Factores y Primos

 

Objetivos de Aprendizaje

·         Reconocer (usando la regla de divisibilidad) si un número es divisible entre 2, 3, 4, 5, 6, 9, o 10.

·         Encontrar los factores de un número.

·         Determinar si un número es primo, compuesto o ninguno de los dos.

·         Encontrar la factorización prima de un número.

 

 

Los números naturales, también llamados números de conteo (1, 2, 3, etc.), pueden expresarse como un producto de sus factores. Cuando trabajamos con una fracción, puede ser útil simplificarla. Esto significa que el numerador y el denominador no tengan factores comunes además del 1. Esto ayudará a encontrar factores, para que después podamos simplificar y comparar fracciones.

 

 

Cuando un número natural se expresa como el producto de dos números naturales, esos otros números son factores del número original. Por ejemplo, dos factores del número 12 son 3 y 4, porque 3 • 4 = 12.

 

Cuando un número puede ser dividido entre otro número sin que quede un residuo, decimos que el primer número es divisible entre el otro número. Por ejemplo, 20 es divisible entre 4 (). Si un número es divisible entre otro número, es también un múltiplo de ése número. Por ejemplo, 20 es divisible entre 4, entonces 20 es un múltiplo de 4.

 

Las pruebas de divisibilidad son reglas que nos permiten saber rápidamente si un número es divisible entre otro, Hay muchas pruebas de divisibilidad. Aquí se muestran algunas de las más útiles y fáciles de recordar:

 

• Un número es divisible entre 2 si el último dígito (el de las unidades) es divisible entre 2. Esto es, si el último dígito es 0, 2, 4, 6, o 8. (Entonces decimos que el número es un número par.) Por ejemplo, en el número 236, el último dígito es 6. Como 6 es divisible entre 2 (6 ÷ 2 = 3), 236 es divisible entre 2.

 

• Un número es divisible entre 3 si la suma de todos los dígitos es divisible entre 3. Por ejemplo, la suma de los dígitos de 411 es 4 + 1 + 1 = 6. Como 6 es divisible entre 3 (), 411 es divisible entre 3.

 

• Un número es divisible entre 5 si el último dígito es 0 o 5. Por ejemplo, 275 y 1,340 son divisibles entre 55 porque el último dígito es 5 o 0.

 

• Un número es divisible entre 10 si el último dígito es 0. Por ejemplo, 520 es divisible entre 10 (el último dígito es 0).

 

Otras pruebas útiles de divisibilidad:   4: Un número es divisible entre 4 si los dos últimos dígitos son divisibles entre 4.   6: Un número es divisible entre 6 si es divisible entre 2 y también entre 3.   9: Un número es divisible entre 9 si la suma de sus dos últimos dígitos es divisible entre 9.

 

 

Ésta es una tabla que resume las reglas de divisibilidad más comunes.

 

 

 

 

Si necesitas revisar la divisibilidad de un número sin una regla, divide (ya sea usando una calculadora o a mano). Si el resultado es un número sin una parte fraccional o residuo, entonces el número es divisible entre el divisor. Si olvidas una regla, puedes usar ésta estrategia.

 

