Por lo que yo sé, en Gramática se denomina numeral a una de las clases de adjetivo. Se dividen dichos adjetivos en numerales cardinales (uno, dos, tres, …), numerales ordinales (primero, segundo, tercero, …) y numerales partitivos (mitad o medio, tercio, cuarto, …).

Una cifra, en Matemáticas, es un signo o guarismo simple que expresa un número en un sistema de numeración. Cualquier número puede expresarse mediante una cifra o una combinación de ellas. Por simplificarlo, en el sistema de numeración en base 10, que es el universalmente utilizado, las cifras son los números del 0 al 9. Si queremos expresar el número ocho, lo haremos mediante la cifra 8. Si queremos expresar doscientos cuarenta y cinco, lo haremos mediante las cifras 2, 4 y 5 en ese orden, es decir, 245. Diríamos entonces que 245 es un número de tres cifras.

Dígito solamente tiene un significado.
Bueno, tiene dos, pero uno de los significados no se usa casi nunca, es algo relacionado con una medida del Sol en los eclipses.
El significado habitual de dígito es cada uno de los caracteres, cada uno de los símbolos de los que se compone un número.
Por ejemplo, el número 37 tiene dos dígitos, el primer dígito es el 3 y el segundo dígito es el 7.

Cifra es una palabra con muchos significados.
El primer significado de la palabra cifra es el mismo que dígito.
Por ejemplo, puedes decir que el 37 es un número de dos cifras, lo que significa que tiene dos dígitos.

Pero, como he dicho, la misma palabra tiene otros significados.
También se refiere al signo escrito de cada dígito: puedes decir que la segunda cifra del número 37 se escribe con dos trazos, con dos ‘palitos’.
Otro de los significados es una cantidad de dinero. Por ejemplo, puedes decir “le pagó una gran cifra” y eso no significa que le pagó con un carácter numérico como el 9, ni con un dibujo de un 7 de grandes dimensiones (como 4 metros de largo) sino que le pagó una cantidad de dinero grande, como, por ejemplo, 1 millón de dólares.
También puede significar algo relacionado con “cifrar”, en el sentido de escribir un mensaje secreto con caracteres como letras, símbolos o guarismos … de forma que solamente se puede “descifrar” (conocer el mensaje original) si se conoce una clave o sistema de transformación del mensaje oculto en el mensaje original.
Ej: “Él cifra todos sus mensajes y no entiendo nada” (aquí ‘cifra’ es un verbo en tercera persona del singular del presente de indicativo)
Y también se llama “cifra” al propio mensaje cifrado. Ejemplo: “En este papel está escrita la cifra, a ver si averiguas el mensaje secreto”

Alexander, supongo que querrías decir diferencia entre número y cifra.

Pues bien, es éste un concepto que muchísima gente confunde, incluso he conocido matemáticos profesionales que no sabían distinguir entre número y cifra. A mi particularmente me resulta molesta esta confusión y suelo ir corrigiendo cuando lo escucho. Actualmente se ha puesto de moda decir una cifra muy grande en lugar de un número muy grande, lo que contribuye aún más a esta confusión.

La diferencia es muy clara:

• Cifra o dígito es cada uno de los símbolos con los que se representan los números en un determinado sistema de numeración. Por ejemplo, en el usual sistema en base 10 o decimal, las cifras son 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
• Número es cualquier variación con repetición de los símbolos con los que se representan las cifras en un determinado sistema de numeración (cualquier conjunto ordenado formado con estos símbolos, que se pueden repetir, y en el que la posición se asocia a los distintos órdenes de magnitud). En el sistema decimal, de derecha a izquierda, el 1º representa unidades, el 2º decenas, el 3º centenas, etc. es decir, la cifra c colocada en el n-ésimo lugar desde la derecha representa c · 10^(n - 1) unidades.

A mi me gusta usar el siguiente símil para explicar la diferencia entre cifra y número: “cifra es a letra como número es a palabra”. Las palabras están formadas por letras, y los números están formados con cifras o dígitos.

Hay que tener en cuenta que hay palabras de una sola letra, por ejemplo, “a”, pero por el contexto se entenderá si se trata de “a” como letra o como palabra, como en “voy a representar con a la cifra de las unidades del número z”; en esta frase la primera a es una palabra, una preposición, y la segunda a el nombre de una letra).

De igual manera, hay números de una sola cifra, por ejemplo, “tenemos 2 ojos”; aquí, el 2 representa un número, pero si digo “mi número de teléfono termina en 2” este 2 representa una cifra, pues se trata de uno de los símbolos con los que se escribe el número de teléfono.

El número es el concepto abstracto. El valor de un número es único.

