En geometría , un segmento circular (o segmento de un círculo ) es la porción de un círculo limitada por una cuerda y el arco correspondiente.
Un segmento circular (en verde) está delimitado por una cuerda (línea discontinua) y el arco que toca los extremos de la cuerda (el arco mostrado sobre el área verde). Sea R el radio del círculo , θ el ángulo central, c la longitud de la cuerda, s la longitud del arco, h la altura del segmento circular (sagita ) , y d la altura de la porción triangular (apotema ).
es
R
=
h
+
d
{\displaystyle R=h+d{\frac {}{}}}
La longitud del arco es
s
=
R
⋅
θ
{\displaystyle s=R\cdot \theta }
θ
{\displaystyle \theta \,}
radianes . La longitud de la cuerda es
c
=
2
R
sen
(
θ
2
)
=
R
2
−
2
cos
θ
=
R
2
(
1
−
cos
θ
)
{\displaystyle c=2R\operatorname {sen} \left({\frac {\theta }{2}}\right)=\displaystyle R{\sqrt {2-2\cos \theta }}=R{\sqrt {2\left(1-\cos \theta \right)}}}
La altura es
h
=
R
(
1
−
cos
θ
2
)
{\displaystyle h=R\left(1-\cos {\frac {\theta }{2}}\right)}
El ángulo es
θ
=
2
arccos
(
d
R
)
{\displaystyle \theta =2\arccos \left({\frac {d}{R}}\right)}
El área del segmento circular es igual al área del sector circular menos el área de la porción triangular.
A
=
R
2
⋅
θ
2
−
R
2
sen
θ
2
=
R
2
2
(
θ
−
sen
θ
)
{\displaystyle A=R^{2}\cdot {\frac {\theta }{2}}-{\frac {R^{2}\operatorname {sen} \theta }{2}}={\frac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\operatorname {sen} \theta \right)}
Si el ángulo está en radianes.
Área en función de una altura
h
L
{\displaystyle h_{L}}
h
L
{\displaystyle h_{L}}
d
=
−
h
L
+
R
{\displaystyle d=-h_{L}+R}
θ
=
2
arccos
(
−
h
L
+
R
R
)
=
2
arccos
(
1
−
h
L
R
)
{\displaystyle \theta =2\arccos \left({\frac {-h_{L}+R}{R}}\right)=2\arccos \left(1-{\frac {h_{L}}{R}}\right)}
Demostración alternativa [ editar ] El área del sector circular es:
A
=
π
R
2
⋅
θ
2
π
=
R
2
⋅
θ
2
{\displaystyle A=\pi R^{2}\cdot {\frac {\theta }{2\pi }}={\frac {R^{2}\cdot \theta }{2}}}
Si se bisecciona el ángulo
θ
{\displaystyle \theta }
R
sen
θ
2
⋅
R
cos
θ
2
=
R
2
sen
θ
2
cos
θ
2
{\displaystyle R\operatorname {sen} {\frac {\theta }{2}}\cdot R\cos {\frac {\theta }{2}}=R^{2}\operatorname {sen} {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}}
Dado que el área del segmento es el área del sector menos el área de la porción triangular, se obtienen
A
=
R
2
(
θ
2
−
sen
θ
2
cos
θ
2
)
{\displaystyle A=R^{2}\left({\frac {\theta }{2}}-\operatorname {sen} {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\right)}
De acuerdo con la identidad trigonométrica de ángulo doble
sen
2
θ
=
2
sen
θ
cos
θ
{\displaystyle \operatorname {sen} 2\theta =2\operatorname {sen} \theta \cos \theta \,}
sen
θ
2
cos
θ
2
=
1
2
sen
θ
{\displaystyle \operatorname {sen} {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}={\frac {1}{2}}\operatorname {sen} \theta }
con lo que resulta que el área es:
A
=
R
2
(
θ
2
−
1
2
sen
θ
)
=
R
2
2
(
θ
−
sen
θ
)
{\displaystyle A=R^{2}\left({\frac {\theta }{2}}-{\frac {1}{2}}\operatorname {sen} \theta \right)={\frac {R^{2}}{2}}\left(\theta -\operatorname {sen} \theta \right)}
Véase también [ editar ] Enlaces externos [ editar ] 
Datos: Q783081