La idea de esta entrada surgió al ver la sudadera que traía mi hijo David, con un gran número 19 escrito en romano: XIX. Se trata de un capicúa, o número palíndromo, esto es, que se lee igual de izquierda a derecha y de derecha a izquierda. Incluso se lee igual si se le pone de cabeza. El verlo me hizo querer averiguar cuántos otros capicúas habría entre los números romanos. Sospechaba que serían muy pocos, lo cual confirmé mediante el pequeño análisis que les presento hoy. De verdad que era limitada esa numeración, por ello la matemática estuvo detenida en Europa hasta que llegó la numeración indo-arábiga, que es posicional (ver más sobre el sistema numérico decimal aquí).

Al darme cuenta de que ésta sería la entrada XXXVIII, justo el doble de XIX, me quedó más que claro que los números romanos y sus peculiaridades eran un buen tema sobre el cual publicar hoy.  Veremos no sólo cómo traducir de una escritura a otra, sino cómo hacer operaciones con estos números y cómo aprovechar sus características para desarrollar el pensamiento lógico (ver más aquí y aquí) y el sentido numérico (ver más aquí y aquí) y, con ello, hacer más eficiente el aprendizaje (ver más aquí). Esto se puede lograr, entre otras formas, encontrando capicúas entre los números romanos y los indo-arábigos.

Características de los números romanos

El sistema de numeración romano no es posicional de la forma en que lo es el sistema numérico decimal, sino aditivo-sustractivo. No tiene un símbolo para representar la cantidad cero.

Eso significa que el valor de un número expresado en numeración romana se obtiene sumando o restando los valores de sus símbolos, según estén a la derecha o a la izquierda de otros (en ese sentido tiene algo de posicional, pero muy distinto al sistema numérico decimal).

En el sistema numérico decimal existen 10 cifras distintas que permiten escribir cualquier número (si le agregamos el punto o coma decimal cuando sea necesario). En cambio, el sistema de numeración romano cuenta con sólo 7 símbolos para expresar los números, que corresponden a las letras mayúsculas: I, V, X, L, C, D, M, más una raya superior para escribir cantidades más grandes que 3999. Originalmente se usaban siempre mayúsculas, porque el alfabeto latino (usado en el Imperio Romano) sólo contaba con letras mayúsculas, pero ahora se pueden encontrar también escritos en minúsculas en ciertos contextos, como las ennumeraciones.

A cada símbolo le corresponde un valor y se clasifican en tres tipos:

Aquellos que se pueden repetir hasta tres veces seguidas y que suman o restan dependiendo de su posición. Cuando restan, sólo pueden escribirse una vez:

I  vale 1 y sólo se puede restar de V y X

X vale 10 y sólo se puede restar de L y C

C vale 100 y sólo se puede restar de D y M

Aquellos que no se pueden repetir, que siempre suman y que cada uno equivale a 5 veces uno de los anteriores:

V vale 5

L vale 50

D vale 500

Y un único símbolo que también se puede escribir hasta tres veces seguidas, pero que sólo suma, no resta:

M vale 1000

Para expresar números del 4000 en adelante se usa una raya sobre el número cuyo valor se multiplicará por 1000.

Si bien cualquier combinación de cifras en el sistema numérico decimal se puede leer como un número válido, esto no ocurre en la numeración romana, en la que, por ejemplo, escribir VV no tiene sentido.

Como no es un sistema posicional, no tiene una base como tal, aunque la forma en que fue creado probablemente está relacionada con el hecho de que tenemos 5 dedos en cada mano y por eso hay símbolos que por sí solos representan las cantidades: 1, 5, 10, 50, 100, 500 y 1000

¿Como se escriben y se leen los números romanos?

Los números romanos se escriben empleando los símbolos que representan las cantidades más grandes posibles en cada caso. Es decir, para escribir 5 se usa V y no IIIII.

Se escribe de izquierda a derecha mediante tres reglas básicas que se entienden mejor mediante ejemplos. Veamos cómo escribir los primeros 10 números en romano:

1 →  I

2 →  II

3 →  III

En los primeros tres números sólo se usa la regla de la adición. Cada I vale uno y cada nueva letra I añade una unidad a la cantidad

4 → IV

Para el cuarto número, como no se puede repetir más de tres veces seguidas un símbolo, se usa la regla de la sustracción. La I a la izquierda de la V significa que al 5 se le resta 1, por lo que IV vale 4.

