- Haz de rectas
paralelas - Area del transformado de un
polígono regular - La elipse como transformada del
círculo - Conclusiones
- Bibliografía
La idea de utilizar el movimiento en
la Geometría, data desde hace bastante
tiempo. La
traslación, la rotación y la homotecia son buenos
ejemplos que se encuentran contemplados en los programas de
Educación
Básica; en los casos citados se realizan aplicaciones que
consisten en desplazar la totalidad de los vértices de una
figura dada y, con ello, toda la figura. Cuando se trabaja con
triángulos, se suele ubicar una base sobre
una recta y trazar otra paralela por el vértice opuesto.
Al desplazar este vértice, sobre la recta, se hace notar
que existen infinitos triángulos con igual área y
que, además, pueden ser de cualquier tipo, siempre que la
base y la distancia entre las rectas no varíe. Algunos
matemáticos han ido más lejos al incorporar la
velocidad en
la resolución de problemas
geométricos (véase bibliografía al final). La
GEOMETRÍA DINÁMICA, como se suele llamar, toma
impulso en la década de los 90's con el desarrollo de
software CABRI
aplicado a Geometría
y de otros posteriores que se encuentran ampliamente difundidos
en la red. Antes de
1998, cuando aparece el software citado, la Geometría
Dinámica ofrecía presentaciones
estáticas, lo que exigía grandes dosis de
imaginación; luego de ese año, las presentaciones
también se hicieron dinámicas, por lo que la
manipulación y la observación pasaron a jugar el rol
preponderante. La intuición es importante ambos tipos de
presentación; sin embargo, la dinámica hace que
fluya de una forma más ágil y
precisa.
Este trabajo recoge
viejas ideas referentes a la transformación de figuras.
mediante la aplicación que denominaremos
Contracción del Haz Paralelo Respecto al
Polígono Dado ( o Figura Dada), complementada con la
Fórmula General del Area del Polígono,
observaremos la facilidad con que se puede llegar a conclusiones.
Aunque la aplicación puede ser utilizada en infinidad de
situaciones, se mencionan solamente la semejanza de polígonos y se realiza un estudio de la
elipse, considerándola como transformada del
círculo; aspecto éste que se desarrolla con
más amplitud, puesto que se introducen puntos de vista
algo diferentes que se desprenden de la contracción. Ambos
a manera de ejemplos, para demostrar que se puede llegar a conclusiones
utilizando sencillos procedimientos
algebraicos que acompañan al geométrico.
El contenido de este artículo se desarrolla en la
forma tradicional (demostraciones estáticas), por no
disponer del software adecuado, con la intención de
despertar el interés de
otras personas para que desarrollen las ideas y las publiquen por
este mismo medio, o por cualquier otro similar, utilizando
paquetes de Geometría Dinámica.
De su lectura se
desprenderán otras transformaciones que pueden estudiadas
en Geometría Dinámica, bien sea con presentaciones
estáticas o asistidas por computadora.
Nota: Este artículo fue presentado ante el XV
Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones, celebrado en
Bogotá en junio de 2004, sin el aparte Area del
Transformado de un Polígono Regular. Este se ha anexado a
la presente publicación, como complemento, para ofrecer
otra muestra de la
aplicación descrita.
Atentamente,
Gustavo Yanes Yanes
Email: gustavo_yanes[arroba]hotmail.com
Profesor titular en la especialidad de
Matemática
U.E. " Prof.Boris Bossio Vivas"
San Antonio de Los Altos
República Bolivarina de Venezuela.
Un conjunto de rectas el plano que pasan por un mismo
punto se denomina haz central y el punto común es
el centro del haz. Un conjunto de rectas paralelas pertenecientes
a un plano se denomina haz de rectas paralelas, o haz
paralelo. Un haz paralelo es finito si consta de un
número finito de rectas; si k es el número de
rectas del haz paralelo se denominará
k-haz.
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Dos rectas de un haz paralelo son
consecutivas si entre ellas no se encuentra ninguna otra
perteneciente al haz dado. Un haz paralelo es regular si las
rectas consecutivas se encuentran a una distancia constante, de
lo contrario es irregular.
