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Axioma o postulado
En matemática deductiva (sistemas matemáticos) y en lógica formal (sistema logístico), el término deductivo formal no es sino un sistema deductivo que está formado por términos primitivos, definiciones, axiomas y teoremas. Algunos de cuyos términos indefinidos o primitivos son objetos arbitrarios cuya interpretación sale de los marcos del sistema. Los axiomas se admiten ciertos. Las definiciones se usan para crear nuevos conceptos en términos de los existentes. Los términos no definidos o primitivos , no están definidos explícitamente, pero sí lo están implícitamente por los axiomas.
Axioma (del griego αξιωμα, lo que parece justo) es una proposición o evidencia que no es susceptible de demostración. Son verdades obvias a la razón humana que sirven de base a la ciencia.
Los axiomas se refieren a los principios que se aceptan en todas las ciencias, mientras que los postulados se refieren a una ciencia en particular.
En Los Elementos de Euclides se establecen nueve axiomas (lo valioso en griego) para la geometría:
- Las cosas que son iguales a la misma cosa son iguales entre sí.
- Si se suma lo mismo a cantidades iguales los totales son iguales.
- Si se quita lo mismo a cantidades iguales los restos son iguales.
- Si a cosas desiguales se añaden cosas iguales, los totales serán desiguales.
- Los dobles de una misma cosa son iguales entre sí.
- Las unidades de una misma cosa son iguales entre sí.
- Las cosas que se superponen una a la otra son iguales entre sí.
- El todo es mayor que las partes.
- Dos rectas no comprenden un espacio.
y cinco postulados:
- Desde cualquier punto se puede trazar una recta a cualquier otro punto.
- Toda recta se puede prolongar indefinidamente.
- Con cualquier centro y cualquier distancia se puede trazar un círculo.
- Todos los ángulos rectos son iguales.
- Si una recta, cortando a otras dos, forma los ángulos internos a una misma parte menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidamente se encontrarán de la parte en que los dos ángulos son menores que dos rectos.
Parece claro que los axiomas se refieren a los principios que se aceptan en el estudio de todas las ciencias, mientras que los postulados se refieren a una ciencia en particular, la geometría en este caso. Por eso el axioma 9 parece que está intercalado y, según Enriques, debe colocarse entre los postulados, complementando al primero en el sentido de que por dos puntos pasa una única recta.
Nueva concepción
Kurt Gödel demostró a mediados del siglo XX que cualquier sistema axiomático, por definido y consistente que sea, posee serias limitaciones. Siempre habrá una proposición P que sea verdadera, pero no demostrable. De hecho, Gödel prueba que, en cualquier sistema formal que incluya la aritmética, puede formarse una proposición P que afirme que este enunciado no es demostrable. Si se pudiera demostrar P, el sistema sería contradictorio: no sería consistente. Luego P no es demostrable ¡y por tanto P es verdadero! Este teorema de Gödel a menudo ha sido interpretado en un sentido pesimista, como una especie de limitación esencial del conocimiento humano o algo así (porque implícitamente se presupone que nuestro razonamiento es como una máquina). Pero ese no es el caso, debe notarse que realmente Gödel nos hace ver que tal enunciado P es verdadero, así que el resultado de Gödel realmente muestra que ningún sistema axiomático consistente (entendido como máquina de deducir) agota la capacidad de demostración de la razón humana. Su sentido es que ningún ordenador ni proceso meramente mecánico puede emular el raciocinio humano, que nuestro espíritu no es lo que hoy en día entendemos como máquina.
Referencias
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Bibliografía
- Richard Johnsonbaugh. «Matemáticas discretas» ISBN 968-7270-46-2
- Irving M. Copi. «Lógica simbólica» ISBN 968-26-0134-7
Notas
