2. Dominio y Rango.

Problema. 15.              

Considérese la función  f(x) = x² +1. Encontrar su dominio y rango.

Los valores de la función se obtienen sustituyendo la x en esta ecuación. Por ejemplo,

f(-1) = (-1)² + 1 = 1 + 1 = 2, f(2) = (2)² + 1 =  4 + 1 = 5.

Evaluando la función en distintos valores obtenemos la siguiente tabla y diagrama.

x f(x) = x2 + 1 3 10 2 5 1 2 0 1 -1 2 -2 5 -3 10

De aquí observamos que el dominio de la función son todos los números reales, ya que para cada valor de x real su imagen es siempre un número real. En cambio el rango es el intervalo [1, +∞). Ya que nunca vamos a obtener para un número real x un valor menor de 1.

Problema. 16.              

Si se define una función f como: f(x) = x² + 1 con   -3 £ x £ 3.

Entonces el dominio de f está dado como el intervalo cerrado [-3, 3]. Observa que la expresión algebraica es la misma que la del ejemplo anterior, solo que en este caso, se está limitando el dominio de la función a los valores de x comprendidos entre -3 y 3. El rango de g es el intervalo [1, 10] (ver el diagrama de la figura anterior).

Problema. 17.              

Encontrar el dominio y el rango de la función f(x) = x² + 4.

Solución: El dominio de f son todos los reales (-∞, +∞), puesto que x² + 4 es un numero real para todo número real x. Puesto que x² ≥ 0, para todo x, entonces x² + 4≥ 4, de lo anterior deducimos que f(x) ≥ 4. Por lo tanto, cualquier número ≥ 4 es la imagen de al menos una x del dominio. Por ejemplo, para encontrar una x tal que f(x) = 7, resolvemos la ecuación 7 = x² + 4 para x y obtenemos . En general, para cualquier k≥4, al hacer f(x) = k , obtenemos k = x² + 4 y eso nos da las soluciones . Esto prueba que el rango de la función es el conjunto de todos los números ≥4. Es decir el intervalo [4, +∞).

Problema. 18.              

Encontrar el dominio de la función siguiente:

Solución.  Cuando x = 1 el denominador de la función es cero. Pero cuando x ¹ 1 el denominador es siempre un número real. Por lo tanto el dominio de la función h consiste de todos los números reales excepto el 1. Esto se puede escribir de las siguientes dos maneras (1) D_h = R - {1}, o bien (2) D_h = (-∞, 1)È(1, +¥).

Problema. 19.              

Encontrar el dominio de la función f(x) = .

Solución.  Dado que

 

y la división entre 0 no está permitida, vemos que f (x) no está definida cuando x = 0 o x = 1.

Así que el dominio de f  es: D_f = R-{0, 1} que también se puede expresar en notación de intervalos como (-¥, 0) È (0, 1) È (1, +¥).

Problema. 20.              

Sea f la función definida por la ecuación . Determinar su dominio y su rango.

Solución. Debido a que los números se limitan a los números reales, y es función de x sólo para x – 2 ≥ 0, ya que para cualquier x que satisfaga esta desigualdad, se determina un valor único de y. Sin embargo si x< 2, se obtiene la raíz cuadrada de un número negativo y en consecuencia no existe un numero real y. Por lo tanto x debe de estar restringida a x ≥ 2, así pues, el dominio de f es el intervalo [2, +¥), y el rango de f es [0, +¥).

Problema. 21.              

Determinar el dominio y el rango de la función

Solución. El radicando 3x – 6 debe ser no negativo. Al resolver 3x - ³ 0 se obtiene x ³ 2, por lo cual el dominio de f es [2, +¥). Ahora, por definición para x ≥ 2, y en consecuencia, . Puesto que 3x – 6 y  aumentan cuando x aumenta, se concluye que el rango de f es [7, +¥).

Determinar el dominio de h(x) =

Solución: Puesto que la raíz cuadrada de un número negativo no está definida (como número real), el dominio de h consta de todos los valores de x tales que

2 – x – x ² = (2 + x) (1 – x) ³ 0

Resolviendo esta desigualdad tenemos que su solución es el intervalo [-2, 1]. Por consiguiente el dominio de h es precisamente este intervalo.

Problema. 22.              

Identifique el dominio de las siguientes funciones:

(a) y = 4x² + 7x – 19              (b)              (c)

(d)                           (e)            (f)

(g)                       (h)  

 

Solución: El dominio de una función es el  conjunto de todos los valores posibles de la variable independiente. Si no se especifica el dominio, se supone que éste consta de todos los números reales posibles para que los asuma la variable independiente. Puesto que x puede asumir cualquier valor en (a), el dominio de la función es el conjunto de todos los números reales.

(b) Como una raíz cuadrada se define solamente para  números no negativos (es decir, x ³ 0), es necesario que t – 5  ³ 0, Puesto que esto sólo se cumplirá si ³ 5, el dominio de la función se expresa como [t ³ 5].

(c) Como no se acepta la división por cero, x(x + 9) no puede ser igual a cero. El dominio de la función excluye x = 0 y x = - 9 que se expresa como [x ¹ 0, - 9].

(d)   [x > 0]     (e)  [x  ¹  ± 6]       (f)   [x ¹ 0, 4 ]        (g)  [x < 8]          (h)  [x ¹ 5, 9 ]

Problema. 23.              

Encuentra el dominio y el rango de la siguiente función:

Solución: Una función también se representa a través de su grafica, el dominio se representa en el eje de las x, y el rango en el eje de las y. Así pues el dominio de la función que representa esta gráfica está dado por el intervalo [-2, 3] y el rango por el intervalo [-4, 5].

Problema. 24.              

Encontrar el dominio y el rango de la siguiente función definida por secciones.

	Solución: Nótese que f no representa tres funciones sino más bien a una función cuyo dominio es el conjunto de números reales. Sin embargo, la gráfica de f consta de tres secciones obtenidas trazando, a su vez, La gráfica de y = x2    para -2≤ x < 0 La gráfica de y = x – 1  para  0≤ x ≤ 2 La gráfica de  para    2< x ≤ 4 Ver las gráficas de la izquierda.
El dominio de la función es la unión de los tres intervalos: -2≤ x < 0, 0≤ x < 2, 2< x ≤ 4. La cual es el intervalo -2< x ≤ 4. El rango es el intervalo  -1< x ≤ 4.