El numeral es la forma de representar ese valor utilizando dígitos. Implica que se utilice una convención — en nuestros días la "notación posicional" — para la cual hay que escoger una base [math]\beta[/math] y, de acuerdo con ella, un conjunto de dígitos.

Usualmente utilizamos el sistema de base diez, al que llamamos decimal, y cuyos dígitos son {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

Pero igualmente se puede tener cualquier base entera >= 2, y cualquier conjunto adecuado de dígitos.

Por ejemplo, es muy usado el sistema binarios, de base 2 y dígitos (bits, en este caso) {0,1}. O el sistema hexadecimal, de base dieciséis, que funciona como una abreviatura del binario y que utiliza los dígitos {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F}.

Para terminar de definir numeral digamos algo sobre la notación posicional, utilizada desde el siglo XI, y que entró a Occidente gracias a Fibonacci, en la cual a cada dígito le corresponden su valor absoluto (es decir, el número que el dígito por sí solo representa) y su valor relativo, igual al absoluto multiplicado por una potencia entera de la base cuyo exponente corresponde a la posición que ocupa el dígito dentro del numeral, avanzando de derecha a izquierda a partir de 0 (si el número es entero). Así, el dígito extremo derecho tiene iguales sus valores absoluto y relativo pues el relativo es el absoluto multiplicado por [math]\beta^0[/math] (es la cifra de las unidades) . El siguiente hacia la izquierda tiene un valor relativo igual al absoluto multiplicado por [math]\beta^1[/math] (cifra de las decenas, en decimal), y así sucesivamente.

Si el número tiene parte fraccionaria, se introduce el punto fraccionario (no deberían llamarse "decimales" a la una ni al otro, pues existen en todos los sistemas posicionales, no sólo en los de base diez). Entonces el dígito de las unidades queda inmediatamente a la izquierda del separador fraccionario, mientras los exponentes de los valores relativos situados a la derecha de él son negativos y van disminuyendo progresivamente conforme se avanza en ese sentido (-1, -2, -3, etc.). Así, por ejemplo, '11011.011' es el numeral binario del número veintisiete con trescientas setenta y cinco milésimas, cuyo numeral decimal es '27.375'. Dejo por ahora de lado la cuestión de si se debe usar coma o punto como separador entre la parte entera y la fraccionaria.

El valor del número corresponde a la suma de los valores relativos de sus dígitos. No está demás recalcar que un mismo número tiene tantos numerales cuantas bases queramos usar para representarlo. Los numerales vienen a ser, entonces, los vestidos conque los números se atavían para aparecer en público. Y en general tienen un guardarropa bien surtido.

Los únicos números que tienen una sola representación, es decir, un solo numeral, son el cero (0), el uno (1) y la base, pues siempre [math]\beta = 10_{\beta}.[/math]

Es un error frecuente, que debería evitarse, confundir número con numeral, o suponer por costumbre la convención decimal cuando no se la está empleando. Se pregunta, por ejemplo, ¿cuánto vale ciento once en binario? (usando la convención de representación decimal para leer un numeral binario, y confundiendo éste con un número). Lo que se está queriendo preguntar es ¿cuál es el valor del número cuyo numeral binario es '111'? Y se espera, entonces, que la contestación sea "siete".

Pero la respuesta que en verdad corresponde a la pregunta tal como se la ha formulado es: Ciento once siempre vale ciento once: ése es intrínsecamente su valor. Pero ciento once en decimal tiene el numeral '111', mientras en hexadecimal se representa como '6F', y en binario como '1101111'.

No es tan fácil la respuesta.

Los números se vienen usando desde hace miles de años, pero nadie sabe realmente lo que son. Por eso alguien preguntó alguna vez ¿qué es un número? Y con esa pregunta vino el lío, pues es una pregunta más complicada de lo que parece.

Un número no es algo que se pueda mostrar en el mundo físico. Un número es una abstracción, un concepto mental, uno derivado de la realidad, pero no es real.

Y ¿qué tipo de abstracción podría definir “número”?

Gottlob Frege https://www.iep.utm.edu/frege/ escribió Los fundamentos de la aritmética, estableciendo los principios fundamentales sobre los que se basan los números; y diez años después quiso ir más allá, tratando de derivar esos principios de las leyes más básicas de la lógica, y escribió Leyes básicas de la aritmética.

Frege empezó a partir del proceso de contar centrándose, no en los números, sino en las cosas que contamos. Por ejemplo, “si pones siete tazas en una mesa y las cuentas, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, los objetos importantes parecen ser los números, pero para Frege eran las tazas”.

Contar tiene sentido puesto que tenemos una colección de tazas que queremos contar. Pero con una colección diferente tendríamos un número diferente. Frege llamó a estas colecciones clases; y cuando contamos cuántas tazas contiene esa clase concreta, establecemos una correspondencia entre la clase de las tazas y los símbolos numéricos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

De manera similar, si tenemos una clase de platos, es posible establecer también esa correspondencia, concluyendo que la clase platos contiene el mismo número de platos que la clase de tazas contiene de tazas. Y sabemos cuántos: siete.