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Si definimos un sentido perpendicular al k-haz (en
la
ilustración anterior indicado con la flecha) tendremos
un haz paralelo ordenado. Las rectas se enumeran:
r0, r1, r2,…..,
rk-1; en forma prelativa y en el sentido dado. Las
rectas r0 y rk-1 se denominan extremos del
k-haz.
La distancia entre dos rectas consecutivas de un haz
paralelo se denota:
d(ri ri+1).
Se puede ordenar un haz paralelo infinito, tomando una
recta como r0 y a partir de ésta, en el sentido
seleccionado las enumeraremos consecutivamente:
r0,r1, r2, r3,…..;
en el sentido contrario las enumeraremos : r0,
r-1, r-2, r-3,……
Dados dos haces paralelos: son paralelos,
perpendiculares u oblicuos entre sí, si tomado
una recta de cada haz, éstas son paralelas,
perpendiculares u oblicuas entre sí,
respectivamente.
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En la ilustración de arriba observamos haces
paralelos, perpendiculares y oblicuos entre sí.
Haz Paralelo Respecto A un Polígono
Dado
Todo haz paralelo finito, cuyas rectas pasen por
vértices de un polígono dado se denomina: k-haz del
polígono dado. Es evidente que podemos trazar infinitos
haces paralelos de una figura; cuando nos refiramos al k-haz de
un polígono dado, entenderemos que es cualquiera de los
infinitos k-haces paralelos que se pueden trazar.
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En la ilustración podemos observar un
octágono y algunos de sus k-haces. Las flechas indican un
sentido de su posible ordenación, aunque también
puede tomarse el contrario.
Llamaremos contracción de un haz paralelo
a una aplicación que convierte al haz dado en otro haz
cuyas distancias entre rectas consecutivas se han multiplicado
por un factor constante. Si el factor es menor que uno: las
rectas se juntan; si es mayor que uno: las rectas se separan. Si
es uno, el haz permanece sin cambios. Denotando como
ri ' y ri+1' a las nuevas rectas y
l al factor constante,
será: d(ri 'ri+1' )
=l
d(ri ri+1).
La contracción puede hacerse con respecto a una
recta del haz, en cuyo caso la recta dada permanece
inmóvil y el resto de las rectas del haz paralelo se
acercarán o alejarán de ella en función de
la constante l .
Si no se especifica nada, se tomará como fija la recta
r0.
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En la ilustración arriba se puede observar un
5-haz y un nuevo 5-haz obtenido al aplicarle un factor de
contracción l
= 1/2, respecto a la recta situada en la parte
inferior.
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Dejando fija r1 podemos observar una
contracción del primer haz con factor l <1 y otra con factor
l >1.
OBSERVACIONES:
La contracción con factor
l = 1.equivale a
dejar invariable el haz de rectas.
La contracción con factor
l = 0 convertirá
al haz en una recta.
Puede definirse la contracción con
factor l < 0,
que convertirá al haz en otro paralelo cuyas rectas son
r0, r-1, r-2,… r-k
y se ubicarán, simétricamente, en el semiplano
opuesto al del haz dado.
Contracción Del
Haz con Aplicación al Polígono.
La contracción de un polígono dado, se
obtiene mediante la contracción de un k-haz trazado
respecto a éste.
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Cuando realizamos la contracción de un
polígono, su área aumenta o disminuye en la
proporción indicada por el factor de
contracción l
. En efecto: si A es el área de la figura original,
A = ½S
S(ri ri+1) d(ri
ri+1), como S(riri+1) no
varía con la contracción, área de la figura
resultante será:
A'=½S
S(ri'ri+1')
d(ri'ri+1')= ½S
S(riri+1)l d(riri+1)=
l
½S
S(riri+1)
d(riri+1)=l A
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Si realizamos una contracción l ', sobre la nueva figura, se
tendrá:
A"=l
'A'=l
'l
A.
En particular, si la contracción es de igual
factor l , se
tendrá:
A"=l
A'=l l A=l 2A
Si las contracciones consecutivas se realizan de tal
forma que cada una, a partir de la segunda, se ejecuta sobre el
k-haz resultante de la contracción anterior (haces
paralelos); la última figura que obtiene puede generarse
con una única contracción cuyo factor sea igual al
producto de
los factores de las contracciones aplicadas
consecutivamente.
