Graficando las Funciones Seno y Coseno

 

Objetivos de Aprendizaje

·         Determinar las coordenadas de puntos en el círculo unidad.

·         Graficar la función seno.

·         Graficar la función coseno.

·         Comparara las gráficas de las funciones seno y coseno.

 

 

Sabes cómo graficar muchos tipos de funciones. Las gráficas son útiles porque pueden tomar información complicada y desplegarla de una manera fácil de leer. Aprenderás a graficar las funciones seno y coseno, y ver que las gráficas de la función seno es muy similar a la de la función coseno.

 

 

 

Hemos visto un punto (x,y) en la gráfica de una función. La primera coordenada es la entrada o valor de la variable, y la segunda coordenada es la salida o valor de la función.

 

Cada punto en la gráfica de la función seno tendrá la forma , y cada punto en la gráfica de la función coseno tendrá la forma . Se acostumbra usar la letra Griega teta, , como el símbolo para el ángulo. Graficar puntos de la forma  es igual que graficar puntos en la forma (x, y). Sobre el eje-x vamos a graficar , y sobre el eje-y vamos a graficar el valor de . Las gráficas que dibujaremos usarán los valores de  en radianes. Antes de dibujarlas, sería útil encontrar algunos valores de y , y luego reunirlos en una tabla.

 

Revisemos las definiciones generales de éstas funciones. Dado un ángulo , dibujarlo en la posición estándar junto con un círculo unidad. El lado terminal intersectará el círculo en algún punto , como se muestra abajo.

 

 

El valor de  ha sido definido como la coordenada-x de éste punto, y el valor de  ha sido definido como la coordenada-y de éste punto.

 

 

 

 

Puedes seguir un procedimiento similar para encontrar los valores de  y  para . Los cuatro ángulos tienen un ángulo de referencia de  radianes o 45°.

 

 

Usando el hecho de que  te da las coordenadas del punto en el primer cuadrante. Como los otros puntos son reflexiones de éste, las coordenadas tienen valores iguales u opuestos.

 

El diagrama siguiente puede usarse para encontrar los valores de  y  para . Observa que como , cuando dibujas el ángulo  en la posición estándar, quedas de regreso en el eje-x. radianes o corresponden al mismo punto igual que 0 radianes, que es .

 

 

Usando las coordenadas de los cuatro puntos, tenemos:

 

 

Para familiarizarnos con las coordenadas de los puntos en el círculo unidad, intenta seguir el siguiente ejercicio interactivo:

 

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Nuestro objetivo ahora es graficar la función . Cada punto en ésta gráfica tendrá la forma  con los valores de  en radianes. El primer paso es colectar en una tabla todos los valores de  que conozcas. Para empezar vamos a usar los valores de θ entre 0° y 180° .

 

 

Cuando graficamos funciones, normalmente decimos que graficamos en un intervalo. Usamos la notación de intervalo para describirlo. La notación de intervalo tiene la forma , que significa que el intervalo comienza en a y termina en b. En el ejemplo, la notación  tiene el mismo significado que .

 

 

 

 

Observa que nuestra entrada es , la medida del ángulo en radianes, y que el eje horizontal está etiquetado como , no x. Ahora vamos a colectar todos los valores de  que conoces para  en una tabla.

 

 

Podrías simplemente graficar todos los puntos de la última columna y continuar la gráfica del ejemplo anterior. Pero observa lo siguiente: los valores de la tercer columna (o las coordenadas-y de los puntos) tienen valores opuestos de los puntos que acabas de graficar. Esto significa que en lugar de graficar los puntos por encima del eje-, vas a graficar los puntos por debajo del eje-. También, las entradas y salidas están separadas de la misma manera para ésta parte de la gráfica que como la primera parte de la gráfica. Entonces en lugar de tener una “loma” que va de 0 a 1 y luego a 0, tendrás un “valle” que baja de 0 a  y luego a 0.

 

 

Hemos usado los valores de θ de 0 a 2π para dibujar la gráfica de la función seno. ¿Cómo se vería la gráfica si continuamos a la derecha de 2π parar , que es una vuelta adicional alrededor del círculo unidad? En términos de grados, éstos son ángulos entre 360° y 720°. Volvamos y observemos uno de los ángulos en la posición estándar en el círculo unidad. Un ángulo de A 400° se ve a continuación.

 

 

Como , el ángulo viaja una rotación completa mas otros 40°, como se muestra con la flecha curva en el diagrama. Imagina que estás en (1, 0) y caminas alrededor del círculo una vuelta completa y luego caminas un poco más para terminar en (x, y). Este punto donde el lado terminal se intersecta con el círculo unidad es el mismo punto que tendrías para un ángulo de 40°. Todas las funciones trigonométricas para estos dos ángulos son calculadas usando las coordenadas de este punto. Esto significa que , , , y lo mismo sucede para las tres funciones recíprocas.

