Bosquejos de graficas

Calculo Diferencial
Bosquejos de Graficas
Ciclo escolar 2013-2014

Reglas para construir una curva
usando coordenadas rectangulares.
• Para un buen bosquejo de graficas, deben de
seguirse lo mas fielmente posible los siguientes
pasos:
– Identificar si es una función par o impar.
– Encontrar las intersecciones con los ejes coordenados
(𝑥 = 0, 𝑦 = 0).
– Encontrar las asíntotas horizontales y verticales.
– Calcular los valores críticos ( f′ 𝑥 = 0, f ′′ 𝑥 = 0)
que nos proporcionan máximos y mínimos locales, y
puntos de inflexión.
– Calcular los sentidos de concavidad de la curva.
– Encontrar las asíntotas oblicuas.

Ejemplos
•
•

•
•

𝑦 = 𝑥 3 − 9𝑥 2 + 24𝑥 − 16
𝑦=

𝑦=

2𝑥 2
𝑥−2 𝑥−6

6𝑥
𝑥 2 +3

𝑦= 𝑥+

1
𝑥

• y=x^3-9x^2+24x-16

• y=(2x^2)/((x-2)(x-6))

• y=6x/(x^2+3)

• y=x+1/x
En el buscador de gooogle.com

𝑦=

3
𝑥

−

2
9𝑥

+ 24𝑥 − 16

• No es ni par ni impar.
• No tiene asíntotas horizontales ni verticales.
• Sus intersecciones con los ejes son 0, −16 , 1,0 y
4,0 .
• 𝑓 ′ 𝑥 = 3𝑥 2 − 18𝑥 + 24 = 0 cuando 𝑥 = 2 (nos da
un máximo local) y 𝑥 = 4 (nos da un mínimo local).
Los puntos son 2,4 y 4,0 . 𝑓 ′′ 𝑥 = 6𝑥 − 18 = 0
cuando 𝑥 = 3 (nos da un punto de inflexión). El
punto es 3,2 .
• Al principio la función en cóncava hacia arriba, y
cambia luego a ser cóncava hacia abajo.
• No tiene asíntotas oblicuas.

2

2𝑥
𝑦=
𝑥−2 𝑥−6
• No es ni par ni impar.
• Tiene dos asíntotas verticales cuando 𝑥 = 2 y cuando 𝑥 = 6.
Tiene una asíntota horizontal cuando y= 2
• Su única intersección con los ejes es en el punto 0,0 .
𝑓′

−16𝑥 2 +48𝑥
𝑥 2 −8𝑥+12 2

𝑥 =
= 0 cuando 𝑥 = 0 (nos da un mínimo local)
y 𝑥 = 3 (nos da un máximo local). Los puntos son 0,0 y
3
2
′′ 𝑥 = 32𝑥 −144𝑥 +576 = 0 cuando 𝑥 ≈ −1.702 (nos da
3, −6 . 𝑓
𝑥 2 −8𝑥+12 3
un punto de inflexión).
• Es difícil determinar la concavidad, pero hacia abajo desde −∞
hasta −1.702, luego es cóncava hacia arriba hasta 2, luego es
cóncava hacia abajo hasta 6, y finalmente su ultima parte es
cóncava hacia arriba.
•

6𝑥
𝑦= 2
𝑥 +3
• Es una función impar.
• No tiene asíntotas verticales, pero tiene una asíntota horizontal
cuando y= 0
• Su única intersección con los ejes es en el punto 0,0 .
𝑓′

−6𝑥 2 +18
𝑥 2 +3 2

𝑥 =
= 0 cuando 𝑥 ≈ 3 (nos da un máximo local) y
𝑥 ≈ − 3 (nos da un mínimo local). Los puntos son 3, 3 y
3
′′ 𝑥 = 12𝑥 −108𝑥 = 0 cuando 𝑥 = 0,3, −3 (nos da
− 3, − 3 . 𝑓
𝑥 2 +3 3
varios puntos de inflexión). Los puntos son 0,0 , 3,1.5 y
−3, −1.5
• La función es cóncava hacia arriba desde −∞ hasta −3, luego es
cóncava hacia abajo hasta 0, luego es cóncava hacia arriba hasta
3, y finalmente su ultima parte es cóncava hacia abajo.
•

2

1
𝑥 +1
𝑦= 𝑥+ =
𝑥
𝑥
• Es una función impar.
• Tiene una asíntota vertical cuando 𝑥 = 0, no tiene asíntotas
horizontales
• No tiene intersecciones con los ejes.
′

𝑥 2 −1
𝑥2

𝑓 𝑥 =
= 0 cuando 𝑥 = 1 (nos da un mínimo local) y 𝑥 = −1
2
(nos da un máximo local). Los puntos son 1,2 y −1, −2 . 𝑓 ′′ 𝑥 = 3
𝑥
nunca es igual a cero, por lo que no tenemos puntos de inflexión.
• La función es cóncava hacia abajo desde −∞ hasta 0, luego es cóncava
hacia arriba.
• Cuando una función tiene una asíntota oblicua, esta es de la forma
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 donde el valor de 𝑚 esta dado por la asíntota horizontal de
la derivada, y para calcular el valor de b, restamos a la función 𝑚𝑥 y
calculamos la asíntota horizontal de la nueva función. En nuestra
función 𝑚 = 1 y 𝑏 = 0. La asíntota oblicua es 𝑦 = 𝑥.
•

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