La figura que se obtiene después de aplicar la
contracción se denomina transformada y en cualquier
caso el área de la transformada será igual al
producto del área original por el factor de
contracción aplicado, o por el producto de los factores de
las contracciones aplicadas separadamente, si este fuera el
caso.
Podemos deducir que dos contracciones consecutivas e
inversas aplicadas a una figura dada, la transforman en otra
figura que tiene el área equivalente al de la dada. En
efecto el área se multiplicará por el factor
l en la primera
contracción resultando l A y esta por (en la segunda contracción
resultando l
(1/l )A =
A. Si la segunda contracción se aplica paralelamente a la
primera, se obtendrá la figura dada.
Los vértices, lados y los ángulos de la
figura resultante se corresponden con los de la figura
original
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En la ilustración anterior son correspondientes
los vértices A, A' y A"; B, B' y B", C, C' y C", D, D' y
D", E, E' y E", F, F' y F"; respectivamente. Son
correspondientes, a su vez, los lados, los diagonales y los
ángulos definidos por vértices
correspondientes.
Dos contracciones aplicadas perpendicularmente sobre una
misma figura, con factores inversos entre sí,
transformarán a la figura originaria en otra con igual
número de lados y ángulos y, además, con la
misma área.
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Es fácil observar que los lados de la figura,
perpendiculares al k-haz, varían sus dimensiones en la
misma proporción indicada por el factor de
contracción l
; así mismo, los lados que forman parte del k-haz no
sufren alteraciones durante la contracción.
Al aplicar contracciones sobre k-haces perpendiculares
entre sí, respecto a la misma figura, los lados
mencionados anteriormente intercambian sus posiciones relativas
respecto a cada k-haz; luego, los lados que variaron sus
dimensiones durante la primera contracción no las
variarán durante la segunda y los que se mantuvieron
constantes en la primera contracción serán los que
varíen durante la segunda.
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Además de comprobar lo dicho para los lados,
obsérvese también que los ángulos rectos no
varían, si sus los lados se posan, alternativamente, sobre
las rectas de los k-haces perpendiculares, así mismo,
obsérvese que las contracciones pueden ser realizadas en
cualquier orden, o a un mismo tiempo, para obtener el mismo
resultado.
Los lados de la figura que son oblicuos a dos k-haces
perpendiculares variarán con cada contracción, por
ubicarse en retículas formadas por pares de rectas
consecutivas de cada k-haz.
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En el recuadro, donde se muestra una retícula
ampliada, observamos las transformaciones que sufre un lado
situado en forma oblicua entre dos pares de rectas de k-haces
perpendiculares. El lado es el diagonal de un rectángulo
formado por dos pares de rectas consecutivas de cada
k-haz.
Sean: l longitud del diagonal; h y h' las distancias
entre las dos rectas consecutivas de cada k-haz;
l y l ' los factores de
contracción y, por último, lT la
longitud del diagonal después de haber aplicado las dos
contracciones.
Por el Teorema de Pitágoras se tiene:
l = (h2+h'2)1/2 y
lT = (l
2h2+l
'2h'2)1/2.
Si l '
= l se
tendrá:
lT = (l 2h 2 +
l 2h'
2) 1/2=[ l
2(h2+h'2)
]
1/2= l (h2+h'2)
1/2= l
l.
:De lo visto podemos concluir que la
relación entre los lados correspondientes de una figura
dada y su transformada respecto a dos contracciones
perpendiculares entre sí, con factor constante, es
proporcional a este factor.
Observemos los mismos rectángulos y veamos lo que
sucede a los ángulos a y b
del rectángulo original.
Partimos de: tanb = h'/h y
tan a
= h/h'.
En la transformada:
tanb
' = l
'h'/l h
y
tana
' = l h
/l
'h'
Si l
'=l se
tiene:
tanb
= l
h'/l h =
h'/h= tanb
y
tana
= l h
/l h' =h/h'=
tana . De
donde: b
'=b
y a
'=a
.
Por lo que podemos concluir en lo siguiente: dos
contracciones con el mismo factor y perpendiculares entre
sí, aplicadas a una misma figura, no alteran las medidas
de los ángulos internos (recuérdese lo mencionado
para los ángulos rectos cuyos lados se posan
alternativamente sobre los k-haces paralelos).
Las contracciones sobre una figura son tales
que:
1. Si l
y l '
son dos factores diferentes: Tl F <> Tl 'F.