Frege se dio cuenta que lo suyo no era demasiado profundo. Cierto es que podemos probar que la clase de platos contiene el mismo número de platos que la clase de tazas contiene de tazas, es obvio, sin tener que usar los símbolos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y sin saber cuántas tazas o platos hay. Sobra con establecer una correspondencia entre la clase de tazas y la clase platos.

Este tipo de correspondencia se le conoce como correspondencia uno a uno: cada taza se empareja con un plato, y cada plato lo hace a su vez con una taza. Contar no funciona si te olvidas de alguna taza o lo haces varias veces en el conteo.

Frege concluyó que emparejar clases usando correspondencia se encuentra en el fondo de lo que entendemos por número.

Contar cuántas cosas contiene una clase tan solo hace emparejar esa clase con una clase estándar, cuyos miembros se conocen con símbolos convencionales 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, etc., dependiendo de la cultura de cada uno.

Frege no creía que el concepto de número tuviera que depender de la cultura, así que encontró un modo de evitar símbolos arbitrarios. Inventó un supersímbolo, el mismo para cualquier cultura; pero no podía escribirlo ya que era algo puramente conceptual.

Señaló que los miembros de una clase pueden ser clases ellos mismos, aunque no tienen que serlo, pero nada hay que lo impida. Una caja de bolsas de canicas es un ejemplo: los miembros de la caja son bolsas y los miembros de las bolsas son canicas. Así es correcto utilizar clases como miembros de otra clases.

El número siete está asociado, por correspondencia, a cualquier clase que se pueda emparejar con nuestra clase de tazas o con la correspondiente clase de platos o la clase que consiste en símbolos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Escoger una clase concreta de estas es una decisión arbitraria si la llamamos un número, poco elegante e insatisfactoria.

¿Por qué no usar todas esas clases? Si así lo hacemos, siete puede definirse como la clase de todas las clases que están en correspondencia con cualquiera de las clases mencionadas, es decir, todas. Si hacemos esto, podemos decir si cualquier clase dada tiene siete miembros comprobando si es miembro de esta clase de clases. Etiquetamos esta clase de clases como siete, pero la misma clase tiene sentido si no lo hacemos. Así Frege distingue un número de un nombre arbitrario, con un símbolo, para ese número.

Y así podemos definir qué es un número: es la clase de las clases que está en correspondencia con una clase dada y, por consiguiente, con todas las demás.

Y este tipo de clase sería el supersímbolo. En lugar de escoger un nombre para el número, conceptualmente agrupamos todos los posibles nombres juntos en un único objeto y usamos ese objeto en su lugar.

Algo es infinito si no podemos contar lo grande que es usando los números naturales ordinarios, o medir su longitud usando números reales. En ausencia de un número convencional, usamos “infinito” como parámetro de sustitución. Infinito no es un número en sentido habitual; es ¿cuál sería el mayor número posible?, si es que la pregunta tiene sentido. Pero no es lógico.

Cantor Georg Ferdinand Cantor encontró un modo de convertir infinito en un número contando conjuntos infinitos. Aplicando esta idea al conjunto de números naturales definió un número infinito que llamó אₒ (álef cero). Es mayor que cualquier número entero, de modo que es infinito. Es un infinito, el más pequeño de los infinitos, pero hay otros infinitos que son más grandes.

Ningún número natural puede ser el mayor, porque sumando 1 se obtiene otro mayor. Los números naturales no se acaban nunca, hay infinidad de ellos.

¿Es con seguridad ∞ el mayor número posible? Por definición, sí. Pero no es tan claro.

¿Cuánto es ∞ + 1? Si es mayor que ∞, entonces ∞ no es el mayor número posible. Pero si es igual que ∞, entonces ∞ = ∞ + 1. Si restamos ∞, se obtiene 0 = 1. ¿Y qué sucede con ∞ + ∞? Si es mayor que infinito, tenemos el mismo problema. Pero si es lo mismo, entonces ∞ + ∞ = ∞. Restando ∞, se obtiene ∞ = 0.

Cada vez que introducimos nuevos tipos de números, a lo mejor tenemos que sacrificar algunas de las reglas de la aritmética y del álgebra. En el caso que nos ocupa, parece que tenemos que prohibir la resta si infinito está por medio. Y tampoco podemos asumir que dividir por infinito funcione. Concluimos que infinito es un número muy débil si no podemos utilizarlo para restar o para dividir.

Llegados aquí nos quedamos confusos. Aquí se acaba todo esto, diría uno.

