Cómo calcular el área de un triángulo

Coescrito por David Jia

La forma más común para hallar el área de un triángulo es multiplicando la mitad de la base por la altura. Sin embargo, existen muchas otras fórmulas para hallar el área de un triángulo, dependiendo de la información que tengas. Es posible calcular el área sin saber la altura con solo utilizar la información sobre los lados y ángulos del triángulo.

Método 1

Método 1 de 4:

Utilizar la base y la altura

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Encuentra la base y la altura del triángulo. La base es un lado del triángulo. La altura es la medida del punto más alto de un triángulo y la podrás encontrar al trazar una línea perpendicular desde la base hasta el vértice opuesto. Esta información te la deben dar o debes poder medir las longitudes.
- Por ejemplo, podrías tener un triángulo con una base de 5 cm y una altura de 3 cm.
La fórmula es ${\text{Área}}={\frac {1}{2}}(bh)$ , en donde $b$ es la longitud de la base del triángulo y $h$ es la altura del triángulo.^{[1]
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Fuente de investigación}
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Asígnale un valor a la base y altura en la fórmula. Primero multiplica los dos valores y luego el producto que obtengas multiplícalo por ${\frac {1}{2}}$ ${\frac {1}{2}}$ . Así obtendrás el área del triángulo en unidades cuadradas.
- Por ejemplo, si la base del triángulo es 5 cm y la altura es 3 cm, calcularías:
  ${\text{Área}}={\frac {1}{2}}(bh)$
  ${\text{Área}}={\frac {1}{2}}(5)(3)$
  ${\text{Área}}={\frac {1}{2}}(15)$
  ${\text{Área}}=7,5$
  Por lo tanto, el área de un triángulo que tiene una base de 5 cm y una altura de 3 cm es 7,5 centímetros cuadrados.
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Halla el área de un triángulo rectángulo. Dado que dos lados de un triángulo rectángulo son perpendiculares, uno de tales lados será la altura del triángulo y el otro será la base. Por lo tanto, incluso si no te indican la altura o la base ya te las estarán dando si conoces las longitudes de los lados. De este modo, podrás utilizar la fórmula ${\text{Área}}={\frac {1}{2}}(bh)$ ${\text{Área}}={\frac {1}{2}}(bh)$ para hallar el área.
- También puedes utilizar esta fórmula si conoces la longitud de un lado, además de la longitud de la hipotenusa. La hipotenusa es el lado más largo de un triángulo rectángulo y es opuesto al ángulo recto. Recuerda que puedes encontrar la longitud del lado que te falta de un triángulo rectángulo usando el teorema de Pitágoras: ( $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ ).
- Por ejemplo, si la hipotenusa de un triángulo es c, la altura y la base serían los otros dos lados (a y b). Si sabes que la hipotenusa es 5 cm y que la base es 4 cm, utiliza el teorema de Pitágoras para encontrar la altura:
  $a^{2}+b^{2}=c^{2}$
  $a^{2}+4^{2}=5^{2}$
  $a^{2}+16=25$
  $a^{2}+16-16=25-16$
  $a^{2}=9$
  $a=3$
  Ahora ya conocerás el valor de los dos lados perpendiculares (a y b) para la fórmula del área y así reemplazar por la base y altura:
  ${\text{Área}}={\frac {1}{2}}(bh)$
  ${\text{Área}}={\frac {1}{2}}(4)(3)$
  ${\text{Área}}={\frac {1}{2}}(12)$
  ${\text{Área}}=6$
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Método 2

Método 2 de 4:

Utilizar la longitud de los lados

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Calcula el semiperímetro del triángulo. El semiperímetro de una figura es igual a la mitad de su perímetro. Para encontrar el semiperímetro, primero calcula el perímetro de un triángulo al sumar las longitudes de sus tres lados y luego multiplicar por ${\frac {1}{2}}$ ${\frac {1}{2}}$ .^{[2]
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Fuente de investigación}
- Por ejemplo, si un triángulo tiene tres lados que miden 5, 4 y 3 cm, el semiperímetro se obtendría así:
  $s={\frac {1}{2}}(3+4+5)$
  $s={\frac {1}{2}}(12)=6$
La fórmula es ${\text{Área}}={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$ , en donde $s$ es el perímetro del triángulo y $a$ , $b$ y $c$ son las longitudes de los lados del triángulo.^{[3]
X
Fuente de investigación}
3
Asígnale un valor al semiperímetro y a las longitudes de los lados en la fórmula. Asegúrate de reemplazar cada $s$ $s$ por el semiperímetro en la fórmula.
- Por ejemplo:
  ${\text{Área}}={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$
  ${\text{Área}}={\sqrt {6(6-3)(6-4)(6-5)}}$
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Calcula los valores entre paréntesis. Resta la longitud de cada lado al semiperímetro. Luego, multiplica los tres valores que obtengas.
- Por ejemplo:
  ${\text{Área}}={\sqrt {6(6-3)(6-4)(6-5)}}$
  ${\text{Área}}={\sqrt {6(3)(2)(1)}}$
  ${\text{Área}}={\sqrt {6(6)}}$
5
Multiplica los dos valores que hay dentro del signo de raíz. Luego, encuentra la raíz cuadrada. Así obtendrás el área del triángulo en unidades cuadradas.
- Por ejemplo:
  ${\text{Área}}={\sqrt {6(6)}}$
  ${\text{Área}}={\sqrt {36}}$
  ${\text{Área}}=6$
  Por lo tanto, el área del triángulo es 6 centímetros cuadrados.
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Método 3

