Raíces

 

Objetivos de aprendizaje

·         Encontrar raíces cuadradas principales y sus opuestos.

·         Aproximar raíces cuadradas y encontrar raíces exactas con una calculadora.

 

 

Seguramente has trabajado con raíces de plantas y árboles en un jardín, ¿pero sabías que también hay raíces en las matemáticas?

 

Sí, las raíces existen en las matemáticas. La raíz más común es la raíz cuadrada. Veamos lo que son las raíces, cómo se relacionan con los exponentes y cómo puedes calcular la raíz de un número.

 

Para entender mejor las raíces cuadradas, vamos a repasar algunos datos sobre los exponentes. Veamos la tabla siguiente.

 

 

Puedes pensar en los números exponenciales como una “multiplicación repetida.”

 

Del mismo modo que dividir es la inversa de multiplicar, la inversa de elevar a un número a una potencia es obtener la raíz de ese número. La raíz más común (y la que vamos a estudiar) es la llamada raíz cuadrada. Cuando tratas de encontrar la raíz cuadrada de un número (digamos, 25), estás tratando de encontrar un número que multiplicado por sí mismo crea el número original. En el caso de 25, puedes encontrar que 5 • 5 = 25, entonces 5 es la raíz cuadrada.

 

El símbolo para la raíz cuadrada se llama símbolo radical y es: . La expresión  se lee como “la raíz cuadrada de veinticinco” o “el radical del veinticinco.” El número que se escribe debajo del símbolo radical se llama radicando. Observa la siguiente tabla.

 

 

Observa de nuevo . Te darás cuenta que hay otro valor que, cuando se multiplica por sí mismo, también resulta en 25. Ese es el número −5.

 

 

Por definición, el símbolo de la raíz cuadrada siempre significa la raíz positiva, llamada la raíz principal. Entonces, si bien 5 • 5 y −5 • −5 son iguales a 25, sólo 5 es la raíz cuadrada. También debes saber que el cero es especial porque sólo tiene una raíz cuadrada: él mismo (como 0 • 0 = 0).

 

Si conoces la raíz cuadrada principal también puedes encontrar su opuesto. (Recuerda que cualquier número sumado a su opuesto es igual a 0. Entonces, por ejemplo, .) En la tabla siguiente, observa que si bien  te dará la raíz principal,  te dará el opuesto. Por ejemplo,  es igual a la raíz principal, 6 y  es igual al opuesto, −6.

 

 

Y ahí está, poner un signo negativo enfrente del radical tiene el efecto de convertir una raíz principal en su opuesto (el negativo de la raíz cuadrada del radicando).

 

Ahora que ya recordamos los exponentes y ya conocemos el concepto de raíz cuadrada. ¿De qué nos sirve entender uno y el otro?

 

Los exponentes y las raíces están conectados, como las raíces se pueden expresar como exponentes fraccionales. Por ahora, veamos la conexión entre el exponente “” y las raíces cuadradas; a continuación veremos otros exponentes fraccionales y otras raíces. La raíz cuadrada de un número puede representarse usando un símbolo radical o elevando el número a la potencia  . Esto se ilustra en la tabla siguiente.

 

 

El cuadrado de 4 es 16 porque 4 veces 4 es igual a 16. Recuerda de tu experiencia con los exponentes que también puedes escribirlo como .

 

Piensa de esta manera, puedes saber que la raíz cuadrada de 9 es 3 porque 3 • 3 = 9. De manera similar, la raíz cuadrada de 25 es 5 porque 5 • 5 = 25 y la raíz cuadrada de  es x porque . Por ejemplo, . (Normalmente verás este tipo de notación, donde tomas la raíz cuadrada de un número al cuadrado, cuando simplificas, multiplicas y divides radicales.)

 

 

Muy bien... las raíces cuadradas y los exponentes están conectados. Ten esto en cuenta cuando empecemos a simplificar raíces cuadradas, “Simplifica ,” puede leerse como “Simplifica la raíz cuadrada de 144.” Piensa en un número que cuando se multiplica por sí mismo, su producto es 144.

 

 

 

 

 

 

Sin embargo, si el signo negativo está dentro del radical como en , no hay manera de simplificar usando números reales. Esto es porque no existe ningún número que multiplicado por sí mismo resulte en −49. Recuerda, un número negativo multiplicado por otro número negativo resulta en un número positivo: −7 • −7 = 49.

 

Si encontrar la raíz cuadrada por prueba y error es difícil, puedes usar lo que conoces sobre factorización para ayudarte a determinar la raíz principal.

 

 

 

 

Observa que algo pasó en el último paso de este ejemplo: la expresión  se reescribió como y luego . Separaste los factores en grupos idénticos, los multiplicaste y llegaste a un número al cuadrado.

 

Muchas veces, es más fácil identificar pares de factores después de que hayas pasado por el proceso de factorizar el radical original. Por ejemplo, veamos de nuevo . ¿Cuántos pares  puedes ver? ¿Y cuántos pares ? Si pudieras de alguna forma identificar números elevados al cuadrado más pequeños debajo del radical en lugar de recombinar todos los factores (como hiciste cuando encontraste que ), podrías simplificar los radicales más rápido.