2. Existe un factor de contracción
l =1 que devuelve la
figura en ella misma: F'=Tl F= F, factor de contracción
neutro.
3. Si l
, l '
y l " son tres
factores cualesquiera:
Tl
l
'l " F
= T(l l ')l "F = Tl (l 'l ") F, asociatividad.
Tl
l ' F =
Tl
'l
F, conmutatividad.- Si l
y l '
son dos factores cualesquiera: - Para cada contracción con factor
l existe una
contracción paralela con factor 1/l tal que Tl (1/l ) F = T1F = F, existencia de
inversas. - Si F'=Tl
F, se tiene que: AF' = l AF. - Si F es una figura cualquiera y l =0: Tl F es un segmento de recta,
cuya longitud es igual al ancho de la figura respecto a un
k-haz perpendicular al que ha sido objeto de
contracción.
…………………
Nota: Tl
F significa transformada de la figura F mediante una
contracción con factor l ; AF significa área de la figura F. Las
contracciones estarán siempre asociadas a un haz
determinado para cada una. El ancho de una figura respecto a un
k-haz es d(r0 rk-1).
Visto lo anterior, se puede abordar el tema de las
figuras semejantes sin dejar dudas en referencia a las relaciones
que existen entre sus áreas como entre sus lados
correspondientes. Realizaremos algunas observaciones puntuales
de-bido a que el basamento está suficientemente
desarrollado.
Dadas las figuras F y F', diremos que son semejantes si
F' es la transformada de F mediante la aplicación de dos
contracciones paralelas, perpendiculares entre sí, con
factor común l
( notación: F' = Tl 2F^ )
Una figura cualquiera y su transformada, después
de haber aplicado dos contracciones perpendiculares de un mismo
factor, se denominan Figuras Semejantes.
Sean F y F' dos figuras semejantes; A, l y
q el área, la
longitud de un lado dado y q la medida un ángulo dado de la figura
F; A' el área de F', l' la longitud del lado
correspondiente al dado y q ' la medida del ángulo correspondiente
al dado. Entonces se cumple: A´=l 2A; l'=l l y q '=q , donde l es el factor de las contracciones
perpendiculares entre sí, que aplicadas a la figura F dan
como resultado la figura F'.
Si los lados de las figuras semejantes, F y F', son
l1,l2,l3,…..,ln y
l'1,l'2,l'3,…..,l'n,
respectivamente; llamando p y p' a sus perímetros y
l al factor de
contracción tendremos:
p' =
l'1+l'2+l'3+…..+l'n
=l
l1+l
l2+l
l3+…..+l ln=l (
l1+l2+l3+…..+ln)
=l p
de donde p'/p =l ; luego: A´=(p'/p)2A.
()
Para que dos figuras de igual número de lados
sean semejantes es necesario y suficiente que se cumpla que sus
ángulos, tomando uno de cada figura, sean iguales dos a
dos y sus lados, tomados en forma análoga a los
ángulos, estén relacionados por un factor
común.
Toda figura es semejante a ella misma, puesto que se
obtiene de aplicar dos contracciones perpendiculares y
consecutivas con factor l = 1. Por supuesto que dos figuras iguales son
semejantes entre sí.
AREA DEL
TRANSFORMADO DE UN POLÍGONO REGULAR.
Estudiemos el área del transformado de un
polígono regular3 obtenido mediante contraccion
del haz paralelo que contiene a una base dada b, aplicando
la fórmula del área del polígono regular
An = kna2:
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No deben confundirse las relaciones entre las
áreas de las figuras y sus transformadas con las de los
lados correspondientes de las figuras semejantes; pues el
área de la transformada sólo depende del valor de los
factores de contracción y las medidas de los lados
dependen, además, del sentido en que se apliquen las
contracciones.
Si F' º
Tl
2F║ (F' es la transformada resultante de
dos contracciones con factor l , paralelamente aplicadas a la figura F),
donde A y A' son las áreas de las figuras anteriores,
respectivamente; se tendrá que A´=l 2A y sin embargo no
es cierto que l'=l
l para cualquier lado de longitud l de la figura F y su
correspondiente de la figura F' con longitud l'. Pues si tomamos
un haz paralelo que contenga algún lado de F, este lado no
variará; si tomamos un haz que contenga un lado
perpendicular a éste con longitud l, al aplicar las
contracciones será l´=l 2l.
