabla 1) porque su composición está dentro del intervalo de las estudiadas en este trabajo. Los resultados se presentan en las figuras 8 y 9. Cabe mencionar que las velocidades de deformación empleadas por Cook fueron de 1.5, 8, 40 y 100 s^-l, por 1o cual el modelo desarrollado se ha aplicado para el cálculo de la curva de fluencia a velocidades de deformación que son dos órdenes de magnitud mayores a la mayor empleada para su desarrollo (5.22 s^-l ). Se observa que los errores estándar residuales aumentan conforme la velocidad de deformación se incrementa debido a que el ajuste a deformaciones menores a 0.2 discrepa en forma notoria con respecto a las tensiones de fluencia calculadas, sobre todo a velocidades de deformación elevadas. Sin embargo, en general se observa una buena concordancia entre las curvas predichas y las curvas experimentales.

Figura 8. Curvas de f1uencia experimentales de Cook
(1íneas só1idas) y calcu1adas (1íneas interrumpidas). 900 °C y 1.5, 8 y 40s^-1.

Figura 9. Curvas de fluencia experimentales de Cook (1íneas só1idas) y calcu1adas (1íneas interrumpidas). 1000 °C y1.5, 8, 40 y 100s^-1.

6. Conclusiones
1. El modelo fenomenológico desarrollado predice con razonable precisión la curva de fluencia de aceros de bajo carbono.
2. El modelo tiene en cuenta dos expresiones que cuantifican los efectos de los mecanismos de endurecimiento (5) y de la recristalización dinámica (7).
3. Los parámetros del modelo fenomenológico B, C, n, B', K y m son función de un sólo parámetro: Z/A.
4. El modelo aplicado para su comprobación a las curvas experimentales publicadas por Cook calcula con razonable precisión la tensión de fluencia a velocidades de deformación que son dos órdenes de magnitud mayores a los valores empleados para su desarrollo.

Agradecimientos -Los autores agradecen al CONACyT de México las facilidades para el desarrollo de este trabajo. Los estudios de Luis Béjar G. son apoyados por la U.M.S.N.H. y el PROMEP.

Referencias
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