Como siempre ocurre, los matemáticos encontraron esto muy interesante, esa idea de trabajar con infinitos procesos. Y pensaron que podrían descubrirse otros resultados dividiendo formas una y otra vez, cada vez más pequeñas.

La razón de por qué π se da, tanto en la longitud de la circunferencia, como en el área de un círculo es un ejemplo. Arquímedes, https://www.academia.edu/31359151/ARQU%C3%8DMEDES_-_Tratados_I_Sobre_la_esfera_y_el_cilindro_-_Medida_del_c%C3%ADrculo_-_Sobre_los_conoides_y_esferoides_EUTOCIO_-_Coment%C3%A1rios_selecci%C3%B3n_-_Editorial_Gredos en su trabajo sobre círculos, esferas y cilindros, encontró una prueba complicada, pero rigurosa (dentro de lo lógico), de que el método da las respuestas correctas.

A partir del siglo XVIII, la necesidad de una teoría apropiada de este tipo de proceso se hizo necesaria, en particular para series infinitas, en las que números y funciones importantes podían aproximarse a cualquier precisión deseada sumando cada vez más números que van decreciendo. Por ejemplo:

π²/6 = 1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 + 1/25 + 1/36 + …

donde la suma de los inversos de los cuadrados se expresa en términos de π. Esto es cierto sólo cuando la serie continúa infinitamente. Si nos detenemos, la serie da un número racional (que es una aproximación de π), pero no puede ser igual a él ya que π es irracional. Sea como sea, donde sea que nos detengamos, sumar el siguiente término hace la suma más grande. La dificultad con sumas infinitas es que a veces no parecen tener sentido:

1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …

Si esta suma se escribe como:

(1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + (1 – 1) + …

se convierte en:

0 + 0 + 0 + 0 + …

que es 0.

Pero si la escribimos de manera diferente, siendo conscientes que las leyes del álgebra se aplican, se convierte en:

1 + (-1 + 1) + (-1 + 1) + (-1 + 1) + …

esto es:

1 + 0 + 0 + 0 + …

lo que debería ser 1.

El verdadero problema es que esta serie no converge, no se estabiliza hacia un valor específico acercándose cada vez más a ese valor, a medida que se añaden más términos. Por el contrario, el valor cambia repetidamente entre 1 y 0.

1 = 1

0 = 1 – 1

1 = 1 – 1 + 1

0 = 1 – 1 + 1 – 1

y así sucesivamente.

No es la única fuente de problemas potenciales, pero indica el camino hacia una teoría lógica de series infinitas. Las que tienen sentido son las convergentes, lo que quiere decir que a medida que añadimos más términos, la suma tiende hacia algún número específico. La serie de los inversos de los cuadrados es convergente, exactamente a π²/6.

¿Qué es un número infinito?

La idea de Frege es elegante y define un objeto único.

De inmediato apareció Russell presentando una objeción al tipo de clase que Frege tenía que usar. No a la idea en sí.

¿Tienen sentido las clases de gran amplitud? Russell se dio cuenta de que, en general, no lo tienen. Su ejemplo era una versión de la paradoja del barbero. En un pueblo hay un barbero que afeita a quienes no se afeitan a sí mismos. ¿Quién afeita al barbero? Con la condición de que todos son afeitados por alguien, no puede existir ese barbero. Si el barbero no se afeita él, entonces, por definición debe afeitarse a sí mismo. Si se afeita a sí mismo, viola la condición de que sólo la gente a la que él afeita son las que no se afeitan a sí mismos.

Russell encontró una clase, parecida a las de Frege, que se comporta como el barbero: la clase de todas las clases que no se contienen a sí mismas. Si se contiene a sí misma, entonces hace lo que todos sus miembros hacen: no se contiene a sí misma. Pero si no se contiene a sí misma, satisface la condición para pertenecer a la clase, así que sí se contiene a sí misma.

La paradoja no prueba que la definición de Frege de un número sea contradictoria desde una perspectiva lógica, no significa que no puedas asumir, sin prueba, que cualquier condición verdadera/falso define una clase, en concreto, aquellos objetos para los que la condición sea cierta. Y esto dejó la aproximación de Frege fuera de juego.

Más tarde Russell, junto a su colaborador Whitehead, The Story of Mathematics intentaron cubrir el hueco desarrollando una elaborada teoría sobre clases que pueden definirse razonablemente en un marco matemático. Requirió varios cientos de páginas definir el número 1 y unas cuantas más definir + y probar que 1 + 1 = 2.

Una figura clave en la formulación de los fundamentos lógicos de las matemáticas es Cantor Georg Cantor - Fundamentos para una teoría general de conjuntos (1882). Comenzó como Frege, intentando entender los fundamentos lógicos de los números naturales. Pero su investigación le llevó en otra dirección: asignar números a conjuntos infinitos, que fueron conocidos como “cardinales transfinitos”. Su más notable característica es que hay más de uno.

