Derivadas
Introducción y Objetivo General.
Introducción:
El concepto se derivada se aplica
en los casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de
una situación. Por ello es una herramienta de cálculo fundamental en los
estudios de Física, Química y Biología.
La derivación constituye una de las operaciones de mayor importancia cuando
tratamos de funciones reales de variable real puesto que nos indica la tasa de
variación de la función en un instante determinado o para un valor determinado
de la variable, si ésta no es el tiempo. Por tanto, la derivada de una función
para un valor de la variable es la tasa de variación instantánea de dicha
función y para el valor concreto de la variable.
Un aspecto importante en el estudio de la derivada de una función es que la
pendiente o inclinación de la recta tangente a la curva en un punto representa
la rapidez de cambio instantáneo. Así pues, cuanto mayor es la inclinación de la
recta tangente en un punto, mayor es la rapidez de cambio del valor de la
función en las proximidades del punto.
Además de saber calcular la derivada de una función en un punto, es conveniente
ser capaz de determinar rápidamente la función derivada de cualquier función. La
derivada nos informará de con qué celeridad va cambiando el valor de la función
en el punto considerado. Esta sección está dedicada precisamente a aprender
tanto a calcular el valor de la derivada de una función en un punto como a saber
obtener la función derivada de la original. Por este motivo dedicaremos especial
atención a como derivar funciones compuestas, funciones implícitas así como a
efectuar diversas derivaciones sobre una misma función.
El concepto de derivada segunda de una función - derivada de la derivada de una
función- también se aplica para saber si la rapidez de cambio se mantiene,
aumenta o disminuye. Así el concepto de convexidad y concavidad -aspectos
geométricos o de forma- de una función están relacionados con el valor de la
derivada segunda.
Finalmente veremos la relación que tiene la derivada con los problemas de
optimización de funciones. Estos problemas decimos que son de máximo o de mínimo
(máximo rendimiento, mínimo coste, máximo beneficio, mínima aceleración, mínima
distancia, etc.).
Objetivo General:
Introducir el concepto de derivada,
proporcionar su interpretación gráfica e ilustrar su interpretación física.
Saber distinguir en qué puntos una función es derivable y en qué puntos no
admite derivada.
Familiarizarse con el cálculo automático de
derivadas, con la regla de la cadena para la derivación de funciones compuestas,
con la derivación múltiple y —finalmente— con la derivación implícita.