Sea el polígono regular de base b, de ancho
h0 respecto a esa base y su transformado con la misma
base y ancho h ( ver fuguras)-
El área del transformado se puede obtener
mediante la fórmula:
AT=Anλ.
El factor de contracción λ se puede
calcular mediante la razón de los anchos de los
polígonos respecto a la base b, antes y después de
la contracción.
Luego:
En los polígonos regulares con un
número par de lados h0 = 2a y en los que
poseen un número impar de lados h0 = a +
r; siendo r el radio del
círculo circunscrito y a la vez del polígono
regular. Esta última igualdad se
puede escribir h0 = 2a +
(r-a).
Definamos la función m: NxN*→N de tal forma
que a cada par (a,b) de NxN* se le asigna el resto de la
división entera de a entre b, que denotaremos m(a,b) y
leeremos a módulo b. Situemos en la primera componente del
par el número de lados del polígono regular y
fijemos el número 2 en la segunda. De esta manera m(n,2)
tomará el valor 0 para los polígonos con un
número par de lados y valdrá 1 para los que poseen
un número impar de lados: por lo que el ancho del
polígono regular respecto a la base dada es:
Por lo
que
De la definición de la constante de
semiproporcionalidad
y llamando b al lado, tenemos:
expresemos el radio en función de la base y la
apotema:
y expresando la apotema en función de la
base:
Trabajando el denominador de la fórmula del
área del transformado se tiene:
y al sustituirla en la fórmula del
transformado queda:
que es una fórmula relativamente
sencilla.
Si el transformado se obtuvo al aplicar un factor de
contracción nulo, entonces h=0 y el numerador se anula por
lo que AT=0.
Si el transformado se obtuvo al aplicar un factor de
contracción λ=1, se trata del polígono
regular dado, por lo que
AT=kna2.
Comprobación:
Para
polígonos regulares con un número par de lados,
será m(n,2)= 0, la fórmula se reduce
a:
Como h= h0= 2a y
b=2akn/n, sustituyendo estos valores en la
ecuación se tiene:
Para polígonos regulares con un número
impar de lados, la fórmula del transformado
queda:
Como h = a+r, el numerador se puede convertir en:
nb(a+r). Luego, escribiendo b y r en función de
la apotema:
El numerador será:
Como el
factor entre corchetes es igual al denominador de la
fórmula del transformado, se cancelan y queda:
Con lo que queda comprobada la afirmación
inicial.
Si se sustituye kn = n tan(180°/n) en la
fórmula del transformado tendremos:
Al ser m(n,2) = 0 la fórmula se convierte en
aritmética; por lo que la trigonométrica
sólo tiene sentido para transformados de polígonos
con un número impar de lados. En consecuencia, la
fórmula trigonométrica puede ser expresada
así:
Para todo n impar.
LA ELIPSE COMO
TRANSFORMADA DEL CÍRCULO
Estudiemos ahora las contracciones del haz paralelo
respecto al círculo. Para ello no trazaremos las infinitas
rectas del haz, sino sólo tres rectas, de manera que una
de ellas pase por el centro del círculo y las otras dos
sean tangentes a la figura; por supuesto, imaginaremos el
movimiento de todos los puntos tal como si estuvieran trazadas
las infinitas rectas del haz.
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La transformada que se obtiene al aplicar una
contracción paralela al círculo se puede observar
en la ilustración de la izquierda. La circunferencia, por
su parte, se transforma en otra curva que se denomina
elipse.
Si denominamos r al radio del círculo, el
área de la región limitada por la elipse
será p
r2l . Si aplicamos una contracción a
la transformada, paralela a la anterior, con factor
1/l ,
obtendremos el círculo original. Si aplicamos una
contracción perpendicular con el mismo factor obtendremos
un nuevo círculo de área p r2l 2.
Si, por el contrario, aplicamos una contracción
perpendicular con factor 1/l , obtendremos una nueva elipse que limita un
área equivalente a la del círculo.
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La contracción paralela a la anterior, con
el mismo factor, aplicada a la transformada del círculo,
devuelve el círculo original.
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Una contracción perpendicular a la anterior
aplicada sobre la transformada del círculo, con el mismo
factor, devuelve un círculo con área igual a
l 2 veces la
del círculo original.
