Si ésta es la décima entrada de este blog, viene bien dedicarla al Sistema Numérico Decimal, con el que escribimos los números que usamos más comúnmente en matemáticas.

La razón de que nuestro sistema numérico tenga como base al número diez está, literalmente, en nuestras manos: tenemos 10 dedos, por lo que lo más natural y lógico es que contemos hasta diez y luego necesitemos algo más para seguir contando. Si tuviéramos 8 u 12 dedos, esos números serían la base. El sistema numérico decimal es, además, posicional, lo cual significa que cada dígito tiene un valor absoluto (por su forma) y un valor relativo (por su posición dentro del número).

¿Qué es la base de un sistema numérico posicional?

La base de un sistema de numeración posicional indica la cantidad de dígitos distintos necesarios para representar todos los números. En el caso del sistema numérico decimal son diez: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, conocidos como números arábigos. También indica cuántas unidades en la primera posición equivalen a una unidad en la siguiente posición hacia la izquierda: diez. Esto es muy importante, lo explicaré con más detalle más adelante.

Si la base de un sistema de numeración posicional es pequeña, se requieren pocos símbolos diferentes y los cálculos (sumas y restas) son más sencillos de hacer, pero los números grandes son largos de escribir. Si la base es grande, se requieren muchos símbolos diferentes y los cálculos son más complejos de hacer, pero los números grandes son menos largos. El 10 es, por tanto, una buena base para un sistema numérico.

¿Es el único sistema de numeración que existe?

No, hay varios más, pero es el más práctico, por lo que se ha extendido su uso en todo el mundo. Esto permitió un desarrollo matemático que había estado detenido por otros sistemas de numeración.

Por cierto, a los dígitos que usamos en el sistema numérico decimal les llamamos números arábigos porque fueron los árabes quienes los llevaron a Europa, aunque realmente fueron diseñados por los indios.

Existen sistemas de numeración que usan símbolos distintos a los números arábigos: Los romanos, en su numeración, también se basaron en los dedos de las manos, sólo que de 5 en 5. Usaron letras para representar números. Los egipcios contaban en base 10, usando distintos jeroglíficos para representar números. Ni romanos ni egipcios usaron numeraciones posicionales.

Los babilonios dibujaban cuñas para representar números y usaban el 60 como base. Los mayas usaban puntos y rayas y su base era el 20. Ambas numeraciones son posicionales, por lo que requerían un símbolo que representara al cero.

Los sistemas de numeración que no son posicionales permiten sólo sumas y restas similares a las que conocemos. Para las multiplicaciones y divisiones se requerían procedimientos muy complicados que detuvieron el avance de las matemáticas en las civilizaciones que los usaron. ¿Imaginan a un romano multiplicando MXCLVII por MMDCCCXLIX?

Sistemas de numeración en otras bases

Existen otros sistemas numéricos que también usan los números arábigos pero cuya base es distinta: el binario (base 2), el octal (base 8), el hexadecimal (base 16, usa las primeras letras del alfabeto para completar los símbolos que le faltan), entre otros. En todos ellos, la base se escribe “10”, que representa 10 unidades en el sistema decimal, 2 unidades en el sistema binario, 8 unidades en el sistema octal, 16 en el sistema hexadecimal, etc.

Lo cual se presta para escribir y mostrar a algún amigo incauto esta frase que nos permite sentirnos eruditos:

«Existen 10 tipos de personas: los que saben leer números binarios y los que no»

(El 10 debería llevar un 2 pequeño como subíndice, que indique que el número está escrito en base 2, pero lo omitimos para ver qué cara hace quien lo lee).

Origen de los sistemas posicionales

Probablemente el origen del sistema de numeración posicional es el ábaco. Al acomodar cierta cantidad de cuentas en cada posición o varilla del ábaco se pueden representar distintos números, ya que el valor de cada cuenta es diferente según la varilla en la que esté. Al representar mediante la escritura lo que está en el ábaco surge la necesidad de un símbolo para indicar que una posición dada está vacía.

