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Elipse
- 1. INTEGRANTES: Rubio Otoya Guadalupe Del Carpio Vicuña Carolina Quispe Parhuay Marianela Mendoza Caja Marilyn Santana Hinostroza Estefani Quiroz Sánchez Melissa Moreno Mori Alexandra Valdeiglesias Tapia Diamira Muro Bautista Ofelia Valerio Machaca Mayela Guerra Huamán Estefani Montes Rosales Ashly
- 2. INDICE: 1. Definición y elementos de la elipse 2. Valor de la constante 3. Excentricidad de la elipse 4. Ecuación de la elipse con centro en el origen 5. Ecuación de la elipse con centro fuera del origen Vertical Horizontal 6. Longitud del lado recto Vertical Horizontal 7. Ecuación ordinaria Vertical Horizontal 8. Ecuación general Vertical Horizontal 9. Conversión de la forma general a la ordinaria
- 4. Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos de un plano, tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos llamados focos, siempre es constante. A esta longitud constante se le denomina eje mayo que puede ser paralelo al eje “x”, paralelo al eje “y” o bien oblicuo. Eje mayor = Distancia entre vértices
- 6. VERTICE ( A y B) : DISTANCIA FOCAL : CENTRO : Como su nombre lo Puntos extremos del eje Es el segmento de recta indica, es el punto central de la mayor. que va desde un foco F1 elipse y es donde se hasta el F2. intersecan los ejes mayor y menor. FOCOS (F1 y F2) : Son dos RADIO VECTOR : Son los puntos localizados sobre el Eje segmentos de recta mayor, no son arbitrarios y entre dirigidos que van desde un más parecida sea una elipse a punto F1 u F2 hasta un una circunferencia, la distancia punto situado en la elipse. entre ellos se reduce . LADO RECTO : Segmento de Eje Mayor ( AB = 2 a ): recta perpendicular al eje Eje Menor ( CD = 2b) : Segmento de recta mayor, contiene a un foco Segmento de recta localizado entre los (cualquiera de los dos) y sus perpendicular al eje mayor vértices de la Elipse. extremos se localizan sobre la cuyos extremos se elipse. La longitud del lado recto localizan sobre la elipse. se denomina ancho focal.
- 8. Como establece la definición inicial de la elipse como lugar geométrico, para todos los puntos P de la elipse la suma de las longitudes de sus dos radio vectores es una una cantidad constante igual a la longitud 2a del eje mayor: PF1 + PF2 = 2a
- 10. La excentricidad ε (épsilon) de una elipse es la razón entre su semidistancia focal (segmento que va del centro de la elipse a uno de sus focos), denominada por la letra c, y su semieje mayor. Su valor se encuentra entre cero y uno. Dado que : También vale la relación O el sistema : La excentricidad indica la forma de una elipse; una elipse será más redondeada cuanto más se aproxime su excentricidad al valor cero. La designación tradicional de la excentricidad es la letra griega ε llamada épsilon.
- 12. A partir de la definición de la elipse y de la expresión para calcular la distancia entre dos puntos, se puede deducir la ecuación de una elipse en un sistema de coordenadas rectangulares. Si los vértices se ubican en las coordenadas y , los focos están en y , el eje mayor de la elipse es coincidente al eje “x” y su centro se ubica en el origen , tiene la siguiente forma :
- 13. Si el punto P está en cualquiera de los vértices, la suma de distancias d1 + d2 da como resultado a - c + a + c , por lo que la suma constante se establece en 2a, a > 0 El punto P(x, y) pertenecerá a la elipse si y sólo si: d1 + d2 =2a, por lo tanto: Hasta llegar a : ecuación conocida como ecuación ordinaria o canónica de la elipse horizontal con centro en el origen, de semieje mayor a y de semieje menor b .
- 14. El procedimiento para obtener la ecuación de la elipse vertical es muy similar al que se hizo con la elipse horizontal. En este caso, los vértices y focos están sobre el eje “y "en las coordenadas , respectivamente y aplicando la expresión de distancia entre dos puntos, se tiene que :
- 15. ecuación conocida como ecuación ordinaria o canónica de la elipse vertical con centro en el origen, de semieje mayor a y de semieje menor b . La elipse en este caso tendría la siguiente forma:
- 17. Ecuación de la Elipse con centro =1 fuera del origen - Horizontal A partir de la definición de la elipse y de la expresión para calcular la distancia entre dos puntos, se puede deducir la ecuación de una elipse en un sistema de coordenadas rectangulares •Sea la elipse del eje focal paralelo al eje X y cuyo centro es el punto C (h,k) Si trasladamos el sistema de coordenadas XY al sistema X`Y` de tal forma que el nuevo origen O` coincida con el punto C (h,k) cuya ecuación seria :
- 18. En este sistema: X´= x-h Y`= y-k Teniendo como resultado: Ejemplo I : (Horizontal) Hallar la ecuación de la elipse cuyos vértices son los puntos V(7,-2) y V(-5,-2) y pasa por el punto P(3,2).