5 → V

6 → VI

7 → VII

8 → VIII

Del 5 al 8 se usa sólo la regla de la adición, sumando lo que vale cada símbolo, de izquierda a derecha.

9 → IX

Para el 9 vuelve a necesitarse la regla de la sustracción para evitar repetir la I cuatro veces.

10 → X

Como tenemos un símbolo que vale 10, ese usamos. No es válido escribir 10 como VV, dado que V, L y D no pueden repetirse.

Listo, ya tenemos todas las reglas que es necesario respetar.

Podrán observar que no se puede leer un número de izquierda a derecha sin estar conscientes de qué símbolo sigue.

Por ejemplo, DXI se lee como 500 + 10 + 1 = 511

En cambio, DXC no se lee 500 + 10 + 100, sino 500 + (100 – 10) = 590.

La lectura de números romanos nos ayuda, por tanto, a mejorar la capacidad de observación del número como un todo, de dar seguimiento de las distintas reglas al mismo tiempo (pensamiento lógico) y de hacer cálculos sobre la marcha, según las características del número (sentido numérico).

Para escribir el 4000 se pone una raya sobre un IV. Por ejemplo, 4941 se escribe así:

 Observen que la raya superior sólo va sobre el IV que es la cantidad que se multiplica por 1000.

Veremos más ejemplos de escritura de números en los siguientes apartados.

Capicúa (número palíndromo)

Una palabra palíndroma se lee igual tanto de izquierda a derecha como de derecha a izquierda. Algunos ejemplos son “ala”, “solos” y «anilina«. Una frase palíndroma que me gustaba mucho de niña es: «Anita lava la tina»

Un capicúa, o número palíndromo, también se lee igual tanto de izquierda a derecha como de derecha a izquierda. En el sistema numérico decimal hay un número infinito de capicúas, dado que podemos escribir cualquier sucesión de cifras, digamos 1546 y luego escribirlas en espejo, repitiendo o no el último, y formamos números palíndromos: 15466451 o 1546451.

Otra forma conocida de crear números palíndromos es mediante el siguiente algoritmo: el capicúa de un número dado se obtiene sumándole el número escrito en sentido inverso tantas veces como sea necesario. Por ejemplo, el capicúa de 19 se obtiene así:

19 + 91 = 110  →  110 + 011 = 121 Aquí se detiene el algoritmo porque después de dos sumas llegamos a un número que se lee igual en ambos sentidos. El capicúa de 19 (y de 91) es 121. Se puede hacer lo mismo partiendo de cualquier número.

Aprovechemos para deducir cuántos palíndromos hay entre los números indo-arábigos más pequeños:

De 1 dígito serían 10: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

De 2 dígitos serían 9: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99

De 3 dígitos serían 90, ya que hay 9 opciones para las cifras exteriores, que deben ser idénticas (el cero a la izquierda no se escribe) y 10 opciones para la cifra interior (9 x 10 = 90 opciones). Algunos ejemplos serían 101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, 201, 212…

¿Cuántos capicúas de 4 dígitos existen? Piénsenlo un poco y busquen la respuesta al final de esta entrada.

Un dato curioso sobre los números palíndromos es éste:

11² = 121

111² = 12321

1111² = 1234321

…

111111111² = 12345678987654321

Interesante patrón, ¿verdad? Si hacen la operación a mano verán cómo se forma al ir acomodando cada cantidad para sumarla.

Por cierto, todos los capicúas que tienen un número par de dígitos son múltiplos de 11.

Vaya, parece que me emocioné con los palíndromos indo-arábigos. Revisemos ahora la situación de los palíndromos romanos menores a cuatro mil:

Los que se escriben con un símbolo serían 7:  I, V, X, L, C, D, M

Los que se escriben con dos símbolos serían sólo 4:  II, XX, CC, MM

Los que se escriben con tres símbolos idénticos serían también 4:  III, XXX, CCC, MMM

Y los que se escriben con tres símbolos no idénticos serían sólo 3:  XIX, CXC, MCM

En total, 18 palíndromos, de los cuales 15 pueden multiplicarse por mil una o más veces, mediante rayas superiores y seguir siendo palíndromos, pero I, II y III no porque mil se escribe M, no I con raya superior.

Y sólo hay 7 palíndromos que, además, se pueden leer igual “de cabeza”: I, X, II, XX, III, XXX, XIX.