El cero no había sido necesario antes porque los números se usaban para contar y no parecía importante que hubiera una forma de decir cuántos había cuando no había nada qué contar. Es por ello que en los sistemas posicionales (babilonio, maya, indio) son en los que surge el cero.

Características principales de un sistema numérico posicional

Cada dígito tiene un valor absoluto y un valor relativo según su posición.

El valor de cada posición es una potencia del número que es la base del sistema. Un número de unidades igual a la base forma una unidad del siguiente orden (a su izquierda). Y una unidad en una posición es tantas veces más grande como la base que una unidad a la derecha de ella.

En las unidades, la potencia es cero y de ahí hacia la derecha las potencias son negativas y hacia la izquierda son positivas, lo cual puede sonar contra-intuitivo.

Todo lo anterior se entenderá mejor al ver esta tabla, correspondiente al sistema numérico decimal:

En 324, el valor absoluto del 3 es 3 y su valor relativo es el 3 multiplicado por el valor de su posición, que es 100: 300.

Cada posición corresponde a un orden, que se repite hacia la izquierda: unidades, decenas, centenas
Cada tres órdenes corresponden a una clase, que se repite hacia la izquierda: unidades, millares
Cada dos clases corresponden a un periodo: periodo de las unidades, periodo de los millones, etc.

Por ejemplo, una cajita como ésta contiene una decena de macarones franceses, es decir diez macarones. Si tuviéramos una caja con diez cajitas, tendríamos una centena de macarones, es decir, diez decenas, o cien unidades. Sería buena idea encontrar con quién compartirlos mientras platicamos sobre números u otros temas interesantes.

El separador decimal

El separador decimal es un símbolo que separa la parte entera de la parte decimal del número. En México se usa comúnmente el punto decimal (1.5), pero en otros países se usa, en vez de punto, la coma decimal (1,5) o la coma alta decimal (1‘5).

Antes se usaban comas y comas altas para separar cada tres dígitos. Esto se ha ido cambiando por un espacio entre cada grupo de tres números (clase), dada la situación de que cada país usa distintos símbolos para separar la parte entera de la parte decimal, lo cual genera confusión sobre el verdadero valor de un número escrito, cuando éste tiene 3 cifras decimales: 2,345 puede significar dos mil trescientos cuarenta y cinco o dos enteros con 345 milésimos. Para evitar por completo la confusión, en distintos documentos se pide que se escriban las cantidades en número y letra.

Otras características interesantes

En un sistema posicional un 1 en la segunda posición vale más que un 9 en la primera.

Es aditivo, es decir, el valor del número completo está dado por la suma de los valores relativos de cada dígito:

324 = 300 + 20 + 4

Cuando se enseña a los niños pequeños a sumar o restar descomponiendo primero los números, les resulta más sencillo entender por qué se “lleva” o se “pide prestado”:

    3¹4
+  2 7
=  6 1

     30 +   4
+   20 +   7
=   50 + 11 = 61

Al ser posicional se evitan las confusiones: un cierto acomodo de las cifras representa un número y sólo ése. Y un número entero más largo siempre será más grande que uno más corto, lo que no ocurre en los números romanos, donde X es mayor que VIII. Por lo tanto, comparar números es más sencillo en un sistema de numeración posicional.

La posición importa mucho para sumar y restar en general, tanto al sumar números enteros como al sumar números con cifras decimales.

Al enseñar a los alumnos a sumar, es muy importante que comprendan que deben alinear los dígitos correspondientes a cada orden uno bajo el otro (usar el punto decimal como referencia para “centrar” las cantidades). Al restar, además de lo anterior, también es muy importante completar con ceros el minuendo para que tenga las mismas cifras decimales que el sustraendo. Por ejemplo, para restar 23.5 menos 10.23 debe indicarse que hay cero centésimos en el minuendo, así:

     23.50
–   10.23
=  13.27

¿Qué implica ser un cero a la izquierda?

