Cómo calcular el área de un círculo

Coescrito por Grace Imson, MA

Un problema común en las clases de geometría es tener que calcular el área de un círculo con base en la información de la que dispones. En primer lugar, necesitarás conocer la fórmula para hallar el área del círculo, $A=\pi r^{2}$ . Esta fórmula es sencilla y solo necesita el radio para encontrar el área; sin embargo, también será necesario que practiques la conversión de algunos otros datos proporcionados de modo tal que puedan ayudarte a utilizar esta fórmula.

Método 1

Método 1 de 4:

Calcular el área utilizando el radio

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Identifica el radio de un círculo. El radio es la distancia desde el centro de un círculo hasta su borde. No importa desde qué dirección lo midas, seguirá siendo el mismo. El radio también equivale a la mitad del diámetro de un círculo, el cual es el segmento de línea que atraviesa el centro y conecta los lados opuestos.^{[1]
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Fuente de investigación}
- Por lo general, el problema ya te indicará la medida del radio. Puede ser difícil realizar la medición hasta el centro exacto de un círculo, a menos que ya lo hayas marcado en el papel.
- En este ejemplo, supondremos que el radio de un determinado círculo mide 6 cm.
2
Eleva el radio al cuadrado. La fórmula para hallar el área de un círculo es $A=\pi r^{2}$ $A=\pi r^{2}$ , donde la variable $r$ $r$ representa el radio. Esta variable estará elevada al cuadrado.^{[2]
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Fuente de investigación}
- No te confundas y eleves al cuadrado toda la ecuación.
- En este ejemplo, el radio del círculo es $r=6$ ; por lo tanto, $r^{2}=36$ .
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Multiplica por pi. Pi, escrita simbólicamente con la letra griega $\pi$ $\pi$ , es una constante matemática que representa la proporción entre el radio y el área del círculo. Como aproximación decimal, $\pi$ $\pi$ mide alrededor de 3,14. El verdadero valor decimal sigue hasta el infinito. Si quieres dar el valor exacto del área de un círculo, generalmente deberás dar tu respuesta utilizando el símbolo $\pi$ $\pi$ itself.^{[3]
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Fuente de investigación}
- En el ejemplo con el radio de 6 cm, el área se calculará de la siguiente manera:
  - $A=\pi r^{2}$
  - $A=\pi 6^{2}$
  - $A=36\pi$ o $A=36(3,14)=113,04$
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Da el resultado. Recuerda que el área debe expresarse en unidades “cuadradas”. Si mediste el radio en centímetros, el área será centímetros cuadrados y, si lo mediste en pies, el resultado será pies cuadrados. También determina si expresarás la respuesta utilizando el símbolo $\pi$ $\pi$ o su aproximación numérica. Si no sabes cuál respuesta dar, indica ambas.^{[4]
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Fuente de investigación}
- En el ejemplo con el círculo cuyo radio mide 6 cm, el área será 36 $\pi$ cm² o 113,04 cm².
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Método 2

Método 2 de 4:

Calcular el área a partir del diámetro

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Mide o registra el diámetro. Algunos problemas o situaciones no te indicarán el radio, sino más bien el diámetro de un círculo. Si está señalado en el diagrama, puedes utilizar una regla para medirlo. En última instancia, el problema podría proporcionarte directamente el valor del diámetro.
- Supongamos que, en este ejemplo, el diámetro del círculo mide 20 cm.
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Divide el diámetro a la mitad. Recuerda que el diámetro equivale al doble del radio. Por lo tanto, si el problema te indica el diámetro, corta dicho valor a la mitad para así obtener el radio.
- En este ejemplo, el círculo tiene un diámetro de 20 cm, lo que significa que su radio mide 20/2 o 10 cm.
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Utiliza la fórmula original del área. Después de convertir el diámetro en el radio, podrás utilizar la fórmula $A=\pi r^{2}$ $A=\pi r^{2}$ para calcular el área del círculo. Introduce el valor del radio y realiza los demás cálculos de la siguiente manera:
- $A=\pi r^{2}$
- $A=\pi 10^{2}$
- $A=100\pi$
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Da el resultado. Recuerda que el área debe expresarse en unidades cuadradas. En este ejemplo, como el diámetro está en centímetros, el radio también lo estará. Por consiguiente, el área deberá expresarse en centímetros cuadrados, lo que hace que el área del círculo sea de $100\pi$ $100\pi$ centímetros cuadrados.
- También puedes dar como respuesta la aproximación numérica al multiplicar el resultado por 3,14 en lugar de usar el símbolo $\pi$ . Esto dará como respuesta (100)(3,14) = 314 centímetros cuadrados.
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Método 3