Cantor trabajó con lo que llamó conjuntos, en vez de clases, porque los objetos estaban más restringidos que aquellos que Frege había permitido, es decir, todos. Empezó con la idea de que dos conjuntos tienen el mismo número de miembros si y sólo si puede hacerse una correspondencia. A diferencia de Frege, hizo esto para conjuntos infinitos también. Cantor pensaba que esto era como definir infinito. Si cualquier conjunto infinito puede ponerse en correspondencia con cualquier otro, entonces habría exactamente un número infinito y sería mayor que cualquier número finito.

Y esto sólo fue el principio.

El conjunto infinito básico es aquél que contiene todos los números naturales. Como estos se utilizan para contar, Cantor definió un conjunto como contable si sus miembros podían ponerse en correspondencia con el conjunto de los números naturales. Cantor estaba hablando de un infinito real, no potencial. El conjunto de todos los números naturales obviamente es contable; basta hacer que cada número se corresponda consigo mismo.

¿Hay más? Sí, y bastante raros:

Si eliminamos el 1 del conjunto y el número de miembros en el conjunto no decrece en 1, se mantiene exactamente igual.

Si paramos en algún número finito, acabar con un número suelto en el final de la parte derecha, es cierto; pero cuando usamos todos los enteros, no hay un último en la parte derecha. Cada número n se empareja con n + 1, y esto es una correspondencia entre el conjunto de todos los números naturales y el mismo conjunto eliminando 1. La parte es del mismo tamaño que el todo.

Cantor llamó a sus números infinitos “cardinales”; y nosotros los llamamos “cardinales transfinitos” o simplemente “cardinales infinitos”. Para el cardinal de los números naturales, escogió un símbolo inusual, la primera letra del alfabeto hebreo. Y le agregó el subíndice 0. (אₒ)

Si todo conjunto infinito puede emparejarse con los números que utilizamos para contar, אₒ sería sólo un símbolo para infinito, bastante rebuscado. Y esto es lo que parecía.

Hay muchos números racionales que no son enteros, así que parece plausible que el cardinal para los racionales podría resultar ser mayor que אₒ. Sin embargo, Cantor probó que se puede emparejar los racionales a los números naturales. De tal modo que su cardinal sería el mismo, es decir: אₒ.

Para ver cómo funciona, consideremos sólo los números racionales entre 0 y 1. El truco es listarlos en el orden correcto, que no es su orden numérico. Los ordenamos por el tamaño de su denominador. Para cada denominador, los ordenamos según su numerador. La lista quedaría así:

donde falta 2/4 porque es igual a 1/2. Ahora podemos emparejar estos racionales con los números naturales considerándolos en este orden concreto. Todo racional entre 0 y 1 aparece en algún lugar de la lista, de forma que no dejamos fuera ninguno.

Hasta aquí la teoría de Cantor nos ha llevado a un solo cardinal infinito, אₒ. Pero no es tan simple, pues detrás vendría otro cardinal, el del continuo, que explicaré otro día.

Un número entero es un número sin fracción, mientras que un número fraccionario es un número que incluye una fracción, es decir, un número que está expresado como una división de dos números. Ejemplos de números enteros son: 1, 2, 3, -4, -5, etc. Ejemplos de números fraccionarios son: 1/2, 3/4, -5/6, etc.

Los números naturales son aquellos que sirve para contar. Es decir: 1, 2, 3… 10, 11, 12… 101,102,103 (Hay quien incluye el cero entre los números naturales y hay quien no; pero esta es otra cuestión).

Los números dígitos (también llamados “dígitos” a secas o “cifras”) son aquellos números que pueden escribirse con un solo guarismo y que en el sistema decimal se corresponden con los números 0 a 9.

Por ejemplo: el número 10 es un número natural de dos dígitos o cifras. Otro ejemplo: el número 0 es un número entero no natural (algunos dirán que sí es un número natural) que se escribe con un dígito o cifra.

Fuente [Diccionario de la Real Academia: número].

Hace años participé en el artículo Número de Wikipedia, fue muy polémico y por lo que veo sigue la polémica sobre cómo definir el concepto. Para los no matemáticos el concepto es muy simple, un número es una medida de una cantidad y ya está. Pero han aparecido una gran cantidad de nociones numéricas diferentes que generalizan el hecho simple de contar (algo que parece los humanos empezaron a hacer unos 40 mil o 50 mil años). Para los matemáticos la cuestión es mucho más complicada, voy a ver si logro retratar la complejidad del asunto sin simplificar demasiado.