Determina si 522 es divisible entre 2, 3, 4, 5, 6, 9, o 10.   A) Sólo entre 2 y 3 B) Sólo entre 3  C) Sólo entre 2, 3, 6, y 9 D) Sólo entre 4, 5, y 10   Mostrar/Ocultar Respuesta A) Sólo entre 2 y 3 Incorrecto. Aunque 522 es divisible entre 2 (el último dígito es par) y 3 (5 + 2 + 2 = 9, que es un múltiplo de 3), también es divisible entre 6 y 9. La respuesta correcta es 2, 3, 6, y 9.   B) Sólo entre 3  Incorrecto. Los dos últimos dígitos (22) no son divisibles entre 4, por lo que 522 no es divisible entre 4. 522 tiene un último dígito divisible entre 2, por lo que 522 es divisible entre 2. La suma de los dígitos es divisible entre 3 (5 + 2 + 2 = 9) y entre 9, de modo 522 es divisible entre 3 y 9. Ya que 522 es divisible entre 2 y entre 3, es divisible entre 6. Como el último dígito no es 0 o 5, 522 no es divisible entre 5 o 10. La respuesta correcta es 2, 3, 6, y 9.   C) Sólo entre 2, 3, 6, y 9 Correcto. 522 es divisible entre 2 (el último dígito es par) y 3 (5 + 2 + 2 = 9, que es un múltiplo de 3). Puesto que es divisible entre 2 y 3, también es divisible entre 6. Además, la suma de los dígitos es divisible entre 9, de modo que 522 es divisible entre 9. Ya que el último dígito no es 0 o 5, 522 no es divisible entre 5 o 10. El número formado por los dos últimos dígitos, 22, no es divisible entre 4, por lo que 522 no es divisible entre 4.   D) Sólo entre 4, 5, y 10 Incorrecto. Los dos últimos dígitos no son divisibles entre 4, por lo que 522 no es divisible entre 4. El último dígito no es 0 o 5 por lo que 522 no es divisible entre 5. El último dígito no es 0, por lo que 522 no es divisible entre 10. Sin embargo, 522 es divisible entre 2 (el último dígito es par) y 3 (5 + 2 + 2 = 9, que es un múltiplo de 3). Puesto que es divisible entre 2 y 3, también es divisible entre 6. Además, la suma de los dígitos es divisible entre 9, de modo que 522 es divisible entre 9. La respuesta correcta es 2, 3, 6, y 9.

 

 

 

Para encontrar todos los factores de un número, necesitas encontrar todos los números que puedan dividir al número original sin que resulte un residuo. ¡Las reglas de divisibilidad son extremadamente útiles!

 

Supongamos que necesitas encontrar los factores de 30. Como 30 es un número con el que estás familiarizado, y es pequeño, debes saber cuántos factores tiene sin necesidad de aplicar las reglas. Puedes empezar enlistando los factores como te vengan a la mente:

 

2 • 15

3 • 10

5 • 6

 

¿Es todo? No, Todos los números naturales excepto el 1 también tienen 1 y sí mismos como factores:

 

1 • 30

 

Los factores de 30 son 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, y 30.

 

Cuando encuentras el factor de un número, puedes encontrar fácilmente otro factor — es el cociente de usar el primer factor como divisor. Por ejemplo, una vez que sabes que 2 es factor de 30, entonces, 30 ¸ 2 es otro factor. Un par de factores cuyo producto es un nu´mero dado es un par de factores del número original. Entonces, 2 y 15 son un par de factores de 30.

 

¿Qué hacer si necesitas factorizar un número más grande y no puedes ver fácilmente los factores? Es ahí donde las reglas de divisibilidad son bastante útiles. Aquí mostramos una serie de pasos que podrías seguir:

 

1. Empieza con 1 y revisa los números secuencialmente, usando las reglas de divisibilidad.
2. Cuando encuentres un factor, encuentra el otro número en el par de factores.
3. Sigue revisando secuencialmente, hasta que encuentres un segundo número en el último par de factores que encontrase. o hasta que el resultado de dividir resulte en un número menor que el divisor.

 

Observa que puedes dejar de revisar cuando el resultado de dividir es menor que el número que estas probando. Esto significa que ya has encontrado todos los pares de factores, y continuar el proceso encontraría pares que ya has encontrado.

 

 

 

Si un número tiene sólo dos factores, 1 y sí mismo, el número es un número primo. Un número que tiene más factores además de sí mismo y 1 se llama número compuesto. El número 1 no se considera ni primo ni compuesto, ya que su único factor es 1. Para determinar si un número es primo, compuesto o ninguno de los dos, revisa los factores. Aquí hay algunos ejemplos.

 

 

 

Encuentra todos los factores de 48.   Mostrar/Ocultar Respuesta 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48

 

 

 

Un número compuesto escrito como el producto de números primos se llama factorización prima. Una manera de encontrar la factorización prima de un número es empezar con los números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc., y determinar si el número es divisible entre los primos.

