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Módulo de un número
- 1. Nombre y apellido: Lucas Maidana Profesora: Juliana Ísola Materia: Matemática Curso: 4° 1ra Humanidades Trabajo: Módulo de un número real Bibliografía: ◊ Carpeta de Matemáticas ◊Wikipedia ◊ Matematicaylisto.webcindario.com
- 2. Módulo de un número de real Llamamos módulo o valor absoluto de un número real x a la distancia entre dicho número y cero. Lo simbolizamos así: |x| Ejemplo 1: Los números 6 y -6 son opuestos ya que tienen distinto sigo e igual módulo, porque están a la misma distancia del cero. Es decir que: |6| = |-6| = 6 Por otra parte, como la distancia desde el número 0 hasta si mismo es 0, resulta: |0| = 0 Es decir que tanto el módulo de 0 como el de un número positivo es el mismo número, mientras que el módulo de un número negativo es el opuesto de ese número. En síntesis: Si x > 0 |x| = x Si x < 0 |x| = -x Es importante tener en claro que –x es positivo cuando x es negativo.
- 3. Existe otra forma de expresar el módulo de un número real, en la que interviene la raíz cuadrada de x2. |x| = √x2 Esta expresión del módulo de un número real nos resultara útil cuando en una ecuación sea necesario despejar una incógnita que esté elevada a una potencia par. Ejemplo 2: Resolvamos la ecuación x2 – 6 = 10 • Despejemos x2 x2 = 19 + 6 x2 = 25 • Aplicamos raíz cuadrada en ambos miembros de la igualdad √x2 = √25 • Sustituimos el primer miembro utilizando el módulo y calculamos |x| = 5 • Entonces, x puede tomar dos valores, que son: x = 5 o x = -5 • Reemplazamos cada uno de esos valores en la ecuación original para comprobar si se cumple la igualdad: Para x = (-5)2 = 25 Para x = 52 = 25
- 4. Distancia entre dos números Para expresar la distancia d entre dos números reales a y b, calculamos la diferencia entre el mayor y el menor, es decir que si a < b , la distancia es b – a, y si a > b, es a – b. Si consideramos el hecho de que el módulo es una distancia, podemos expresar d así: d = |b – a| = |a – b| Distancia entre a y b Ejemplo: La distancia entre 5 y -3 es: |-5 – 3| = |-5 – 3| = 8 |5 –(-3)| -3 0 5
- 5. Propiedades del módulo Los módulos poseen ciertas propiedades que nos resultarán útiles cuando resolvamos ecuaciones e inecuaciones que los incluyan. El módulo de un número real es igual al de su opuesto y, además, es no negativo. |x| = |-x| ≥ 0 El módulo del producto de dos números reales es igual al producto de los módulos de esos números. En símbolos: |a . b| = |a| . |b| El módulo del cociente de dos números reales es igual al cociente de los módulos de esos números. En símbolos: |a/b| = a/b
- 6. Analizemos que ocurre con el módulo de la suma de dos números reales y la suma de los módulos de esos números: Ejemplo 1: |6+4| = |10| = 10 Ejemplo 2: |-6 +4| = |-2| = 2 |6| + |4| = 6 + 4 = 10 |-6| + |4| = 6 + 4 = 10 Entonces, |6+4| ≤ |6| + |4| Entonces, |-6+4| < |-6| + |4| En síntesis, el modulo de la suma de dos números reales es igual o menor que la suma de los módulos de esos números. Esta propiedad se denomina desigualdad triangular. En símbolos: |a + b| ≤ |a| + |b|
- 7. Analicemos que ocurre con el módulo de la diferencia de dos números reales y la diferencia de los módulos de esos números. Ejemplo 1: |8-3| = |5| = 5 Ejemplo 2: |8-(-3)| = |11| = 11 |8| - |3| = 8 – 3 = 5 |8| - |-3| = 8 – 3 = 5 Entonces: |8 – 3| ≥ |8| - |3| Entonces: |8-(-3) > |8| - |-3| En síntesis, el módulo de la diferencia de dos números reales es igual o mayor que la diferencia de los módulos de esos números. En símbolos: |a – b| ≥ |a| - |b|
- 8. Ecuaciones con módulo Para resolver las ecuaciones con módulo se debe tener en cuenta las propiedades y la definición de módulo. Ejemplo : |5x| + |-x| + |x/2| = 10 S= {20/13, -20/13} |5| |x| + |x| +|x/2| = 10 5|x| + |x| +1/2|x| = 10 (10|x| + 2|x| + 1|x|) : 2 = 10 13/2|x| = 10 |x| = 20/13 x= 20/13 x=-20/13
- 9. Inecuaciones con módulo Propiedades 1) |2x + 3| > 4 Por la propiedad 1), tenemos que: 2x + 3 < -4 ó 2x + 3 > 4 Luego, resolvemos las dos inecuaciones ésas, que ya no tienen módulo: 2x + 3 < -4 2x < -4 - 3 2x < -7 x < -7/2 ó 2x + 3 > 4 2x > 4 - 3 2x > 1 x > 1/2 La solución de esa inecuación con módulo son los números que cumplen con eso: x < -7/2 ó x > 1/2 Los gráficamos en la recta numérica, para visualizar los intervalos donde están esos números: La solución es la unión de esos dos intervalos: S = (-∞; -7/2) U (1/2 ; +∞)
- 10. 2) |3x - 1| < 8 Por la propiedad 2), tenemos que: -8 < 3x - 1 < 8 Esa "fusión" de dos inecuaciones se pueden resolver simultáneamente, o por separado. Lo hago "simultáneamente": -8 + 1 < 3x < 8 + 1 -7 < 3x < 9 -7/3 < x < 9/3 -7/3 < x < 3 Represento en la recta numérica: La solución es el intervalo: S = (-7/3 ; 3)