Resolviendo problemas de porcentajes
Objetivos de aprendizaje
· Identificar la cantidad, la base, y el porcentaje en problemas de porcentajes.
· Encontrar el porcentaje desconocido de un problema.
Introducción
Los porcentajes son la razón de un número con 100. Son más fáciles de comparar que las fracciones, puesto que siempre tienen el mismo denominador, 100. Una tienda puede ofrecer el 10% de descuento. Lo que ahorras es siempre una porción o fracción del precio, pero un precio más alto significa un descuento más grande. Las tasas de interés de una cuenta de ahorros funcionan de la misma manera. Entre más dinero guardes en tu cuenta, más dinero obtendrás de interés. Es útil entender cómo se calculan estos porcentajes.
Jeff tiene un cupón para una tienda de guitarras por 15% de descuento en cualquier compra mayor de $100. Quiere comprar una guitarra usada que tienen un precio de $330. Jeff se pregunta cuánto dinero le ahorrará el cupón del precio $220.
Los problemas de porcentajes trabajan con tres cantidades: el porcentaje, la cantidad, y la base.
Los porcentajes tienen el símbolo de porcentaje (%) o la palabra “porcentaje.” En el problema anterior, 15% es el porcentaje de descuento sobre el precio.
La base es la cantidad total. En el problema anterior, el precio total de la guitarra es de $220, que es la base.
La cantidad es el número que se relaciona con el porcentaje. Siempre es parte del total. En el problema anterior, la cantidad es desconocida. Como el porcentaje es porcentaje de descuento, la cantidad será la cantidad de descuento del precio.
Regresaremos al problema un poco más tarde. Los siguientes ejemplos muestran cómo identificar las tres partes, el porcentaje, la base, y la cantidad.
Ejemplo | |
Problema | Identifica el porcentaje, la cantidad y la base de éste problema. ¿30 es el 20% de qué número? |
| Porcentaje: El porcentaje es el número con el símbolo %: 20%. |
| Base: La base es la cantidad total, que en éste caso es desconocida. |
| Cantidad: La cantidad basada en el porcentaje es 30. |
Respuesta | Porcentaje = 20% Cantidad = 30 Base = desconocida |
El problema anterior dice que 30 es una porción de otro número. Eso significa que 30 es la cantidad.
Identifica el porcentaje, la cantidad y la base de éste problema:
¿Qué porcentaje de 30 es 3?
|
Los problemas de porcentajes se pueden resolver escribiendo ecuaciones. Una ecuación utiliza el signo igual (=) para mostrar que dos expresiones matemáticas tienen el mismo valor.
Los porcentajes so fracciones, y al igual que las fracciones, cuando encontramos un porcentaje (o fracción, o porción) de otra cantidad, multiplicas.
El porcentaje de la base es la cantidad.
El porcentaje de la Base es la Cantidad.
Porcentaje · Base = Cantidad
En los ejemplos siguientes, el valor desconocido es representado con la letra n. El valor desconocido se puede representar con cualquier letra, o con una caja o con un signo de interrogación.
Ejemplo | ||
Problema | Escribe una ecuación que represente el siguiente problema. ¿30 es el 20% de qué número? | |
| ¿20% de qué número es 30? | Reescribe el problema de la forma “porcentaje de la base es la cantidad.” |
| El porcentaje es: 20% La base es: desconocida La cantidad es: 30 | Identifica el porcentaje, la base, y la cantidad. |
| Porcentaje · Base = Cantidad 20% · n = 30 | Escribe la ecuación de porcentaje usando n como la base, que es la cantidad desconocida. |
Respuesta | 20% · n = 30. |
|
Una vez que tienes la ecuación, puedes resolverla y encontrar el valor desconocido. Para hacer esto, piensa en la relación entre multiplicar y dividir. Observa los siguientes pares de multiplicación y división, y busca un patrón en cada fila.
Multiplicación | División |
2 · 3 = 6 | 6 ÷ 2 = 3 |
8 · 5 = 40 | 40 ÷ 8 = 5 |
7 · 4 = 28 | 28 ÷ 7 = 4 |
6 · 9 = 54 | 54 ÷ 6 = 9 |
La multiplicación y la división son operaciones inversas. Lo que una hace, la otra lo “deshace.”