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Una contracción perpendicular con factor
1/l devuelve una
elipse que encierra un área equivalente a la del
círculo original.
Area de la Región Limitada por la
Elipse
Para estudiar las propiedades de la elipse,
sustituiremos la recta intermedia del haz por el diámetro,
en la circunferencia original; igualmente trazaremos el
diámetro perpendicular al anterior. Denominaremos r al
radio de la circunferencia.
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Al aplicar la contracción con factor
l , el diámetro
que se encuentra sobre el haz no varía, por lo que su
mitad se-guirá siendo r; el perpendicular al anterior se
multiplicará por l y el radio se convertirá en
l r .
Los segmentos correspondientes a los diámetros de
la circunferencia, obtenidos después de la
contracción se denominan ejes de la elipse. Denotaremos D
al mayor y d al menor de ellos. Los segmentos r y
rl se denominan
semiejes y se denotan con las letras a y b respectivamente, por
lo que 2a y 2b serán las medidas de cada eje. Como b/a
= l ó a/b
= l ,
dependiendo de que l
sea menor o mayor que 1.
Ae = l
Ac = l
(p
a2) = (b/a) (p a2) =p ab ó Ae = l Ac = l (p b2) = (a/b) (p b2)
=p ab
y en referencia a los ejes: Ae =p ab = p (D/2)(d/2) = p Dd /4
Por cuanto la elipse se define como el lugar
geométrico de los puntos del plano cuyas sumas de las
distancias a dos puntos fijos del mismo plano (denominados focos)
son constantes; vamos a ubicar los focos de la elipse resultante
de la contracción del círculo.
La elipse de semiejes a, b (siendo a el semieje mayor)
se puede obtener, aplicando una sola contracción, de las
formas:
- Aplicando la contracción con factor
l = b/a al
círculo de radio a. - Aplicando la contracción con factor
l = a/b al
círculo de radio b.
En el primer caso: l >1; en el segundo: l < 1.
Del procedimiento
para el trazado de la elipse ( del hilo), observamos que los
focos se sitúan sobre el eje mayor D, a distancias iguales
del centro de la figura (O). Denominemos los focos con F y
F'.
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La suma de las distancias desde el punto A hasta ambos
focos es:
AF+AF' = AF+AF+FF' = D.
La suma de las distancias desde B hasta ambos focos es:
BF+BF' = D, por definición de elipse.
Pero BF = BF' puesto que B es un extremo de d,
perpendicular a D en su punto medio y por lo tanto mediatriz del
segmento FF'. En virtud de ello BF+BF' =2BF= D y BF = D/2 =
a.
Como debemos calcular OF, aplicaremos el teorema de
Pitágoras en el triángulo rectángulo BOF,
donde BO = b:
(OF)2 =( a2 – b2), de
donde: OF=( a2 – b2)
1/2
Si la elipse se obtuvo por la contracción del
circulo de radio a, entonces OA = r = a y: OB=b=
al
(l <1),
por lo que nuestra fórmula quedará:
OF=( a2 –
a2l
2) 1/2 =[ a2 ( 1 –
l 2)
]
1/2= a ( 1 – l 2) 1/2 =
r ( 1 – l
2) 1/2
Si se obtuvo la misma elipse aplicando la
contracción del círculo de radio b, entonces b=r y
OA= a= bl
(l >1),
de donde:
OF= (b2l 2-b2)
1/2 =[
b2 (l 2 -1) ] 1/2= b
(l
2-1) 1/2 = r (l 2 -1)
1/2
Como 1 – l
2 = – ( l 2-1) y la cantidad subradical es
siempre positiva, nuestra fórmula puede expresarse
así: OF= r ç l
2-1ç 1/2.
Luego los focos de la elipse: se ubicarán sobre
el eje mayor, a una distancia del centro equivalente al producto
del radio del círculo que la originó, por la
raíz cuadrada del valor absoluto de: el cuadrado del
factor de contracción aplicado, disminuido en
1.
