Cuadrados, cubos y más allá

 

Objetivos de aprendizaje

·         Simplificar raíces cuadradas.

·         Encontrar raíces cúbicas.

·         Simplificar expresiones con raíces impares y pares.

 

 

Las expresiones radicales son expresiones que contienen radicales. Las expresiones radicales vienen de muchas formas, desde simples y familiares, como , a complicadas, como en . Además de las raíces cuadradas, existen radicales llamados raíces cúbicas, raíces a la cuarta, raíces a la quinta, etc. Usando factorización, también puedes simplificar estas expresiones radicales.

 

 

Algunas veces, las expresiones radicales incluyen variables así como números. Considera la expresión . Para simplificar una expresión radical como esta, puedes factorizar, pero también tendrás que aplicar las reglas de los exponentes. Intentémoslo.

 

 

 

 

El objetivo es encontrar factores dentro del radical que sean cuadrados perfecto de tal forma que puedas calcular su raíz cuadrada. Repitamos el ejemplo enfocándonos en encontrar pares idénticos de factores.

 

 

 

 

Los factores variables con exponentes pares pueden escribirse como cuadrados. En el ejemplo anterior,  y . Intentemos simplificar otra expresión radical.

 

 

 

 

Encuentras que la raíz cuadrada de  es . Para comprobar este cálculo, podrías elevar al cuadrado , esperando obtener . Y de hecho, obtendrías la expresión si evalúas .

 

 

 

Toma un momento y piensa en dos expresiones radicales:  y . Usarías las mismas técnicas para simplificar cada uno: encuentra cuadrados dentro del radical, reescribe la expresión como el producto de radicales separados, simplifica y multiplica.

 

Hay una cuestión adicional cuando obtienes la raíz de una expresión radical que contiene variables. Recuerda que la raíz de un entero, como , se define no negativa. Esto significa que si bien  y  son iguales a 900,  se define sólo como 30. Esta es la idea de que 30 es la raíz principal de 900.

 

Pero no es tan fácil con expresiones radicales que contienen variables. Considera la expresión . Esto sería igual a x, ¿no? Probemos con algunos valores para x para ver qué pasa.

 

En la tabla de abajo, recorre cada fila y determina si el valor de x es el mismo que el valor de . ¿Dónde son iguales? ¿Dónde no son iguales?

 

Después de hacer esto con cada fila, observa de nuevo y determina si el valor de  es el mismo que el valor de .

 

 

Observa — ¡en casos donde x es un número negativo, ! (Esto sucede porque en el proceso de elevar al cuadrado los números pierden el signo negativo, porque un negativo por un negativo es un positivo.) Sin embargo, en todos los casos . Necesitas considerar este hecho cuando simplificas radicales que contienen variables, porque por definición  siempre es no negativo.

 

Tomando la raíz cuadrada de una expresión radical   Cuando encontramos la raíz cuadrada de una expresión que contienen variables elevadas a una potencia, consideramos que .   Ejemplos: y

 

Observa cómo esta idea se aplica en el siguiente ejemplo.

 

 

 

 

Simplificar.   A)   B)   C)   D)   Mostrar/Ocultar Respuesta A) Incorrecto. La raíz cuadrada no es la mitad del número;  es el número que, cuando se multiplica por sí mismo, da 72. 36 veces 36 es mucho mayor que 72. La respuesta es .   B) Incorrecto. La raíz cuadrada de 72 se simplificó correctamente, pero la raíz cuadrada de la variable no se simplificó. La respuesta es .   C) Incorrecto. No has aplicado la regla de . La respuesta es .   D) Correcto. Para simplificar la expresión, factoriza 72 en 36 • 2 luego toma la raíz cuadrada de 36 dejando un coeficiente de 6 al frente del radical y el factor simplificado . Luego, simplifica  y .

