Raíz de un número real

En el caso de la adición y sustracción de números reales podemos decir que son operaciones mutuamente inversas en el sendito de que

(m+n)-n = m o bien (m-n)+n = m.

• Lo mismo para el caso de la multiplicación y división, se las considera operaciones mutuamente inversas

(m×n)÷n = m, o de otra manera (m÷n)×n = m, siempre que n sea diferente de cero.

• Consideremos el caso mⁿ = p donde los tres números sean positivos, además n es entero positivo, m ≠ 1; si conocemos p y n, para calcular m usamos

m = n^1/n y cabe (mⁿ)^1/n = m o de otro modo (m^1/n)ⁿ = n.

. Cuando se conocen la potencia y el exponente la operación inversa de la potenciación es la radicación.

x³ = 64 → x = (64)^1/3 = 4

t ⁵ = -243 → t = (-243)^1/5 = -3

Definición

extraer la raíz enésima del número real m significa hallar un número real r, que elevado a la potencia n, se obtenga el número m.

En la notación (m)^1/n = r, se dice que m es el radicando o cantidad subradical, n el índice de la raíz: r es la raíz enésima. (m)^1/n se llama radical de grado n; cuando n = 2, se trata de raíz cuadrada, si n = 3 se refiere a la raíz cúbica, en los siguientes casos se usa ordinal: raíz cuarta, raíz quinta, etc.

Observación

Por lo que antecede la radicación se puede considerar, para radicando positivo y n entero par; y n impar , radicando cualquier real, como una potenciación de exponente 1/n. Por lo indicado, en las calculadoras científicas, al hallar la raíz cuadrada de 674, por ejemplo, basta tomar base = 674, exponente = 0.5.

Regla de los signos

• A una raíz de índice par le corresponden dos raíces, con el mismo valor absoluto y de signos opuestos.

(25)^1/2 = ±5

• la raíz impar tiene el mismo signo que el radicando

(-8)^1/3 = -2

• La raíz de índice par de un número real negativo no es un número real. No hay real x tal que (-36)^1/2

Raíz aritmética

El valor no negativo de la raíz de índice par de un real positivo se llama valor aritmético de la raíz o raíz aritmética.

Propiedades básicas

• Si elevamos a potencia n la raíz enésima de m, se obtiene este número. [(m)^1/n]ⁿ = m.

Esta propiedad se usa para las comprobaciones. Sea 1,41 una aproximación de r.c. de 2 al elevar al cuadrado obtenemos: 1,9881, próximo a 2. Al mejorar la aproximación, sea 1.4142, su cuadrado es 1, 99996164, mucho más próximo a 2.

• La raíz no varía si se multiplica o divide por un entero el índice y el exponente del radicando.

(m)^1/n = (m^k)^1nk.

Por ejemplo: (8)^1/3 = (8²)^1/3×2 = (64)^1/6 = 2. De modo que la raíz cúbica de 8, igual a 2, es lo mismo que la raíz sexta de 64.

• La raíz enésima de un producto es igual al producto de las respectivas raíces enésimas de los factores

(-8×27)^1/3 = (-8)^1/3 × (27)^1/3. En efecto -8×27 = -216; su raíz cúbica es -6; la raíz cúbica de -8 es -2; la raíz cúbica de 27 es 3; el producto de estas dos raíces cúbicas es -6. Y la propiedad se comprueba.

Esta propiedad asume esta posibilidad: el producto de radicales del mismo índice n es igual a un radical del mismo índice y cantidad subradical igual al productos de las correspondientes cantidades subradicales.

El producto de las raíces cuadradas de 2, 5 y 10 es igual a la raíz cuadrada de su producto 2×5×10 = 100. Este dato se usa en caso de racionalización de ciertos términos.

• La raíz enésima de un cociente es igual al cociente de la raíz enésima del dividendo entre la raíz enésima del divisor.
• La potencia m-ésima de una raíz enésima es igual a la enésima raíz de la m-ésima potencia del radicando.
• La raíz de índice m de la raíz de la raíz de índice n de de b positivo, es igual a la raíz de índice de orden m×n de b. Para las raíces de índice impar y radicando negativo también funciona. Simbólicamente [(b)^1/n]^1/m = (b)^1/m×n

Desigualdades

• Si 0 ≤ a < b entonces la raíz enésima de a es menor que la raíz enésima de b.
• Si a < b < 0 entonces la raíz enésima de a es menor que la raíz enésima de b, siendo n un entero impar.
• Si a> 0, m > n, se tiene que la raíz m-ésima de a es menor que la raíz enésima de a. Por ejemplo, la raíz sexta de 64 (=2) es menor que la raíz cúbica de 64 (=4), y esta es menor que la raíz cuadrada de 64 (=8).
• La suma de las raíces enésimas de a y b positivos es mayor que la raíz enésima de la suma de a y b. La suma de las raíces cuadradas de 9 y 16 ( =7) es mayor que la raíz

cuadrada de 9+16 ( =5)

Límites

• La raíz de índice n de a positivo se aproxima a 1, cuando n tiende a infinito.
• la raíz de índice n de n ( n entero positivo) cuando n , se aproxima a 1, cuando n tiende a infinito.

Historia

• Los escribas egipcios tenían tablas especiales para calcular algunas raíces cuadradas.
• Los expertos babilonios conocían la proposición, nombrada como el teorema de Pitágoras. Tenían tablas para raíces cuadradas. Hallaron la raíz cuadrada usando el método de aproximación : Para el 2:

x_n = (x_n-1 + 2/x_n-1)/n para la raíz cuadrada de 2 . x₁ = 1; 30/ x₂ = 1; 25 x₃ = 1; 24, 51, 10, en el sistema sexagesimal.

• La escuela pitagórica llegó a demostrar que la raíz cuadrada de 2 no se podía expresar con la razón de dos enteros.

Fuentes bibliográficas

• Tsipkin Manual de matemáticas para enseñanza media
• Editorial Lumbreras Aritmética