 

No hay nada de especial con 400°. Podrías dibujar otros ángulos que son mayores a 360° y obtener resultados similares. Los resultados anteriores para seno y coseno pueden escribirse como  y . En general, sucede que  y , o, usando radianes:

 

 

Estas dos ecuaciones nos dicen que cuando vamos alrededor del círculo por segunda vez, vamos a obtener los mismos valores para  que los que obtenemos para  y los mismos valores para que los que obtenemos para . En otras palabras, mientras viajamos alrededor del mismo círculo por segunda vez, en las mismas localidades en el círculo obtendremos los mismos valores para la coordenada-y y la coordenada-x que obtuvimos en la primera vuelta.

 

 

 

 

El mismo razonamiento se puede aplicar para ángulos negativos. Por ejemplo, los ángulos  y 135° se dibujan en la posición estándar con el círculo unidad siguiente.

 

 

Como son ángulos coterminales, intersectan el círculo unidad en el mismo punto y por lo tanto tienen las mismas coordenadas. Entonces, , , y de igual manera para las otras funciones trigonométricas. Observa que pudimos reescribir la primera ecuación como . También, , o , es válido para cualquier ángulo  incluyendo ángulos negativos. La ecuación  nos dice que cada vez que le damos una vuelta adicional al círculo obtenemos los mismos valores del seno y el coseno que los que obtuvimos en la primera vuelta.

 

 

 

 

Ya que la ecuación es válida para cualquier ángulo, es una identidad. Podemos usar ésta identidad para continuar la gráfica de la función seno en cualquier dirección. Este patrón de “loma y valle” sobre un intervalo de longitud  continuará de manera infinita en ambas direcciones.

Cada vez que sumamos 2π a un ángulo, digamos , obtendremos el mismo valor de la función.

 

 

También puedes usar la identidad anterior para simplificar cálculos de la función seno al restar repetidamente  a cualquier ángulo. Por ejemplo:

 

 

 

¿Cuál es el valor de ?   A) B) C) D)   Mostrar/Ocultar Respuesta A) Correcto. Reescribe  como . El  representa viajar alrededor del círculo dos veces. Usando la identidad  para eliminar una revolución a la vez, obtenemos .   B) Incorrecto. Tal vez simplificaste incorrectamente y pensaste que esto era igual a . Usa la identidad  para simplificar . La respuesta correcta es .   C) Incorrecto. Seguramente convertiste incorrectamente de grados a radianes o confundiste el seno con el coseno. Usa la identidad  para simplificar . Recuerda que . La respuesta correcta es .   D) Incorrecto. Tal vez simplificaste incorrectamente y pensaste que esto era igual a . Usa la identidad  para simplificar . La respuesta correcta es .

 

 

 

Ahora nuestro objetivo es graficar . Vamos a seguir el mismo procedimiento que con la función seno, y el resultado será similar.

 

Cada punto en la gráfica de la función tendrá la forma  con los valores de  en radianes. El primer paso es reunir en una tabla todos los valores de  que conozcas. Para empezar usaremos los valores de θ entre 0° y 180° .

 

 

 

 

 

Una vez más, nuestra entrada es , la medida del ángulo en radianes, y el eje horizontal está marcado con , no x. Ahora reuniremos todos los valores de  que conozcas para  en una tabla.

 

 

Una vez más, podrías simplemente graficar todos los puntos de la última columna y continuar la gráfica. En lugar de eso, compara los valores de las columnas en ambas tablas: son los mismos números, pero en orden inverso. Estas son las coordenadas-y de los puntos. Esto significa que la primera parte que graficamos disminuyó de 1 ha , la segunda parte que graficamos aumentó de  a 1 y tiene la “misma forma” (volteada). Aquí está:

 

 

El siguiente paso es continuar con la gráfica para los valores de entrada . Cuando estuvimos en el proceso de graficar la función seno, establecemos la siguiente identidad:

 

 

Esta ecuación nos dice que cuando vamos alrededor del círculo por segunda vez, vamos a obtener los mismos valores de como lo hicimos para .

 

En otras palabras, al viajar alrededor del mismo círculo por segunda vez, en las mismas localidades del círculo tendremos los mismos valores de la coordenada-x que obtuvimos en la primera vuelta.

 

 

 

 

Así como la identidad  es válida para ángulos negativos, la identidad  también es válida para cualquier ángulo negativo .

 

 

 

 

La identidad  se usó para extender la gráfica de la función coseno hacia la derecha y hacia la izquierda. Puedes usarla para continuar la extensión en ambas direcciones. Obtendrás otro patrón “loma y valle” que se repite después de intervalos de longitud en ambas direcciones.

 

Otra característica importante de la gráfica  es que las mitades izquierda y derecha son imágenes de ellas mismas sobre el eje-y. La gráfica de  tiene la misma propiedad. Otra manera de describir esto es decir que si sustituyes un número y su opuesto en la función, obtendrás el mismo valor como en la ecuación previa. Por ejemplo, , , o en general, . Decimos que la gráfica es simétrica sobre el eje-y. El diagrama siguiente muestra dos puntos tomados de la gráfica simétrica.

 

 

La altura de los puntos en las entradas opuestas es la misma. La altura es el valor de la función. Una función cuya gráfica es simétrica en el eje-y tiene .