La noción de número natural no tiene mayor secreto corresponde a la serie 1, 2, 3, … . Originalmente el 0 no se incluía en esa serie aunque usualmente en matemáticas se define [math]\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots \}[/math] (existen varias razones convenientes para incluir el 0 en este conjunto). En la escuela primara nos enseñan igualmente el concepto de números enteros [math]\mathbb{Z}[/math] y números fraccionales [math]\mathbb{Q}[/math], en términos semi-formales podemos escribir [math]\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}[/math]. Construir de forma matemáticamente esos rigurosos llevó más tiempo de lo que las nociones informales de la primaria sugieren ([math]\mathbb{Z}[/math] se construye como a partir del teorema de simetrización del monoide [math](\mathbb{N},+)[/math] y una vez definida la operación de multiplicación en los enteros se procede a demostrar que existe el llamado cuerpo de fracciones de ese anillo que resulta isomorfo a [math]\mathbb{Q}[/math]). Los siguientes sistemas numéricos son notoriamente más complicados, si se consideran todos los posibles polinomios con coeficientes racionales se ve que admiten soluciones que no son números racionales, el conjunto de todas esas soluciones son los algebraicos [math]\mathbb{A}[/math]. Todos estos conjuntos de los que he hablado [math]\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{A}[/math] son conjuntos infinitos. Se puede demostrar y esto no es del todo fácil que todos ellos tienen la misma cantidad de elementos: son infinitos del mismo orden de magnitud [math]\aleph_0[/math]. Y topológicamente todos ellos se pueden concebir como una serie de puntos discretos, aunque claro los dos últimos son densos (dados dos racionales o dos algebraicos puede encontrarse otro racional o algebraico en la línea que los une, a diferencia de lo que sucede con los enteros y naturales donde cada número tiene un siguiente y un anterior).

La noción de números reales [math]\mathbb{R}[/math] es con mucho mucho más sutil, en la secundaria no se explican adecuadamente las diferencias de este conjunto con [math]\mathbb{Q}[/math]. En [math]\mathbb{R}[/math] cualquier secuencia de números que se acercan progresivamente converge a un número (esto es una propiedad topológica) los números reales son tan numerosos que la mayor parte de números reales son innombrables, existe una cantidad infinita de reales mucho mayor que de racionales, la infinitud de los reales tienen un orden de magnitud [math]\aleph_1[/math]. Durante mucho tiempo se pensó que localmente el espacio era como [math]\mathbb{R}^3[/math] (espacio euclídeo tridimensional), hoy en día los físicos dudan que a nivel microscópico el espacio tenga algo que ver para estructura matemática, aunque para muchas aplicaciones el espacio euclídeo de los matemáticos parece un modelo razonable para el espacio físico. Los números complejos [math]\mathbb{C}[/math] son el conjunto de todas las posibles soluciones de polinomios con coeficientes reales. Se puede escribir la serie de inclusiones semi-formales: [math]\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}[/math]. La cosa no acaba ahí se pueden definir los cuaterniones [math]\mathbb{H}[/math], los octoniones [math]\mathbb{O}[/math], los sedeniones [math]\mathbb{S}[/math] y otros. Además se pueden definir los hiperreales [math]{}^*\mathbb{R}[/math], los superrreales, los surreales, e igualmente sus respectivas complejificaciones. Todo sistema numérico de los anteriores se caracteriza por tres cosas: tienen una estructura algebraica (monoide, anillo, cuerpo, álgebra sobre un cuerpo), satisfacen ciertas propiedades de orden (orden total, buen orden) y tienen ciertas propiedades topológicas y analíticas (densidad, metrizabilidad, completitud). Después de ver esta enorme variedad de sistemas abstractos que constan de números uno se plantea que tienen en común y qué relación guardan con la noción de cantidad o medida. La realidad es que el concepto de número es una abstracción matemática que incluye aspectos algebraicos, topológicos, de orden y otras propiedades más.

Y ni aún así los sistemas numéricos mencionados anteriormente agotan la noción de número en teoría de conjuntos se puede definir toda una serie de números infinitos que no constituyen sistemas numéricos como los anteriores, pero aún así tienen ciertas propiedades aritméticas. Estos números son interpretables como cantidad aun cuando sean infinitos. Existen dos formalismos con diferentes aplicaciones para definirlos los cardinales (que incluyen a los naturales, y los generalizan) y los ordinales (que también incluyen a los naturales y los generalizan). De hecho los cardinales son un tipo especial de ordinal (todo cardinal es también un ordinal pero no al revés).