Lo que nos lleva a saber que el número en la sudadera de David es el único palíndromo “girable” romano que usa dos símbolos distintos.

Este análisis, en ambas numeraciones, desarrolla tanto el pensamiento lógico como el sentido numérico si se deja a los alumnos descubrir los patrones y relaciones entre los símbolos, las reglas que deben seguirse, los valores numéricos y demás.

Fechas capicúa

Volviendo a los números indo-arábigos, si usamos dos dígitos para días y meses, existen seis días del año que son capicúa:

10/01     20/02     30/03     01/10     11/11     21/12

David cumple años en uno de esos días capicúa.

Por cierto, el pasado lunes fue una fecha capicúa o palíndroma, incluso de cabeza (si usamos un sólo dígito para el día):

Otros datos interesantes sobre los números romanos

Los números más cortos son los 7 correspondientes a los 7 símbolos: I, V, X, L, C, D, M

El número más largo antes de que sea necesario usar la multiplicación por mil tiene 15 símbolos, es el 3888: MMMDCCCLXXXVIII

En los números indo-arábigos enteros, un número con más cifras es más grande que un número con menos cifras. Sin embargo, en los números romanos no ocurre así. Por ejemplo, el 3900, que es más grande que el 3888, sólo tiene 5 símbolos: MMMCM.

¿Existían las fracciones en los números romanos?

Todo lo que hemos revisado corresponde a cantidades enteras. Para los números menores a la unidad, es decir las fracciones propias, que siempre tenían denominadores que fueran múltiplos o divisores del 12, usaban arreglos de puntos, podían estar alineados, como se ve a continuación, o acomodados como se verían en un dado. También es un sistema aditivo:

1/12             → ⋅

2/12 = 1/6    → ⋅ ⋅

3/12 = 1/4    → ⋅ ⋅ ⋅

4/12 = 1/3    → ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

5/12             → ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

6/12 = 1/2   → S  (de Semi, que significa mitad)

7/12            → S⋅

8/12 = 2/3   → S ⋅ ⋅

9/12 = 3/4    → S ⋅ ⋅ ⋅

10/12 = 5/6  → S ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

11/12            → S ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

12/12 = 1     → I

Esta notación se usó mucho antes de que empezaran a cocinarse las pizzas, lo cual ocurrió posiblemente en Nápoles, en algún momento del siglo XVII que, ahora ya lo saben, fue el siglo 17. Me pregunto, ¿qué apoyos didácticos se usarían para enseñar a usar las fracciones antes de la invención de las pizzas?

Al no ser un sistema de numeración posicional, existen los números decimales como tales en la numeración romana.

Operaciones con números romanos

Los números romanos son tan poco prácticos, que sólo permiten sumar y restar. La multiplicación se hace mediante una suma repetida y la división mediante una resta repetida. Veamos cómo se sumarían estos dos números:

XXIX + XXV

Empezamos por reescribirlos sin usar la notación sustractiva:

XXVIIII + XXV

Posteriormente escribimos todos los símbolos que hay en ambos números, en orden descendente de valor, hay 4 X, 2 V y 4 I en total:

XXXXVVIIII

Si hay suficientes símbolos como para cambiarlos por otro de mayor valor (2, 5 o 10 iguales, según el símbolo),  hacemos el cambio, hay 2 V que se cambian por una X, lo que deja 5 X que se cambian por una L:

XXXXXIIII  → LIIII

Si quedan 4 símbolos iguales seguidos, los reescribimos usando restas:

LIV

Listo, suma terminada: XXIX + XXXV = LIV, esto es, 29 + 35 = 54.

Ahora hagamos esta resta:

LXXIV – XXXI

Empezamos por escribirlo sin usar la notación sustractiva:

LXXIIII – XXXI

A la cantidad de símbolos del minuendo, se le quita la cantidad de símbolos iguales del sustraendo. Si hay más símbolos en el sustraendo, se reescriben los del minuendo para que sea posible hacer la resta (es algo similar al “pedir prestado” de la resta con números indo-arábigos).

Como no hay suficientes X en el minuendo para quitarle las 3 que hay en el sustraendo, reescribimos L como XXXXX:

XXXXXXXIIII – XXXI = XXXXIII

Si quedan 4 símbolos iguales seguidos, los reescribimos usando restas:

XLIII

Listo, resta terminada: LXXIV – XXXI = XLIII , esto es, 74 – 31 = 43.