Si establecemos que la elipse siempre está
generada por la contracción del círculo de
diámetro 2a, siendo ésta la longitud del eje mayor,
tendremos que l
£ 1en todos los
casos. Luego:
OF = a (1-l
2 ) 1/2, de donde
OF/ a = (1-l 2 ) 1/2
La razón OF/a se denomina excentricidad de la
elipse y se denota e, de lo que concluimos:
e= (1-l 2) 1/2
Obsérvese que si l =1 se ha aplicado la contracción
Ck0F, donde l = k0=1 siendo e=0 y OF =0
por lo que los focos F y F' coinciden con el centro del
círculo y la suma de las distancias de cualquier punto de
la circunferencia a los dos focos será 2r = D
(diámetro de la circunferencia). Por supuesto, que en el
círculo el eje mayor y el menor coinciden.
Dos elipses F y F', con semieje mayor y menor: a,b y
a',b', respectivamente, son semejantes si se cumple que a/b =
a'/b' y en consecuencia: e = e'.
Si se sitúa la elipse en el plano cartesiano de
tal forma que el centro coincida con el origen de coordenadas,
podemos deducir la ecuación que la define:
x2/a2 + y2/b2 = 1.
Partiendo de la ecuación de la circunferencia:
x2 + y2 = r2 .
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El punto P de la circunferencia se transforma en el
punto P' de la elipse, después de la contracción.
Las coorde-nadas de P' son (x,y) y las de P:
(x,y/l ). El
radio del círculo coincide con a.
En el círculo se tiene: x2+
(y/l
)2 = a2. O bien: x2 +
y2/l
2 = a2
Dividiendo por a2 ambos miembros de la
igualdad anterior:
x2/ a2+ y2/(
a2l
2 )= 1
De donde: x2/ a2+ y2/
(al
)2= 1
Y por último x2/ a2+
y2/ b2= 1.
Por ser (x,y) las coordenadas del punto P' de la elipse
y a, b la mitad de sus ejes mayor y menor, se concluye que la
última ecuación está referida a ésta
y se denomina: ecuación canónica de la
elipse.
Edwards y Penney en la obra Cálculo con
Geometría
Analítica (p.664), proponen una fórmula
para el cálculo
aproximado del perímetro de la elipse:
p »
p (A+R) donde A=(a+b)/2
y R=[
(a2+b2)/2] 1/2
Para ver
el gráfico seleccione la opción "Descargar" del
menú superior
Esta aproximación falla por lo
siguiente:
Si observamos la ilustración a la izquierda
podemos darnos cuenta que cuando a y b tienen valores muy
próximos, la longitud del perímetro tiende a
2p a, es decir
tiende a la circunferencia que origina la elipse; por otra parte,
cuando b se aproxima a cero, el perímetro se aproxima al
valor 4a, por exceso En este sentido, la fórmula citada
cumple la primera condición; mas, no la
segunda.
Se trata de demostrar que lim p (A+R) <> 4a+, por
reducción al absurdo:
Suponemos válida la fórmula p
» p (A+R)
Sustituyendo b por 0 en A y R tendremos: A=a/2 y R=
aÖ
2/2
Luego: lim p
(A+R) =p (
a/2 + aÖ
2/2) = a(p
/2 + p
Ö 2/2). De
donde:
p /2 +
p Ö 2/2 = 4; como 3,15 >
p y 1,42
>Ö 2 se
tendrá que 3,15/2 + 3,15(1,42)/2 > 4 por lo que 3,15+
3,15(1,42) > 8 y 3,15 + 4,473 > 8; por último 7,623
> 8 lo que es absurdo; con lo que queda demostrado lo
enunciado en un principio.
La fórmula que se propone para calcular la
longitud de la elipse Le es:
Le = 4a(p /2) l , que equivale a
Le = 4a(p
/2) b/a
Como podrá observarse:
Lim Le = Lim 4a(p /2) b/a=4a(p /2) a/a
=2p a;
y
Lim Le = Lim 4a(p /2) b/a=4a(p /2) 0/a =
4a.
En la tabla siguiente se presenta el resultado de la
aplicación de las dos fórmulas señaladas,
partiendo de una circunferencia de radio 1 (a). Se ha disminuido
progresivamente el valor de b; el coincide en todos los casos
con l
=b/a.
Para
ver el gráfico seleccione la opción "Descargar" del
menú superior
Obsérvese que a partir de los valores
señalados por la flecha, p (A+B) arroja resultados inferiores a
4.
Si continuamos disminu-yendo el valor de b el resultado
se aproximaría al valor 3,79223780.