Método 3 de 4:

Utilizar un lado de un triángulo equilátero

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Encuentra la longitud de un lado del triángulo. Un triángulo equilátero tiene tres lados iguales y tres ángulos de igual medida; por lo tanto, si conoces la longitud de un lado, sabrás la longitud de los tres lados.^{[4]
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Fuente de investigación}
- Por ejemplo, podrías tener un triángulo con tres lados de 6 cm.
La fórmula es ${\text{Área}}=(s^{2}){\frac {\sqrt {3}}{4}}$ , en donde $s$ es igual a la longitud de un lado del triángulo equilátero.^{[5]
X
Fuente de investigación}
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Asígnale un valor a la longitud del lado en la fórmula. Asegúrate de reemplazar la variable $s$ $s$ y luego eleva el valor al cuadrado.
- Por ejemplo, si el triángulo equilátero tiene lados de 6 cm, calcularías:
  ${\text{Área}}=(s^{2}){\frac {\sqrt {3}}{4}}$
  ${\text{Área}}=(6^{2}){\frac {\sqrt {3}}{4}}$
  ${\text{Área}}=(36){\frac {\sqrt {3}}{4}}$
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Multiplica el valor al cuadrado por ${\sqrt {3}}$ . Es mejor utilizar la función raíz cuadrada en tu calculadora para que obtengas una respuesta más precisa. De lo contrario, puedes utilizar 1,732 como valor redondeado de ${\sqrt {3}}$ ${\sqrt {3}}$ .
- Por ejemplo:
  ${\text{Área}}=(36){\frac {\sqrt {3}}{4}}$
  ${\text{Área}}={\frac {62352}{4}}$
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Divide el producto entre 4. Así obtendrás el área del triángulo en unidades cuadradas.
- Por ejemplo:
  ${\text{Área}}={\frac {62352}{4}}$
  ${\text{Área}}=15588$
  Por lo tanto, el área de un triángulo equilátero cuyos lados miden 6 cm es 15,59 centímetros cuadrados.
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Método 4

Método 4 de 4:

Utilizar trigonometría

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Encuentra la longitud de dos lados adyacentes y del ángulo incluido. Los lados adyacentes son dos lados del triángulo que se juntan en un vértice.^{[6]
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Fuente de investigación} El ángulo incluido es el ángulo entre estos dos lados.
- Por ejemplo, podrías tener un triángulo con dos lados adyacentes que miden 150 cm y 231 cm. El ángulo entre ellos será de 123 grados.
Escribe la fórmula trigonométrica para el área de un triángulo. La fórmula es ${\text{Área}}={\frac {bc}{2}}\operatorname {sen} A$ , en donde $b$ y $c$ son los lados adyacentes del triángulo y $A$ es el ángulo entre ellos.^{[7]
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Fuente de investigación}
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Dale valor a las longitudes de los lados en la fórmula. Asegúrate de reemplazar las variables $b$ $b$ y $c$ $c$ . Multiplica sus valores y luego divide entre 2.
- Por ejemplo:
  ${\text{Área}}={\frac {bc}{2}}\operatorname {sen} A$
  ${\text{Área}}={\frac {(150)(231)}{2}}\operatorname {sen} A$
  ${\text{Área}}={\frac {(34650)}{2}}\operatorname {sen} A$
  ${\text{Área}}=17325\operatorname {sen} A$
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Dale un valor al seno del ángulo en la fórmula. Puedes encontrar el seno usando una calculadora científica al escribir la medida del ángulo y luego pulsar el botón “SEN”.
- Por ejemplo, el seno de un ángulo de 123 grados es 0,83867; por lo tanto, la fórmula se verá así:
  ${\text{Área}}=17325\operatorname {sen} A$
  ${\text{Área}}=17325(0,83867)$
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Multiplica los dos valores. Así obtendrás el área del triángulo en unidades cuadradas.
- Por ejemplo:
  ${\text{Área}}=17325(0,83867)$
  ${\text{Área}}=14529,96$ .
  Por lo tanto, el área del triángulo será 14 530 centímetros cuadrados.
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Consejos

Aquí una explicación rápida si no estás muy seguro de por qué la fórmula de base y altura funciona de esta manera. Si haces un segundo triángulo idéntico y juntas las dos copias, se formará un rectángulo (dos triángulos rectángulos) o un paralelogramo (dos triángulos no rectángulos). Para hallar el área de un rectángulo o paralelogramo, simplemente se multiplica la base por la altura. Dado que un triángulo es la mitad de un rectángulo o de un paralelogramo, entonces deberás encontrar la mitad de la base por la altura.

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