 

Es aquí donde ayuda pensar en las raíces como exponentes fraccionales. Recuerda la Regla de un Producto Elevado a una Potencia de cuando estudiaste exponentes. Esta regla dice que el producto de dos o más números distintos de cero elevados a una potencia es igual al producto de cada número elevado a la misma potencia. En términos matemáticos, se escribe (ab)^x = a^x • b^x. Entonces, por ejemplo, puedes usar la regla para reescribir  como .

 

Ahora en lugar de usar el exponente 2, usemos el exponente . El exponente se distribuye de la misma forma.

 

Y como sabes que elevar un número a la potencia  es lo mismo que encontrar su raíz cuadrada, puedes también escribirlo así:

 

 

Veamos, puedes pensar en cualquier número dentro del radical como el producto de factores separados, cada uno con su propio radical. Usar esta idea nos ayuda a identificar números cuadrados más pequeños, lo que normalmente nos lleva a simplificar radicales más rápido.

 

Regla de un Producto Elevado a una Potencia o a veces llamado Regla de la Raíz Cuadrada de un Producto   Para cualesquiera números a y b, .   Por ejemplo: y

 

Esta regla es importante porque nos ayuda a pensar en un radical como el producto de múltiples radicales. Si puedes identificar los cuadrados perfectos dentro del radical, como con , puedes reescribir la expresión como el producto de múltiples cuadrados perfectos: . Veamos de nuevo el  usando esta idea nueva.

 

 

 

Obtienes la misma solución en ambos casos, pero normalmente es más fácil sacar pares de factores más pequeños y luego multiplicarlos (como se muestra aquí) que recombinar todos los factores para encontrar la raíz (como se mostró en el primer ejemplo).

 

 

Simplificar.   A) 16   B) 18   C) 21   D) 162   Mostrar/Ocultar Respuesta A) 16 Incorrecto. 162 = 256. Para encontrar la raíz cuadrada de 324, factoriza 324 y busca pares de factores comunes. Si factorizas , encontrarás que . 324 también puede escribirse como 182. La respuesta correcta es 18.   B) 18 Correcto.  = 18. Si factorizas, encontrarás que . 324 también se puede escribir como 182.   C) 21 Incorrecto. 212 = 441. Para encontrar la raíz cuadrada de 324, factoriza 324 y busca pares de factores comunes. Si factorizas , encontrarás que . 324 también puede escribirse como 182. La respuesta correcta es 18.   D) 162 Incorrecto. 1622 = 26,244. Dividir 324 entre 2 no resultará en la raíz cuadrada del número; intenta factorizar 324 y busca pares de factores comunes. Si factorizas , encontrarás que . 324 también se puede escribir como 182. La respuesta correcta es 18.

 

 

 

Hasta ahora, hemos visto ejemplos que son cuadrados perfectos. Esto es, cada uno es un número cuya raíz cuadrada es un entero. Pero muchas expresiones radicales no son cuadrados perfectos. Algunos de estos radicales se pueden simplificar encontrando factores cuadrados perfectos. El ejemplo siguiente ilustra cómo factorizar el radicando, buscando pares de factores que se puedan expresar como una potencia.

 

 

 

 

La respuesta final  podría verse rara, pero está en su forma simplificada. Puedes leer esto como “tres radical de 7” o “tres por la raíz cuadrada de siete.”

 

 

 

 

 

Otra manera de manejar raíces cuadradas que no son cuadrados perfectos es aproximarlas comparando los valores con cuadrados perfectos. Supongamos que quieres saber la raíz cuadrada de 17. Veamos cómo podríamos aproximarla

 

 

 

 

Esta aproximación es muy precisa. Si continúas usando prueba y error podrías encontrar la raíz cuadrada en milésimas, diez milésimas, cien milésimas, pero eventualmente se volverá tedioso hacerlo a mano.

 

Por esta razón, cuando necesitas encontrar una aproximación más precisa de una raíz cuadrada, debes usar una calculadora. Muchas calculadoras tienen una tecla de raíz cuadrada  que te dará rápidamente una aproximación de la raíz cuadrada. En una calculadora simple, normalmente introduces el número del que quieres calcular la raíz cuadrada y luego presionas la tecla de la raíz cuadrada.

 

Intenta encontrar  usando tu calculadora. Observa que no podrás obtener una respuesta “exacta” porque  es un número irracional, un número que no se puede representar como una fracción y el decimal nunca termina ni se repite. A diez posiciones decimales,  se aproxima a 4.123105626. Una calculadora puede ahorrarte mucho tiempo y proporcionar una raíz cuadrada más precisa cuando trabajas con números que no son cuadrados perfectos.

 

 

 

 

 

La raíz cuadrada de un número es el número que, cuando se multiplica por sí mismo, resulta en el número original. Las raíces cuadradas principales siempre son positivas y la raíz cuadrada de 0 es 0. Sólo puedes tener la raíz cuadrada de valores mayores o iguales a 0. La raíz cuadrada de un cuadrado perfecto será un entero. Otras raíces cuadradas pueden simplificarse identificando factores que son cuadrados perfectos y encontrando su raíz cuadrada. Las raíces cuadradas pueden aproximarse usando prueba y error o una calculadora.