Esta distribución puede considerarse como una extensión o ampliación de la distribución geométrica . La distribución binomial negativa es un modelo adecuado para tratar aquellos procesos en los que se repite un determinado ensayo o prueba hasta conseguir un número determinado de resultados favorables (por vez primera) .Es por tanto de gran utilidad para aquellos muestreos que procedan de esta manera. Si el número de resultados favorables buscados fuera 1 estaríamos en el caso de la distribución geométrica . Está implicada también la existencia de una dicotomía de resultados posibles en cada prueba y la independencia de cada prueba o ensayo, o la reposición de los individuos muestreados.

Esta distribución o modelo puede hacerse derivar de un proceso experimental puro o de Bernouilli en el que se presenten las siguientes condiciones

· El proceso consta de un número no definido de pruebas separadas o separables . El proceso concluirá cuando se obtenga un determinado número de resultados favorables K

· Cada prueba puede dar dos resultados posibles mutuamente excluyentes A y no A

· La probabilidad de obtener un resultado A en cada una de las pruebas es p siendo la probabilidad de no A , q . Lo que nos lleva a que p+q=1

· Las probabilidades p y q son constantes en todas las pruebas. Todas las pruebas son independientes. Si se trata de un experimento de extracción éste se llevará cabo con devolución del individuo extraído, a no ser que se trate de una población en la que el número de individuos tenga de carácter infinito.

· (Derivación de la distribución) Si, en estas circunstancias aleatorizamos de forma que la variable aleatoria x sea "el número de pruebas necesarias para conseguir K éxitos o resultados A " ; entonces la variable aleatoria x seguirá una distribución binomial negativa con parámetros p y k

                                                                   será entonces   

La variable aleatoria x podrá tomar sólo valores superiores a k

El suceso del que se trata podría verse como:

                   o lo que es lo mismo

dado que las pruebas son independientes y conocemos que P(A)= p y P(no A)= q

que sería la probabilidad de x si el suceso fuera precisamente con los resultados en ese orden. Dado que pueden darse otros órdenes , en concreto formas u órdenes distintos . La función de cuantía de la distribución binomial negativa quedará como :

              Como ejemplo la representación gráfica de una variable sería la siguiente

                Como en el caso de la geométrica , algunos autores aleatorizan de distinta manera el mismo proceso . Así X sería el número de fracasos (k) necesarios antes de conseguir el r-ésimo éxito . En este caso el número de pruebas sería k + r ( lo que nosotros hemos llamado x) y r lo que nosotros hemos denominado k.

                                                 Para este tipo de aleatorización la función de cuantía sería:

                                  que como se observa es la misma si se realizan los antes nombrados cambios

La función generatriz de momentos será (según nuestra aleatorización) para una BN(k,p).

  Aplicando el teorema de los momentos hallamos media y varianza que resultan ser:

            No parece necesario recordar que si nos encontramos con una distribución BN( k=1,p) realmente se trata de una distribución geométrica.

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