- 19. Ecuación de la Elipse con centro fuera del origen – Vertical El procedimiento para obtener la ecuación de la elipse vertical es muy similar al que se hizo con la elipse horizontal Consideremos ahora la elipse cuyo eje focal es paralelo al eje Y y cuyo centro es el punto C (h,k) Como en el caso anterior la ecuación de la elipse con relación al sistema X`Y` es : En este sistema: X´= x-h Y`= y-k Teniendo como resultado: Ejemplo II : (Vertical) :La distancia entre las directrices de una elipse es 18. Hallar su ecuación si tiene por focos los puntos F1 (1,5) y F2(1,3).
- 21. Longitud del lado recto de una elipse horizontal Para cualquier elipse, los segmentos perpendiculares al eje mayor que pasan por sus focos de la elipse con extremos sobre la curva se denominan lados rectos (LR). Gráficamente es:
- 22. Para encontrar las coordenadas de los extremos del lado recto, que pasa por el foco , se sustituye el valor de x por c en la ecuación despejada para y : por lo cual, las coordenadas de los extremos P1 y p2 del lado recto asociado a son:
- 23. Similarmente, para encontrar las coordenadas de los extremos del lado recto que pasa por el foco F2 , el procedimiento es idéntico al tomar en cuenta que los puntos p3 y p4 son simétricos a los puntos p1 y p2 con respecto al eje x , con lo que se tienen la mismas ordenadas respectivas, por lo que las coordenadas de los extremos p3 y p4 del lado recto asociado F2 a son: La longitud, medida en unidades lineales (u),de cada lado recto viene dado por la diferencia de sus ordenadas. Por lo tanto:
- 24. Longitud del lado recto de una elipse vertical Para encontrar las coordenadas de los extremos del lado recto de una elipse vertical, que pasa por el foco F1 , se sustituye el valor de y por c en la ecuación despejada para x por lo cual, las coordenadas de los extremos p1 y p2 del lado recto asociado a f1 son:
- 25. Similarmente, para encontrar las coordenadas de los extremos del lado recto que pasa por el foco F2 , el procedimiento es idéntico al tomar en cuenta que los puntos p3 y p4 son simétricos a los puntos p1 y p2 con respecto al eje x , con lo que se tienen la mismas ordenadas respectivas, por lo que las coordenadas de los extremos p3 y p4 del lado recto asociado F2 a son:
- 27. Como en los casos de las otras cónicas, para convertir una ecuación de la forma general a la forma ordinaria, utilizaremos el método de factorización conocido como completar cuadrados. Si la ecuación corresponde a una elipse, entonces los signos de A y B deben ser iguales. Conversión de f. ordinaria a f. general Esta ecuación es la que encontramos en el ejemplo que se resolvió en la página? Ahora solamente vamos a multiplicar ambos lados de la igualdad por 25 y después por 16:
- 28. Esta es la ecuación de la misma elipse, pero en la forma general. Ahora solamente vamos a transformarla a la forma general Ya calculamos la ecuación en forma ordinaria de esta elipse (pág.?).
- 29. Ahora solamente la vamos a escribir en la forma general. Empezamos multiplicando ambos lados de la igualdad por los denominadores de las fracciones: Ahora desarrollamos los binomios que están elevados al cuadrado Y hemos terminado Ya calculamos la ecuación en forma ordinaria de esta elipse (pág.?)
- 30. Que es la ecuación general de la elipse horizontal. A¹C, pero del mismo signo.
- 33. Como en los casos de las otras cónicas, para convertir una ecuación de la forma general a la forma ordinaria, utilizaremos el método de factorización conocido como completar cuadrados. •Ahora si vamos a aplicar el método de completar cuadrados. •Empezamos ordenando los términos: primero los que incluyen a x y después los que incluyen a y: •Factorizamos el coeficiente del término principal de cada binomio: