Polígono regular

La descomposición de un polígono regular en triángulos iguales permite obtener fácilmente el ángulo y la superficie del mismo.

Un polígono regular es aquel cuyos ángulos α son iguales, y cuyos lados l tienen la misma longitud. El segmento que une el centro del polígono con el punto medio de cualquiera de sus lados es la apotema (a).

Uniendo el centro con cada uno de los vértices todo polígono regular de n lados se descompone en n triángulos iguales, los cuales son isósceles, a excepción del hexágono regular en que son equiláteros. La apotema es la altura de cada uno de dichos triángulos.

En un polígono regular de n vérices (y por lo tanto de n lados), los ángulos miden todos (n-2)×π/n radianes, es decir (n-2)× {180}/{n} grados (sexagesimales), lo que se obtiene muy fácilmente de la descomposición del polígono en triángulos: los ángulos de los n triángulos suman 180º n. Como los ángulos que convergen en el centro son en total 360º, resulta claro que los n ángulos α del polígono sumarán 180ºn – 360º = 180º (n-2). Y, siendo dichos ángulos iguales, sólo habrá que dividir entre n para tener su valor. Desarrollándolo algebraicamente:

indistintamente.

Así, por ejemplo, para el triángulo (n = 3) -se trata de un triángulo equilátero-, los ángulos miden 1 x 180º/3 = 60º.

En el caso del cuadrilátero (n = 4) -un cuadrado-, los ángulos valen 2×180°/4 = 90°.

En cuanto a la superficie del polígono regular, es obvio que será n veces la de cada uno de los triángulos en que se ha descompuesto:

S=n × base× altura}× 0.5

pero siendo la base el lado l del polígono, y la altura su apotema a,

S=n ×{l× a}/2

y finalmente, como <math>n \cdot l =\mbox {perímetro}, nos queda

S= semiprímetro ×apotema

Altura y apotema de un polígono regular, de número de lados > 4, cuyos ángulos sean iguales (y por tanto, su número sea par):

h=l/A + A× l

a= h/2

l, valor del lado del polígono.

h, altura.

a, apotema.

A, resultado de la división de polígono, suma de ángulos de una de las figuras restantes y resta de 4 de Abel.

Para calcular A, se traza una línea que va desde el punto mitad de un lado hasta el punto mitad opuesto (o del lado opuesto), se cuentan los ángulos interiores de uno de los dos polígonos y se le resta 4.

En el caso de un hexágono (6 lados), se traza dicha línea que divide el polígono en 2 figuras. Dichas figuras, tienen cada una 5 ángulos convexos. Entonces, 5 - 4 = 1. Luego A = 1. En el caso de un octógono (8 lados), se traza dicha línea y se obtienen 2 figuras de 6 ángulos interiores cada una. 6 - 4 = A.

Proposiciones

• Todo polígono regular puede ser inscrito en una circunferencia.
• Si en una misma circunferencia se inscriben dos polígonos regularse de distintos números de lados, a mayor número de lados mayor área y mayor perímetro.