Cómo hallar el vértice

Hay varias funciones matemáticas que usan vértices. Los poliedros tienen vértices, los sistemas de desigualdades pueden tener un vértice o varios vértices, y las parábolas o ecuaciones cuadráticas también pueden tener un vértice. La forma de hallar el vértice varía dependiendo de la situación, pero aquí está lo que necesitas saber sobre cómo hallar vértices en cada uno de estos escenarios.

Método 1

Método 1 de 5:

Hallar el número de vértices en un poliedro

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Aprende la formula de Euler. La fórmula de Euler, como es usada en referencia a la geometría y los gráficos, establece que para cualquier poliedro que no se interseca consigo mismo, el número de caras más el número de vértices, menos el número de aristas siempre será igual a dos.^{[1]
X
Fuente de investigación}
- Escrita en forma de ecuación, la fórmula es así: C + V - A = 2
  - C es el número de caras
  - V es el número de vértices o esquinas
  - A es el número de aristas
2
Reacomoda la fórmula para hallar el número de vértices. Si conoces cuantas caras y aristas tiene el poliedro, podrás rápidamente calcular el número de vértices utilizando la fórmula de Euler. Resta C de ambos lados de la ecuación y suma A a ambos lados, despejando V a un lado.
- V = 2 - C + A
3
Reemplaza con los números y resuelve. En este punto, todo lo que necesitas hacer es reemplazar el número de caras y aristas en la ecuación antes de sumar y restar normalmente. La respuesta que obtendrás te dará el número de vértices y la respuesta al problema.
- Ejemplo: Para un poliedro que tiene 6 caras y 12 aristas...
  - V = 2 - C + A
  - V = 2 - 6 + 12
  - V = -4 + 12
  - V = 8
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Método 2

Método 2 de 5:

Hallar vértices en un sistema de desigualdades lineales ^{[2]
X
Fuente de investigación}

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1
Grafica las soluciones para el sistema de desigualdades lineales. En algunos casos, graficar las soluciones para todas las desigualdades del sistema puede mostrarte visualmente donde están algunos, sino la totalidad, de los vértices. Sin embargo, cuando esto no resulte, deberás hallar el vértice algebraicamente.
- Si utilizas una calculadora gráfica para graficar las desigualdades, podrás desplazarte por los vértices y encontrar sus coordenadas.
2
Cambia las desigualdades a ecuaciones. Para resolver el sistema de desigualdades, deberás cambiar momentáneamente las desigualdades a ecuaciones, permitiéndote hallar valores para x e y.
- Ejemplo: Para el sistema de desigualdades:
  - y < x
  - y > -x + 4
- Cambia las desigualdades a:
  - y = x
  - y = -x + 4
3
Sustituye una variable por la otra. Hay un par de formas diferentes para hallar el valor de x e y; la sustitución es casi siempre la más fácil de usar. Reemplaza el valor de y de una ecuación a la otra ecuación, "sustituyendo" efectivamente y en la otra ecuación con valores expresados con x.
- Ejemplo: Si:
  - y = x
  - y = -x + 4
- Entonces y = -x + 4 puede escribirse como:
  - x = -x + 4
4
Halla el valor de la primera variable. Ahora que sólo tienen una variable en la ecuación, puedes fácilmente hallar el valor de dicha variable, x, como harías en cualquier otra ecuación: sumando, restando, dividiendo y multiplicando.
- Ejemplo: x = -x + 4
  - x + x = -x + x + 4
  - 2x = 4
  - 2x / 2 = 4 / 2
  - x = 2
5
Halla el valor de la variable restante. Reemplaza el nuevo valor de x en la otra ecuación original para hallar el valor de y.
- Ejemplo: y = x
  - y = 2
6
Determina el vértice. El vértice es simplemente la coordenada conformada por los nuevos valores de x e y.
- Ejemplo: (2, 2)
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Método 3

Método 3 de 5:

Hallar el vértice de una parábola con el eje de simetría

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1
Factoriza la ecuación. Reescribe la ecuación cuadrática en su forma factorizada. Hay varias formas de factorizar una ecuación cuadrática, pero, cuando lo hagas, debes tener dos grupos de paréntesis que, al ser multiplicados, equivalen a la ecuación original.
- Ejemplo: (usando descomposición)
  - 3x2 - 6x - 45
  - Extrae el factor común: 3 (x2 - 2x - 15)
  - Multiplica los términos a y c: 1 * -15 = -15
  - Encuentra dos números con un producto equivalente a -15 y una suma equivalente al valor b, -2: 3 * -5 = -15; 3 - 5 = -2
  - Sustituye ambos valores en la ecuación ax2 + kx + hx + c: 3(x2 + 3x - 5x - 15)
  - Factoriza el polinomio agrupando: f(x) = 3 * (x + 3) * (x - 5)
2
Encuentra el punto en el cual la ecuación cruza el eje x.^{[3]
X
Fuente de investigación} Cuando la función de x, f(x), equivale a 0, la parábola cruzará el eje x. Esto ocurrirá cuando cualquier grupo de factores sea equivalente a 0.
- Ejemplo: 3 * (x + 3) * (x - 5) = 0
  - х +3 = 0
  - х - 5 = 0
  - х = -3 ; х = 5
  - Por lo tanto, las raíces son: (-3, 0) and (5, 0)
3
Calcula el punto intermedio. El eje de simetría para la ecuación estará en medio de las dos raíces de la ecuación. Necesitarás conocer el eje de simetría puesto que el vértice se encuentra en él.
- Ejemplo: x = 1; este valor está directamente entre -3 and 5
4
Reemplaza el valor de x en la ecuación original. Reemplaza el valor de x del eje de simetría en la ecuación de la parábola. El valor de y será el valor de y en el vértice.
- Ejemplo: y = 3x2 - 6x - 45 = 3(1)2 - 6(1) - 45 = -48
5
Escribe el punto donde se encuentra el vértice. En este punto, habrás calculado los valores de x e y, los cuales te darán las coordenadas del vértice.
- Ejemplo: (1, -48)
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Método 4

Método 4 de 5:

Hallar el vértice de una parábola completando el cuadrado

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1
Reescribe la ecuación original en su forma vértice.^{[4]
X
Fuente de investigación} La forma "vértice" de una ecuación se escribe y = a(x - h)^2 + k, donde la ubicación del vértice es (h, k). Deberás escribir la ecuación cuadrática en esta forma y, para hacerlo, necesitarás completar el cuadrado.
- Ejemplo: y = -x^2 - 8x - 15
2
Despeja el valor de a. Extrae el coeficiente del primer término, a, de los dos primeros términos de la ecuación. Por ahora, deja el último término c solo.
- Ejemplo: -1 (x^2 + 8x) - 15
3
Encuentra el término para el paréntesis. El tercer término debe completar el conjunto en el paréntesis, de modo que los valores en el paréntesis formen un cuadrado perfecto. Este nuevo término se obtiene elevando al cuadrado el valor de la mitad del coeficiente del término de en medio.
- Ejemplo: 8 / 2 = 4; 4 * 4 = 16; por lo tanto,
  - -1(x^2 + 8x + 16)
  - Ten presente que lo que hagas dentro también deberás hacerlo afuera:
  - y = -1(x^2 + 8x + 16) - 15 + 16
4
Simplifica la ecuación. Dado que los paréntesis ahora forman un cuadrado perfecto, puedes simplificar la parte parentética a su forma factorizada. Simultáneamente, puedes hacer cualquier suma o resta que se necesite para los valores fuera de los paréntesis.
- Ejemplo: y = -1(x + 4)^2 + 1
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Encuentra las coordinadas en la ecuación en forma vértice. Recuerda que la forma vértices de una ecuación es y = a(x - h)^2 + k, donde (h, k) son las coordinadas del vértice. Ahora tienes suficiente información para reemplazar los valores de h y k, y así resolver el problema.
- k = 1
- h = -4
- Por lo tanto, el vértice de esta ecuación se encuentra en: (-4, 1)
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Método 5

Método 5 de 5:

Hallar el vértice de una parábola con una fórmula sencilla

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Halla directamente la coordenada x del vértice. Cuando la ecuación de tu parábola pueda ser escrita como y = ax^2 + bx + c, la x del vértice puede hallarse usando la fórmula x = -b / 2a. Simplemente reemplaza los valores de a y b de tu ecuación en esta fórmula para hallar x.
- Ejemplo: y = -x^2 - 8x - 15
- x = -b / 2a = -(-8)/(2*(-1)) = 8/(-2) = -4
- x = -4
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Reemplaza este valor en la ecuación original. Al reemplazando el valor de x en la ecuación, podrás hallar y. Este valor de y sera la coordinada y del vértice.
- Ejemplo: y = -x^2 - 8x - 15 = -(-4)^2 - 8(-4) - 15 = -(16) - (-32) - 15 = -16 + 32 - 15 = 1
  - y = 1
3
Escribe las coordenadas del vértice. Los valores de x e y que obtuviste son las coordenadas del vértice.
- Ejemplo: (-4, 1)
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