Cuando tienes una ecuación como 20% · n = 30, puedes dividir 30 entre 20% para encontrar lo desconocido: n = 30 ÷ 20%.
Puedes resolver esto escribiendo el porcentaje como un decimal o una fracción y luego dividir.
n = 30 ÷ 20% = 30 ÷ 0.20 = 150
Ejemplo | ||
Problema | ¿Qué porcentaje de 72 es 9? | |
| Porcentaje: desconocido Base: 72 Cantidad: 9 | Identifica el porcentaje, la base, y la cantidad. |
| n · 72 = 9 | Escribe la ecuación de porcentaje: Porcentaje · Base = Cantidad. Usa n para el valor desconocido (porcentaje). |
| n = 9 ÷ 72 | Divide para deshacer la multiplicación de n veces 72. |
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| Divide 9 entre 72 para encontrar el valor de n, el valor desconocido. |
| n = 0.125
n = 12.5% | Recorre el punto decimal dos espacios a la derecha para escribir el decimal como un porcentaje. |
Respuesta | 12.5% de 72 es 9. |
|
Puedes estimar para saber si la respuesta es razonable. Usa 10% y 20%, que son números cercanos a 12.5%, para ver si te llevan cerca de la respuesta.
10% de 72 = 0.1 · 72 = 7.2
20% de 72 = 0.2 · 72 = 14.4
Observa que 9 está entre 7.2 y 14.4, entonces 12.5% es razonable ya que está entre 10% y 20%.
Ejemplo | ||
Problema | ¿Cuál es el 110% de 24? | |
| Porcentaje: 110% Base: 24 Cantidad: desconocida | Identifica el porcentaje, la base, y la cantidad. |
| 110% · 24 = n | Escribe la ecuación de porcentaje: Porcentaje · Base = Cantidad. Usa n para el valor desconocido (porcentaje). |
| 1.10 · 24 = n
1.10 · 24 = 26.4 = n | Escribe el porcentaje como un decimal recorriendo el punto decimal dos lugares a la izquierda.
Multiplica 24 por 1.10 o 1.1. |
Respuesta | 26.4 es 110% de 24. |
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Este problema es un poco más fácil de estimar. 100% de 24 es 24. Y 110% es un poco más que 24. Entonces, 26.4 es una respuesta razonable.
¿18 es qué porcentaje de 48?
A) 0.375% B) 8.64% C) 37.5% D) 864%
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Usando proporciones para resolver problemas de porcentajes
Los problemas de porcentaje también se pueden resolver escribiendo una proporción. Una proporción es una ecuación que iguala dos razones o fracciones. Con problemas de porcentaje, una de las razones es el porcentaje, escrito como . La otra razón es la cantidad con la base.
Porcentaje =
Ejemplo | ||
Problema | Escribe una proporción para encontrar la solución a la siguiente pregunta. ¿30 es el 20% de qué número? | |
| = | El porcentaje en éste problema es 20%. Escribe el porcentaje en forma fraccional, con 100 como denominador. |
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| El porcentaje se escribe como la razón , la cantidad es 30, y la base es desconocida. |
|
20 • n = 30 • 100 20 • n = 3,000 n = 3,000 ÷ 20 n = 150 | Encuentra el producto cruzado y resuelve el valor desconocido, n, dividiendo 3,000 entre 20. |
Respuesta | 30 es 20% de 150. |
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Ejemplo | ||
Problema | ¿Qué porcentaje de 72 es 9? | |
| Porcentaje = |
|
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| El porcentaje es la razón de n a 100. La cantidad es 9, y la base es 72. |
| n • 72 = 9 • 100 n • 72 = 900 n = 900 ÷ 72 n = 12.5 | Encuentra el producto cruzado y resuelve n dividiendo 900 entre 72.
|
Respuesta |
12.5% de 72 es 9. | El porcentaje es = 12.5%. |
Ejemplo | ||
Problema | ¿Cuál es el 110% de 24? | |
| Porcentaje = |
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| El porcentaje es la razón . La cantidad es desconocida, y la base es 24. |
| 24 • 110 = 100 • n 2,640 ÷ 100= n 26.4 = n | Encuentra el producto cruzado y resuelve n dividiendo 2,640 entre 100. |
Respuesta | 26.4 es 110% de 24. |
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¿18 es el 125% de qué número?