La fórmula 4a(p /2) l man-tiene los
resultados por encima del valor 4. Si el valor de b se
continúa disminuyendo el resulta-do se aproximaría
cada vez más a 4.
Sean e y e' dos elipses con semiejes mayor y menor
iguales a a,b y a',b' respectivamente.
Sus áreas serán: Ae= p ab y Ae'= p a'b'; de donde
Ae/ Ae'= ab/a'b' = (a/a')(b/b')
Sus longitudes serán: Le = 2
2-
l p l a y
Le' = 22- l
'p l 'a'; de
donde
Le/ Le' = 22- l
p l a/22-l 'p l
'a'
=22-
l – (2-
l ')p l
– l 'a' =
= (a/a') 2l
'-l p l –
l '
=(a/a')( p
l – l
'/2l – l ') =
=(a/a')( p
/2)l – l '
Decimos que dos elipses, de semiejes a,b y a',b', son
semejantes si a/a'= b/b'. De allí tendremos que a/b =
a'/b', o k=k'. Siendo k y k' los factores de contracción
aplicados a las circunferencias que las originan.
Como b=ak y b'= a'k' se tendrá:
Ae/Ae'= ab/a'b' = a ak/a' a'k'
=(a/a')2
De lo anterior y de a/a'=b/b' se tiene:
Ae/Ae'=(a/a')2=( b/b')2
Y como a y a´, o b y b', son los radios de las
circunferencias que generan las elipses, tendremos
que:
a/a'= b/b'=r/r
De donde:
Ae/Ae'=(r/r')2
De donde concluimos que la razón entre las
áreas de elipses semejantes es igual al cuadrado de la
razón entre los respectivos radios de los círculos
que las generan.
Pero, como cualquiera de las elipses semejantes se puede
obtener a partir de la otra mediante la aplicación de dos
contracciones perpendiculares entre sí, con factor
común l ;
considerando originaria a la de semieje a, se tiene
que:
a/a' = b/b´= 1/l ;
Siendo l
el factor de contracción aplicado a la elipse
originaria.
Luego: Ae/ Ae'= 1/l 2 y Ae' = l 2 Ae.
Por otra parte tenemos: Le/ Le'=(a/a')(
p /2)l –
l
=(a/a')( p
/2) 0 = (a/a'); de donde Ae/ Ae'=( Le/
Le')2 . De donde concluimos
que la razón entre las áreas de dos elipses
semejantes es igual al cuadrado de la razón entre sus
respectivas longitudes.
De Le/ Le'=(a/a') y de a/a' =1/l se tiene Le/ Le'=
1/l
ó l
=Le'/Le y por último:
Ae'= ( Le'/ Le)2 Ae
Por lo que la semejanza en las elipses cumple con las
condiciones estudiadas para la semejanza de las figuras en
general.
Mediante la Contracción del Haz Paralelo Respecto
al Polígono Dado, es posible abordar una serie de
aspectos, en Geometría, en forma rápida y
fácil. Incluso, en el estudio de figuras semejantes, esta
propuesta puede sustituir a la Homotecia, también llamada
Contracción al Punto, debido a que las relaciones de
semejanza son más evidentes. Tal como puede observarse en
el caso de la elipse, también es posible evidenciar otros
aspectos que permanecen ocultos en las figuras cuando se tratan
con métodos, o
procedimientos, tradicionales.
El uso de la Fórmula General del Area del
Polígono (véase Area
del Polígono – Enfoque para el Cálculo, en
monografías.com) facilita el establecimiento de relaciones
entre los polígonos y sus transformados.
A través de la utilización de computadora
y software especializado las presentaciones podrán ser
manipuladas por profesionales y estudiantes, por lo que el aprendizaje de
los contenidos se vería facilitado, se
incrementaría el interés y se abrirían
nuevos caminos en la Geometría.
ARGUNOV, B.I. y Skorniakov L.A.teoremas de
configuración. Lecciones Populares de Matemáticas. MIR, Moscú.
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con introducción a la trigonometría. Cultural
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Por
Gustavo Yanes Yanes
Profesor Titular de Matemática
U.E "Prof. Boris Bossio Vivas"
San Antonio de Los Altos- Edo. Miranda
República Bolivariana de Venezuela.