Depende…

En los enteros, agregar un cero a la izquierda no modifica el valor del número, pero agregarlo a la derecha multiplica por 10 su valor:
25 -> 025 es el mismo valor
25 -> 250 es 10 veces más grande

En cambio, en los decimales, al agregar un cero a la derecha no se modifica el valor del número, pero al agregarlo a la izquierda (justo antes del punto) divide su valor entre 10:
0.25 -> 0.250 es el mismo valor
0.25 -> 0.025 es 10 veces más pequeño

¿Cómo se escriben y transforman números dentro del sistema numérico decimal?

Los ceros y los nombres de los números juegan un papel delicado al escribirlos. Si no se da ningún nombre, se asume que se trata de unidades.

Veinte mil trescientos cuatro (unidades) se escribe poniendo un 2 en donde van las decenas de millar, un 3 donde van las centenas y un cuatro donde van las unidades. El resto de las posiciones se llenan con ceros, recordando que a la izquierda del 2 no se necesitan ni a la derecha del punto decimal: 20 304

Por otro lado, 315 milésimos se escribe poniendo el 5 en la posición de los milésimos, el 1 una posición a la izquierda y el 3 más a la izquierda. Es importante escribir un cero antes del punto decimal si el número es menor a uno, para que sea más claro y no se confunda con una manchita o algo.

Si sólo fueran 15 milésimos se escribe poniendo el 5 en la posición de los milésimos, el 1 una posición a la izquierda y llenando con ceros hasta el lugar de las unidades.

Si un profesor está probando nuestra habilidad y nos pide convertir 93.6 centésimos a decenas, lo que se necesita hacer es: poner el 3 en la posición de los centésimos (el punto decimal va justo después de la posición correspondiente al nombre que nos dieron: centésimos. A partir de él se acomodan todos los demás números, así:

Después sólo se lee el número reacomodando el punto decimal en la posición correspondiente al segundo nombre que nos dieron: decenas, llenando los ceros necesarios hacia uno u otro lado. Por lo tanto, 93.6 centésimos es igual a 0.0936 decenas

Probemos al revés: ¿Cuántos décimos son 7.04 centenas?

7.04 centenas son 7040 décimos

Como todo, es sencillo de hacer si se comprende por qué funciona así y se cuidan los detalles, sobre todo el acomodo de todos los ceros que permiten distinguir un 12 de un 102, de un 0.012, etc.

Con un poco de práctica, deja de ser necesario tener la tabla como referencia y sólo se «mueve» el punto hacia izquierda o derecha según la transformación pedida.

Para cerrar

Nuestro sistema numérico es una maravilla, con sólo 10 dígitos, conociendo los valores de cada posición y teniendo suficiente espacio podemos escribir cualquier número que podamos imaginar o calcular.

Identificar sus características nos permite aprovecharlas al hacer operaciones con los números, por ejemplo, podemos entender por qué esta multiplicación se ve así:

       68
x     37
     476
   2040
   2516

Se “recorre” un lugar el 4 porque se está multiplicando 30 x 8 = 240, no sólo el 3.

Si al enseñarlo sólo se dice “recorres un lugar” y no se explica por qué, el estudiante podrá olvidarlo. He visto que a algunos alumnos les piden poner algún simbolito para recordar que deben empezar un lugar a la izquierda cada vez. Es mejor explicar que se multiplica por 20 y poner el cero en su lugar, ¿no creen? Lo mismo aplica para multiplicaciones por más dígitos, todos los lugares que se van recorriendo pueden llenarse con ceros a la derecha que, si bien no afectan a la suma, ayudan mucho a la comprensión de lo que se está haciendo.

Por cierto, de todas las combinaciones numéricas que conviene que dominemos para tener un buen sentido numérico (ver entrada aquí), las que llevan a un 10 son particularmente importantes y se necesitan con más frecuencia, por ser la base de nuestro sistema numérico.

Como siempre, agradezco que se den tiempo para leer, comprender y compartir. Cualquier duda, pueden escribirla en los comentarios. Contestaré.

Rebeca

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Algunos datos los obtuve de wikipedia. Realicé algunas imágenes en Word.