La multiplicación se reescribe y calcula como suma, de esta forma:

XIII  por VI = XIII + XIII + XIII + XIII + XIII + XIII =

XXXXXXIIIIIIIIIIIIIIIIII = XXXXXXXIIIIIIII = LXXVIII

Listo, multiplicación terminada: XIII  por VI = LXXVIII, esto es, 13 x 6 = 78

Por cierto, podemos usar un truco para multiplicar por X los números menores a 400: sólo es necesario cambiar cada símbolo por el que vale 10 veces su valor:

CCXCVII   por   X   =  MMCMLXX

Esto es: 297 x 10 = 2970

La división es una resta repetida, así que, para ver cuántas veces cabe  III en XIX se haría:

XIX – III = XVIIII – III = XVI

XVI – III = XIIIIII – III = XIII

XIII – III = X

X – III = VIIIII – III = VII

VII – III = IIIIIII – III = IIII

IIII – III = I

Como lo pudimos restar VI veces y quedó I al final, entonces XIX entre III = VI y sobra I.

Esto es, 19 entre 3 es igual a 6 y sobra 1.

Supongo que ahora les queda más claro por qué el desarrollo de las matemáticas estuvo detenido en Europa hasta que aceptaron el sistema numérico decimal.

Los números romanos en los relojes

No existe un consenso sobre por qué muchos relojes (no todos) que tienen números romanos para marcar las horas usan IIII en vez de IV. Las razones que se mencionan van desde la simetría del IIII con el VIII que está del otro lado del reloj hasta el hecho de que IV serían las iniciales del dios IVUPITER, lo cual las hacía inapropiadas para usarse como número. También se mencionan situaciones relacionadas con reyes y relojeros. Lo que importa aquí es entender que la regla de escritura señala que el 4 se escribe IV y que la situación con los relojes es una excepción que no debería usarse en otro contexto, ¡sobre todo en un examen escolar!

Para cerrar

Se dice que “todos los caminos llevan a Roma” y ya sabemos que, por todos lados, podemos toparnos con algún número romano en una fecha, un reloj o una ennumeración. También se dice que “Roma no se hizo en un día” y ahora sabemos por qué se tardaron tanto… haciendo los cálculos de esa forma cualquiera se tardaría. Imaginen lo que hubiera pasado con el Imperio Romano si hubieran contado con un sistema de numeración más eficiente.

Aceptemos que los números romanos son una reliquia que se usa sólo en ciertos contextos, más por tradición (o para dar realce y elegancia) que por necesidad, pero ese uso extendido hace que se vuelva una necesidad saber leerlos y escribirlos. Con un poco de imaginación, podemos aprovechar las actividades que realizarán nuestros hijos y alumnos para aprenderlos, ampliando su alcance para que desarrollen habilidades como el pensamiento lógico y el sentido numérico (en romano y en indo-arábigo). ¿Dónde más han visto números romanos?

Cierto, antes de terminar, vamos a contestar la pregunta sobre los capicúas de 4 dígitos. Si pensaron que serían más que los de 3 dígitos, probablemente les faltó analizar un poco más la situación.

Las opciones de números palíndromos de 4 dígitos serían las mismas que las de 3 dígitos, 90, ya que hay 9 opciones para las cifras exteriores, que deben ser idénticas (el cero a la izquierda no se escribe) y 10 opciones para las cifras interiores, que también deben ser idénticas (9 x 10 = 90 opciones). Algunos ejemplos serían: 1001, 1111, 1221…

Tomando lo anterior, los años también pueden ser capicúa. Los más recientes serían 1991 y 2002 y el siguiente será 2112. Y David… adivinaron, nació en un año capicúa también.

Agradezco a quien diseñó la sudadera de David y me dio la idea para esta entrada. También agradezco, como siempre, a los que leen el blog, a los que lo comparten y a los que comentan. Pueden escribirme para sugerirme ideas para futuras entradas y también pueden suscribirse para recibir un correo cada miércoles cuando subo la nueva entrada

¡Hasta la próxima semana!

Rebeca

PD1: Aún no he logrado insertar en esta sección un botón que permita seguir el blog… lamento la molestia que implica ir a la página principal para hacerlo.

PD2: Quiero agradecer a estas páginas en las que me apoyo constantemente para redactar el blog: pixabay    webresizer

De Wikipedia saqué varios de los datos que usé para armar esta entrada.

La fecha capicúa la escribí en www.dafont.com

Hice algunas imágenes en Word