Visto todo lo que en matemáticas puede ser un número la noción intuitiva que nos dan en la primara de que los números representan cantidades (contables) o medidas (incontables) sencillamente es una simplificación para niños. En gran medida la física ha empleado casi todos los tipos de números anteriores, usualmente usa los números reales, aunque en algunas aplicaciones los números complejos (algunos resultados son enteros o racionales, los algebraicos no parecen haber tenido mucho uso en física). Para los octoniones y los sedeniones, no conozco aplicaciones prácticas aunque sí para los cuaterniones (que son muy útiles para representar rotaciones en tres dimensiones). En el software de cálculo simbólico se han usado principios de relacionados con los números hiperreales, y algunas demostraciones se pueden simplificar mucho si se usa un formalismo basado en ellos. Los surreales y los superreales en gran medida son abstracciones teóricas sin mucho uso en física. Finalmente los cardinales tienen uso en mecánica cuántica para decir si un operador puede ser extendido autoadjunto, y de los ordinales no conozco una aplicación física práctica.

.Bueno, en un número que utilizamos para en la vida diaria, hablar de cifras es mencionar cuantos dígitos tiene dicho número y el valor posicional de cada uno como unidades, múltiplos y submúltiplos de 10, que sería el valor decimal según lo que represente.

Así que cifras vendría a ser sinónimo de cantidad de dígitos, a menos que representase un número codificado con algunos dígitos incógnitos sería un número cifrado.

De igual manera hablar de decimales equivale a decir cuantos dígitos se toman en cuenta después del punto o coma decimal. O en su defecto se pueden representar como una fracción decimal del tipo x/10ⁿ. Ejemplo: 0.214=214/1000=214/10³.

Los números enteros forman el conjunto de los números Naturales, el cero y los enteros negativos.

Se les representa por **Z **y son: **Z **= {… -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3 …}

Se pueden escribir: **Z **= {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …}

Nᵤ {0} = {0, 1, 2, 3, 4, …} son los enteros no negativos.

Definición de los números racionales (**Q**)

a. En forma de fracción

b. En forma decimal

**En forma de fracción**

Los que se pueden escribir en forma a/b, siendo el numerador a y el denominador b números enteros con b ≠ 0

P. ej. -3 = -3/1, los enteros también son racionales

Fracciones equivalentes. Todas las fracciones que valen lo mismo, y se escribe a/b = c/d (1/3, 2/6, 3/9)

Cada número natural y cada número entero tiene una única forma de escribirse; sin embargo, un número racional en forma de fracción se puede escribir de muchas formas distintas.

P. Ej. 1/3 = 2/6 = 3/9

-3 = -3/1 = -6/2, -24/8 = …

**En forma decimal**

Aquellos que se escriben: números delante de la coma, la coma y números detrás de la coma. P. ej. 3.91; 3.0 = 3

Como los números enteros pueden escribirse en forma decimal, los números enteros también son RACIONALES.

Se llama PARTE ENTERA de un número decimal positivo al número entero que está delante de la coma; y se llama PARTE DECIMAL a los que están detrás (0,91). Si un número racional es entero la parte entera es él mismo (3).

La parte entera de un número decimal negativo es una unidad menor del número entero que está delante de la coma.

P. ej. la parte entera de -3,28 es -4, siendo la parte decimal 0,72, lo que falta para llegar a 1.

En general, se define parte entera de un número real x, y se representa por E(x), como el número n que verifica n ≤ x < n+1 y parte decimal a la diferencia x-E(x); por tanto, la parte decimal es siempre positiva o nula.

Así, en E (3,91) = 3, la parte decimal es 3,91-3 = 0,91; en E (-3,28)= -4, la parte decimal es -3,28-(-4) = 0,72

La forma decimal puede ser de tres formas:

Decimal exacto, cuando la parte decimal tiene un número finito de cifras: 3,27.

Decimal periódico puro, cuando toda la parte decimal se repite indefinidamente: 3,2727272727…

Decimal periódico mixto, cuando no toda la parte decimal se repite: 3,2777777…

La forma decimal exacta también se puede escribir como periódico mixto: 3,27 = 3,270= 3,269.

Luego, la forma decimal de un número racional se puede considerar siempre periódica.

Los números racionales en forma decimal son los números decimales periódicos.

No hay una definición "formal" de número, es algo abstracto y "básico" que se suele dar por "obvio" o "entendible". Es como preguntar: ¿Qué es el tiempo?, ambas preguntas son difíciles y tienen varias respuestas, pero no dejan de ser buenas preguntas.

El origen de los números, o como se empezaron a usar, es en el conteo: Poder saber la "cantidad" de "algo". Luego dimensiones: áreas, perímetros…

Pero no siempre los números representan una "cantidad", algo que se pueda comparar entre números. Por ejemplo, están los números complejos, o mas puntualmente los números imaginarios. Ahí no hay un número mas grande que otro -a no ser que quieras inventar tu propia definición de ordenar para indicar que número imaginario es mas grande que otro, puede ser valido-. O también están los números transititos, que en breve, representan diferentes tamaños de infinitos. Si, infinito puede ser un número -en teoría de conjuntos-. Y también están los números hiperreales, números superreales y números surreales, los cuales no voy a explicar!

