Magnitud de un vector
Un vector es un segmento de recta orientado mediante una punta de flecha dibujada en uno de sus extremos:
El punto A se le llama origen y el punto de la flecha (B) se llama extremo del vector.
Un vector representa la magnitud y orientación de una cantidad física, por lo tanto, tiene una longitud (un número real no negativo), así como dirección (u orientación). La longitud del vector se le denomina magnitud o módulo.
Definición de magnitud de un vector
La magnitud o módulo de un vector es la distancia entre el punto inicial y el punto final . En símbolos la magnitud del vector AB se define como |AB|.
La magnitud o módulo es la longitud proporcional al valor del vector.
Cálculo de la magnitud de un vector
Para calcular la magnitud o módulo de un vector A = (Ax, Ay), conociendo sus coordenadas, se utiliza la siguiente formula:
|A| = √ [ (Ax)2 + (Ay)2 ]
Esta expresión es una aplicación del Teorema de Pitágoras.
Sea 0AxA un triángulo rectángulo, observemos que 0A es la hipotenusa; al aplicar el teorema de Pitágoras tenemos:
(0A)2 = (Ax)2 + (Ay)2
Es decir,
|A| = √ [ (Ax)2 + (Ay)2 ]
En tres dimensiones
|A| = √ [ (Ax)2 + (Ay)2 +(Az)2 ]
Ejercicios
- Calcular la magnitud del vector A cuya posición viene dada por (2, 4, 5).
Vemos que 2 es la componente “x”, 4 es “y” y 5 es “z”. Ahora, haciendo uso de la fórmula para determinar magnitud de un vector, tenemos:
|A| = √ [ (Ax)2 + (Ay)2 +(Az)2 ] = √ [ (2)2 + (4)2 +(5)2 ]
= √ [ 4 + 16 + 25 ] =
= 6,71
- Calcular la magnitud del vector A cuyos extremos son (3, -2) y (1, 2).
En este caso tenemos dos puntos (Ax1, Ay1) y (Ax2, Ay2) que corresponden a los extremos del vector A; haciendo uso de la fórmula para determinar magnitud de un vector, tenemos:
|A| = √ [ (Ax2 – Ax1 )2 + (Ay2 – Ay1)2] = √ [ (1 – 3)2 + [2 – (-2)]2 ] =
= √ [ (-2)2 + (4)2 ] =
= √ 20 =
= 4,47
- Calcular la magnitud del vector A cuyos extremos son (1, 3, 2) y (5, 7, 6).
En este caso tenemos dos puntos (Ax1, Ay1, Az1) y (Ax2, Ay2, Az2) que corresponden a los extremos del vector A; haciendo uso de la fórmula para determinar magnitud de un vector, tenemos:
|A| = √ [ (Ax2 – Ax1 )2 + (Ay2 – Ay1)2 + (Az2 – Az1)2] = √ [ (5 – 1)2 + (7 – 3)2 + (6 – 2)2] =
= √ [ (4)2 + (4)2 + (4)2 ] =
= √ 48 =
= 6,93
- Calcular la magnitud de los vectores A = (9, 7) y A = (6, 2, -3).
Vemos que para el vector A, 9 es la componente “x” y 7 es “y”. Ahora, haciendo uso de la fórmula para determinar magnitud de un vector, tenemos:
|A| = √ [ (Ax)2 + (Ay)2] = √ [ (9)2 + (7)2 ]
= √ (81 + 49) =
= 11,4
Ahora, vemos que para el vector B, 6 es la componente “x”, 2 “y” y -3 es “z”. Ahora, haciendo uso de la fórmula para determinar magnitud de un vector, tenemos:
|A| = √ [ (Ax)2 + (Ay)2 +(Az)2 ] = √ [ (6)2 + (2)2 +(-3)2 ]
= √ ( 36 + 4 + 9 ) =
= √49
= 7
