En esta lección te voy a explicar una serie de conceptos que nos van a servir para calcular el determinante de una matriz, así como para el cálculo de la inversa de una matriz.
Te enseñaré qué son y cómo calcular el menor complementario de los elementos de una matriz, sus adjuntos y la matriz adjunta.
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Menor complementario de un elemento
Para una matriz cuadrada, el menor complementario de un elemento es el determinante que resulta de suprimir la fila y la columna donde se encuentra ese elemento en la matriz.
Por ejemplo, tenemos la siguiente matriz:
Vamos a obtener los menores complementarios de los elementos 1, 2, 3 y 5.
Para obtener el menor complementario de 1, eliminamos la fila y la columna donde se encuentra el 1:
Y el menor complementario será el determinante que resulta de eliminar esa fila y esa columna.
Vamos a obtener el menor complementario de 2.
Eliminamos la fila y la columna donde se encuentra el 2:
Los elementos que queda forman el menor complementario de 2:
Hacemos lo mismo con el 3:
El menor complementario de 3 es:
Y finalmente, eliminamos la fila y la columna donde se encuentra el 5 para hallar su menor complementario:
Más que con el nombre del concepto, quédate cómo funciona.
Una vez tenemos el menor complementario, podemos calcular el adjunto de un elemento, que es el concepto que te voy a explicar a continuación:
Adjunto de un elemento
Para una matriz cuadrada, el adjunto de un elemento de la matriz es igual al menor complementario el elemento, multiplicado por -1 elevado a la suma de la fila más la columna donde se encuentra ese elemento en la matriz.
i y j son los números de la fila y la columna respectivamente donde se encuentra el elemento.
Vamos a verlo con varios ejemplos para que quede mucho más claro. Por ejemplo, para la misma matriz del ejemplo anterior:
Vamos a calcular el adjunto de 1.
El 1 se encuentra en la fila 1 y en la columna 1, por tanto, para calcular el adjunto de 1, el menor complementario de 1, lo tenemos que multiplicar por -1 elevado 1+1 (fila 1 y columna 1)
Ahora operamos:
Y ya tenemos el adjunto de 1
Para calcular el adjunto de 2, hacemos lo mismo, solo que ahora, el -1 irá elevado a 3 (1+2), ya que el 2 se encuentra en la fila 1 y en la columna 2:
El 3 se encuentra en la fila 1 y en la columna 3, por tanto, el -1 irá elevado a 1+3 y su adjunto será:
El 5 está en la fila 2 y en la columna 2. El adjunto de 5 será:
El adjunto de un elemento nos permite calcular tanto el valor de un determinante como para calcular la matriz adjunta, que es lo que veremos a continuación.
Matriz adjunta
La matriz adjunta de otra matriz, es una matriz donde cada uno de los elementos se sustituyen por sus adjuntos.
Vamos a calcular la matriz adjunta de la matriz A:
Para obtener la matriz adjunta, se sustituyen los elementos por cada uno de sus adjuntos.
En el apartado anterior hemos calculado los adjuntos de 1, 2, 3 y 5:
- Adjunto de 1 = -3
- Adjunto de 2 = 6
- Adjunto de 3 = -3
- Adjunto de 5 = -12
Estos adjuntos ya los podemos sustituir por los elementos:
Para terminar de completar la matriz adjunta de A, vamos a seguir calculando los adjuntos de 4, 6, 7, 8 y 9.
Adjunto de 4:
Adjunto de 6:
Adjunto de 7:
Adjunto de 8:
Adjunto de 9:
Una vez tenemos todos los adjuntos, ya podemos sustituirlos por sus elementos y la matriz adjunta de A será:
La matriz adjunta nos va a servir para calcular la inversa de una matriz.
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