 

 

¿Cuál es el rango de la función coseno?   A) todos los valores en el intervalo B) todos los valores en el intervalo C) todos los valores en el intervalo D) todos los números reales   Mostrar/Ocultar Respuesta A) todos los valores en el intervalo Incorrecto. Probablemente tomaste en cuenta los valores y, que es lo correcto. Sin embargo, escogiste sólo parte del rango. El rango es el conjunto de todos los valores y que una función puede tener; en este caso sería . La respuesta correcta es B.   B) todos los valores en el intervalo Correcto. La gráfica de la función se extiende infinitamente en ambas direcciones, entonces su dominio es todos los números reales. Consiste en un patrón repetitivo de loma y valle, El valle baja a un valor y , y la loma sube a un valor de y de 1. Todos los valores de y entre estos dos valores de y son salidas de la función. Entonces el conjunto de salidas, o rango, es todos los números de  a 1.   C) todos los valores en el intervalo Incorrecto. Este intervalo, como un conjunto de entradas, te dará un patrón completo, Es el conjunto de salidas que buscas. La respuesta correcta es B.   D) todos los números reales Incorrecto. Tal vez pensabas en el dominio de la función, que es todos los números reales. El rango es el conjunto de todas las salidas o valores y. La respuesta correcta es B.

 

 

 

Las gráficas de seno y coseno tienen lomas y valles en un patrón repetitivo. Como éste patrón puede extenderse indefinidamente a la derecha y ala izquierda, el dominio de ambas funciones es los números reales. El rango de ambas es el intervalo .

 

 

Ahora comparemos las gráficas de otra manera.

 

Primero queremos ver qué le pasa a una gráfica de una función cuando cambiamos la entrada sumándole una constante. Compara  y . Aquí ha y una tabla con algunos valores para las dos funciones.

 

 

Ahora vamos a graficar las dos funciones. Como un recordatorio, la entrada es  para ambas funciones. Para graficar , usas los números en la primera y segunda columnas. Para graficar , usa los números en la primera y cuarta columna. (La tercera columna sólo se escribió como un paso intermedio. No la usas para graficar.)

 

 

Primero observa, como se muestra en los segmentos en rojo, que el efecto de sumar  a la entrada es desplazar la gráfica hacia la derecha  unidades. Seguramente recuerdas éste efecto cuando graficaste funciones radicales como  y  (sumar 1 a la entrada desplazaba la gráfica de  a la izquierda una unidad). En general, si sumas una constante positiva c a la entrada de una función, tendrá un efecto de desplazamiento de la función original a la izquierda c unidades. Si restas una constante positiva c de la entrada de una función tendrá un efecto de desplazamiento de la gráfica original a la derecha c unidades.

 

Ahora observa que la gráfica de la derecha te es familiar. ¡Es la gráfica de ! Entonces puedes decir que la gráfica de  es la misma que la gráfica de , o puedes decir que la gráfica de  desplazada a la izquierda  unidades es la gráfica de .

 

El siguiente ejemplo muestra el desplazamiento en la otra dirección.

 

 

 

 

Como el patrón se repite, podrías empezar la gráfica de seno o coseno y desplazarla distancias distintas a la derecha o a la izquierda para obtener la gráfica de la otra función.

 

 

¿Qué comparación de las gráficas  y  es válida?   A) Son las mismas. B) La gráfica de  desplazada  unidades a la derecha es la gráfica de . C) La gráfica de  desplazada  unidades a la derecha es la gráfica de . D) La gráfica de  desplazada  unidades a la izquierda es la gráfica de .   Mostrar/Ocultar Respuesta A) Son las mismas. Incorrecto. Las dos gráficas tienen el mismo patrón repetitivo o la misma forma general, pero no son idénticas. La respuesta correcta es D.   B) La gráfica de  desplazada  unidades a la derecha es la gráfica de . Incorrecto. Si cambias seno por coseno en esta opción obtienes un enunciado correcto. Las dos gráficas descritas tienen la misma forma, pero las lomas y valles no concuerdan. La respuesta correcta es D.   C) La gráfica de  desplazada  unidades a la derecha es la gráfica de . Incorrecto. Si desplazas la gráfica de la función seno  unidades a la derecha, obtienes una gráfica que “comienza” (en ) con un valle. Esta no es la gráfica de la función coseno. La respuesta correcta es D.   D) La gráfica de  desplazada  unidades a la izquierda es la gráfica de . Correcto. Si desplazas la gráfica de  por  unidades a la izquierda, obtendrás la gráfica que “comienza” (en ) en la cima de la loma. Esta es la gráfica de .

 

 

Para practicar las gráficas de seno y coseno, intenta con el siguiente ejercicio interactivo:

 

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Las gráficas de seno y coseno tienen la misma forma: un patrón repetido de “loma y valle” en un intervalo en el eje horizontal que tiene longitud . Las funciones seno y coseno tienen el mismo dominio — los números reales — y el mismo rango — el intervalo de valores .

 

Las gráficas de las dos funciones, si bien similares, no son idénticas. Una manera de describir su relación es decir que la gráfica de  es idéntica a la gráfica de  desplazada  unidades a la izquierda. Otra manera de describirlas es decir que la gráfica de  es idéntica a la gráfica de  desplazada  unidades a la derecha.