Aunque los números no siempre sean una cantidad única, estarían siempre representando algo, algo, algo lo que sea.

Hasta ahí es lo que yo logro entender de "número" -y espero no estar mal en lo único que se jajajaja-: Una representación

Dejo esta definición que aparece en "Los fundamentos de la aritmética", Gottlob Frege:

«n» es un número, es entonces la definición de «que existe un concepto “F” para el cual “n” aplica», que a su vez se ve explicado como que «n» es la extensión del concepto «equinumerable con» para «F», y dos conceptos son equinumerables si existe una relación «uno a uno» (véase que no se utiliza el símbolo «1» porque no está definido aún) entre los elementos que lo componen (es decir, una biyección en otros términos).

Aquí Frege, -si mi comprensión lectora es buena- dice que lo que sea que sea ese número, representado por "n" (que es simplemente una representación cualquiera, podría ser cualquier otra letra o dibujo), es un concepto que se aplica a la par de otro: "Los números 1,2,3,4… existen a la par del "conteo", se definen conjuntamente."

Los numeros ordinales son el numero de orden de un elemento de un conjunto completamente ordenado por ejemplo si tenemos el conjunto de alumnos de un aula los podemos ordenar por el orden alfabetico de sus nombres y apellidos, entonces cada alumno tiene un número de orden esos números son los ordinales, mientras que el número de alumnos de la clase sería un número cardinal. Para poder hablar de ordinales necesitamos ordenar un conjunto, mientras que para hablar de cardinales solo necesitamos un conjunto y saber su número de elementos.

Hay una cuestión gramatical que distingue ambos tipos de números para nombrar un ordinal que corresponde al 22 lo deberímos nombrar como vigésimo segundo, (no veintidosavo que es 1/22) y el cardinal se nombra comoveintidos. Feliz año nuevo

Es un problema de combinatoria. Dicho de otra forma, el problema que planteas es el siguiente:

Teniendo el conjunto {1, 2, 3, 4}, ¿cuántas posibilidades hay de coger sus elementos de 3 en 3, admitiendo repeticiones e importando el orden?

Lo de las repeticiones lo escribo porque asumo que quieres considerar números como 112, 222… Lo de importar el orden, porque no es el mismo número 123 que 321, por ejemplo.

La operación que resuelve esto son las variaciones con repetición, y resolviendo para este caso (variaciones con repetición de 4 elementos tomados de 3 en 3), tenemos:

VR(3, 4) = 4^3 = 64 números posibles.

¿Qué es un número?

Esto es una de las preguntas más dificiles en Fondaciones de Matematica. No hay una respuesta definitiva, porque es un question de definiciónes, no de pruebas.

Primero, no existe tal cosa como un solo número por sí mismo. Los números vienen en sistemas, como números naturales para contar o fracciones o números complejos.

Segundo, los números no son objetos en el mundo, sin importar lo que los platónicos piensan que piensan. Podemos usar sistemas de números, y de otros tipos de objetos matemáticos. Podemos probar teoremas, y calcular. Eso es todo.

Tercero, a lo largo de la historia registrada, ha habido feroces argumentos sobre tipos particulares de números. Cuando se introdujeron nuevos tipos, se encontraron una oposición decidida, a veces cruel, de los tradicionalistas matemáticos. Tales personas no solo argumentaron que los nuevos tipos de números eran imposibles, sino que en varios casos eran positivamente malvados.

En la geometría euclidiana, los números son longitudes de segmentos de línea o múltiplos de una longitud particular, la unidad. Los matemáticos indios agregaron los conceptos del número 0, y el dígito '0'. Los números negativos llegaron con los avances en álgebra, para resolver ecuaciones de segundo grado. Los números complejos tuvieron un uso limitado para resolver ecuaciones cúbicas y cuárticas, pero no fueron aceptados por completo hasta que Gauss mostró cómo usarlos en el análisis.

Otros tipos comunes de números incluyen

• Anillos de enteros modulo un entero elegido. Hora del reloj mod 12, por ejemplo.
• Campos finitos modulo un primo elegido.
• Vectores tridimensionales con productos escalar y vectorial.
• Cuaterniones y octoniones.
• Los números cardinales y ordinales transfinitos de Cantor.
• Los números naturales de Peano.
• Modelos de números de varios tipos construidos en teorías de conjuntos, lógica combinatoria y otros sistemas.
• Hiperintegros e hiperrealistas en el sentido de Robinson.
• Números surrealistas en el sentido de Conway.

Estas son solo algunas de las posibilidades.