 

Por ejemplo, si quieres encontrar la factorización prima de 20, empieza probando si 20 es divisible entre 2. Sí, 2 • 10 = 20.

 

Luego factoriza 10, que también es divisible entre 2 (2 • 5 = 10).

 

Ambos factores son primos, por lo que puedes detenerte. La factorización prima de 20 es 2 • 2 • 5, la cual puedes escribir usando la notación exponencial como 2² • 5.

 

Una forma de encontrar la factorización prima de un número es usar divisiones sucesivas.

 

 

 

Para ayudarte a organizar el proceso de factorización, puedes crear un árbol de factores. Éste es un diagrama que muestra un par de factores para un nu´mero compuesto. Entonces, cada factor que no es primo también se muestra como un par de factores. Puedes continuar mostrando pares de factores para factores compuestos, hasta que tengas sólo factores primos. Cuando un número primo se encuentra como factor, enciérralo en un círculo para que puedas encontrar después más fácilmente.

 

                                                           

 

Escrito usando notación exponencial, la factorización prima de 20 es una vez más 2² • 5.

 

Observa que no necesariamente debes empezar probando el número usando divisibilidad de números primos. Puedes factorizar 20 como 4 • 5, y luego factorizar 4 como 2 • 2, resultando la misma factorización prima: 2 • 2 • 5.

 

Ahora observa una factorización más complicada.

 

 

Nota que hay dos árboles distintos, pero ambos producen el mismo resultado: 2s y un 3. Cada número sólo tendrá una factorización prima. Puedes usar cualquier conjunto de pares de factores que quieras, siempre y cuando sigas factorizando números compuestos.

 

Cuando reescribes la factorización prima de 96 (2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 3) en notación exponencial, los 5 2s pueden escribirse como 2⁵. Entonces, 96 = 2⁵ • 3.

 

 

Cuando buscaba la factorización prima de 72, Marie empezó un diagrama de árbol usando los factores 9 y 8. ¿Cuál de los siguientes enunciados es válido?   1.      Marie empezó el diagrama incorrectamente y debería haber empezado con los factores 2 y 36. 2.      El siguiente conjunto de pares de factores podrían ser 3, 3 y 2, 4. 3.      El siguiente conjunto de pares de factores podrían ser 3, 3 y 9, 8. 4.      Marie no tenía que usar un diagrama de árbol.   A) Sólo 1 B) Sólo 2 C) Sólo 3 y 4 D) Sólo 2 y 4   Mostrar/Ocultar Respuesta A) Sólo 1 Incorrecto. Marie podía haber empezado su diagrama de árbol con los factores 2 y 36, pero no tiene que empezar con esos factores. Empezar con 9 y 8 está bien. La respuesta correcta es D.   B) Sólo 2 Incorrecto. Sí, el siguiente conjunto de pares de factores podrían contener 3,3, y 2,4, pero el enunciado 4 también es correcto. La respuesta correcta es D.   C) Sólo 3 y 4 Incorrecto. El enunciado 4 es correcto: Marie no tiene que usar un diagrama de árbol, pero 3 no es válido. Cuando creamos una factorización prima, los factores no se combinan con el compuesto anterior. La respuesta correcta es D.   D) Sólo 2 y 4 Correcto. El siguiente conjunto de pares de factores pueden ser 3, 3, y 2, 4, ya que 3 • 3 es factorización de 9 y 2 • 4 es factorización de 8. Marie pudo encontrar también la factorización prima usando divisiones sucesivas.

 

 

 

Encontrar los factores de un número natural significa que encuentras todos los números posibles que dividirán el número dado sin dejar residuo. Existen muchas reglas de divisibilidad para ayudarte a encontrar rápidamente los factores. Un número primo es un número que tiene solamente dos factores. Un número compuesto es un nu´mero que tiene más de dos factores. La factorización prima de un número es el producto de sus factores primos.