A) 0.144 B) 14.4 C) 22.5 D) (o más o menos 694.4)
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Volvamos al problema que examinamos al principio. Ahora puedes resolverlo como se muestra en el siguiente ejemplo.
Ejemplo | ||
Problema | Jeff tiene un cupón para una tienda de guitarras por 15% de descuento en cualquier compra mayor de $100. Quiere comprar una guitarra usada que tienen un precio de $330. Jeff se pregunta cuánto dinero le ahorrará el cupón del precio $220. | |
| ¿Cuánto es el 15% de $220? | Simplifica el problema eliminando palabras extra. |
| Porcentaje: 15% Base: 220 Cantidad: n | Identifica el porcentaje, la base, y la cantidad. |
| 15% · 220 = n | Escribe la ecuación del porcentaje. Porcentaje · Base = Cantidad |
| 0.15 · 220 = 33 | Convierte 15% a 0.15, luego multiplica por 220. 15 % de $220 es $33. |
Respuesta | El cupón le va a descontar $33 del precio original. |
Puedes estimar y ver si la respuesta es razonable. Como 15% está a la mitad de 10% y 20%, encuentra esos números.
10% de 220 = 0.1 · 220 = 22
20% de 220 = 0.2 · 220 = 44
La respuesta, 33, está entre 22 y 44. Por lo que $33 parece razonable.
Existen muchas otras situaciones que tratan con porcentajes. A continuación se muestran algunas.
Ejemplo | ||
Problema | Evelyn compró algunos libros en la librería local. La cuenta total fue de $31.50, que incluye el 5% de impuesto. ¿Cuánto costaron los libros antes de impuestos? | |
| ¿Qué número + 5% de dicho número es $31.50?
¿105% de qué número es = 31.50? | En éste problema, sabes que el impuesto de 5% se añade al costo de los libros. Entonces si el costo de los libros es 100%, el costo más el impuesto es 105%. |
| Porcentaje: 105% Base: n Cantidad: 31.50 | Identifica el porcentaje, la base, y la cantidad. |
| 105% · n = 31.50 | Escribe la ecuación del porcentaje. Porcentaje · Base = Cantidad |
| 1.05 · n = 31.50 | Convierte 105% a decimales. |
| n = 3.50 ÷ 1.05 = 30 | Divide para deshacer la multiplicación n veces 1.05. |
Respuesta | Los libros costaron $30 antes de impuestos. |
Ejemplo | ||
Problema | Susana trabajó 20 horas la semana pasada. Ésta semana, trabajó 35 horas. En términos de porcentaje, ¿cuánto trabajó de más ésta semana con respecto a la semana pasada? | |
| ¿35 es qué porcentaje de 20? | Simplifica el problema eliminando palabras extra. |
| Porcentaje: n Base: 20 Cantidad: 35 | Identifica el porcentaje, la base, y la cantidad. |
| n · 20 = 35 | Escribe la ecuación del porcentaje. Porcentaje · Base = Cantidad |
| n = 35 ÷ 20 | Divide para deshacer la multiplicación n veces 20. |
| n = 1.75 = 175% | Convierte 1.75 a porcentaje |
Respuesta | Como 35 es 175% de 20, Susana trabajó 75% más ésta semana que la semana pasada. (Puedes pensar en esto como que “Susana trabajó 100% de las horas que trabajó la semana pasada, y además 75% extra.”) |
Sumario
Los problemas de porcentajes tienen tres partes: el porcentaje, la base (el total), y la cantidad. Cualquiera de estas partes podría ser un valor desconocido que hay que encontrar. Para resolver problemas de porcentajes, puedes usar la ecuación, Porcentaje · Base = Cantidad, y resolver los valores desconocidos. O, puedes establecer una proporción, Porcentaje = , donde el porcentaje es la razón de un número y 100. Luego puedes usar el producto cruzado para resolver la proporción.