 

 

 

si bien las raíces cuadradas son el radical más común, también puedes encontrar raíces cúbicas, raíces cuartas, raíces 10^ma, o cualquier raíz n de un número. De la misma manera que la raíz cuadrada de un número, cuando se eleva al cuadrado, resulta en el radicando, la raíz cúbica es un número que, cuando lo elevamos al cubo, obtenemos el radicando. Elevar al cubo un número es lo mismo que elevar a la tercera potencia: 2³ es 2 al cubo, por lo que la raíz cúbica de 2³ es 2.

 

La raíz cúbica de un número se escribe con un pequeño número 3, que se llama índice, afuera y encima del símbolo radical. Se ve como . Este pequeño 3 distingue las raíces cúbicas de las raíces cuadradas que se escriben sin un número pequeño fuera del símbolo radical.

 

Ten cuidado en distinguir entre , la raíz cúbica de x y , tres veces la raíz cuadrada de x. ¡Podrían parecerse mucho a primera vista, pero te describen expresiones muy distintas!

 

 

 

 

Otra manera de simplificar una raíz cúbica es usar factorización. Exploremos la factorización con la expresión . Se puede leer como “la raíz cúbica de 125”. Para simplificar esta expresión, busca un número que, cuando se multiplica por sí mismo dos veces (para un total de tres factores idénticos), es igual a 125. Factoricemos 125 y encontremos ese número.

 

 

 

 

Los factores primos de 125 son 5 • 5 • 5, que se pueden reescribir como 5³. La raíz cúbica de un número elevado al cubo es el número mismo, entonces . Has encontrado la raíz cúbica, los tres factores idénticos que cuando se multiplican dan 125. Se le conoce a 125 como un cubo perfecto porque su raíz cúbica es un entero.

 

Aquí hay un ejemplo de cómo simplificar un radical que no es un cubo perfecto.

 

 

 

 

Simplifica.   A)   B)   C)   D)   Mostrar/Ocultar Respuesta A) Incorrecto. 8h3 es la raíz cuadrada de 64h6, no la raíz cúbica. La respuesta es .   B) Incorrecto. Para encontrar la raíz cúbica de 64h6, encuentra la raíz cúbica de 64 y luego la raíz cúbica de h6. La respuesta es .   C) Incorrecto. 4 es la raíz cúbica de 64 y h2 es la raíz cúbica de h6, pero los factores deberían ser multiplicados. La respuesta es .   D) Correcto. Para simplificar la expresión, encuentra la raíz cúbica de 64 y la raíz cúbica de h6. .

 

 

 

Hay un hecho interesante sobre las raíces cúbicas que no sucede con las raíces cuadradas. ¡Los números negativos no pueden tener raíces cuadradas de números reales, pero sí pueden tener raíces cúbicas! ¿Cuál es la raíz cúbica de −8?  porque . Recuerda, ¡cuando estás multiplicando un número impar de números negativos el resultado es negativo! En el ejemplo de abajo, observa que se usa  para simplificar el radical.

 

 

 

 

Podrías comprobar tu respuesta realizando la operación inversa. Si es correcta, cuando elevas al cubo  debes obtener .

 

 

 

Entonces, puedes encontrar la raíz impar de un número negativo, pero no puedes encontrar la raíz para de un número negativo. Esto significa que puedes simplificar los radicales y , pero no puedes simplificar los radicales , o .

 

Veamos otro ejemplo.

 

 

 

 

A continuación se muestran los pasos a considerar cuando simplificamos radicales.

 

Simplificando un radical   Cuando trabajamos con exponentes y radicales: ·         Si n es impar, . ·        Si n es par, . (El valor absoluto incluye el hecho de que si x es negativa y elevada a una potencia impar, el número será positivo, así como la n-ésima raíz principal de ese número.)

 

 

 

 

Puedes comprobar tu respuesta elevándola al cuadrado para asegurarte que es igual a .

 

Una expresión radical es una manera matemática de representar la raíz n de un número. Las raíces cuadradas y cúbicas son los radicales más comunes, pero una raíz puede ser cualquier número. Para simplificar expresiones radicales, busca los factores exponenciales dentro del radical y usa la propiedad  si n es impar y  si n es par para sacar ambas cantidades. Aplican todas las reglas de operaciones enteres y exponentes cuando simplificamos expresiones radicales.