Método 3 de 4:

Calcular el área a partir de la circunferencia

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Aprende la fórmula revisada. Si conoces la circunferencia de un círculo, puedes utilizar la fórmula revisada para hallar el área. Esta fórmula utiliza directamente la circunferencia en lugar del radio. Esta nueva fórmula es la siguiente:
- $A={\frac {C^{2}}{4\pi }}$
2
Mide o registra la circunferencia. En algunas situaciones reales, quizás no puedas medir con precisión el diámetro o el radio. Si en el problema no está dibujado el diámetro ni se identifica el centro, probablemente sea difícil determinar el centro de un círculo. En algunos círculos físicos (p.ej.: una bandeja para pizza o una sartén), puedes utilizar una cinta métrica para medir la circunferencia de una manera más precisa de lo que puedes medir el diámetro.^{[5]
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Fuente de investigación}
- En este ejemplo, supongamos que te han proporcionado o has medido la circunferencia de un círculo (o un objeto circular), la cual es 42 cm.
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Utiliza la relación que hay entre la circunferencia y el radio para revisar la fórmula. La circunferencia de un círculo es igual a pi por el diámetro. Puedes escribir esto de la siguiente manera: $C=\pi d$ $C=\pi d$ . Ahora, recuerda que el diámetro es igual al doble del radio, es decir, $d=2r$ $d=2r$ . Puedes combinar estas dos igualdades para crear la siguiente relación: $C=\pi 2r$ $C=\pi 2r$ . Reorganiza esta fórmula para aislar la variable $r$ $r$ by itself, de la siguiente manera:^{[6]
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Fuente de investigación}
- $C=\pi 2r$
- ${\frac {C}{2\pi }}=r$ ….. (divide ambos lados entre 2 $\pi$ )
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Reemplaza las variables en la fórmula para hallar el área de un círculo. Puedes crear una versión modificada de la fórmula para hallar el área de un círculo utiliza esta relación entre la circunferencia y el radio. Reemplaza esta última igualdad en la fórmula original para hallar el área de la siguiente manera:^{[7]
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Fuente de investigación}
- $A=\pi r^{2}$ …..(fórmula del área original)
- $A=\pi ({\frac {C}{2\pi }})^{2}$ ….. (reemplaza la igualdad por r)
- $A=\pi ({\frac {C^{2}}{4\pi ^{2}}})$ …..(eleva la fracción al cuadrado)
- $A={\frac {C^{2}}{4\pi }}$ …..(cancela $\pi$ en el numerador y denominador)
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Utiliza la fórmula revisada para hallar el área. Con esta fórmula revisada que utiliza la circunferencia en lugar del radio, podrás utilizar la información que tienes para hallar directamente el área. Introduce el valor de la circunferencia y realiza los cálculos de la siguiente manera:^{[8]
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Fuente de investigación}
- En este ejemplo, se sabe que $C=42$ cm.
- $A={\frac {C^{2}}{4\pi }}$
- $A={\frac {42^{2}}{4\pi }}$ …..(introduce el valor)
- $A={\frac {1764}{4\pi }}$ .….(calcula 42²)
- $A={\frac {441}{\pi }}$ …..(divide entre 4)
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Da el resultado. A menos que el problema te indique que la circunferencia es un múltiplo de $\pi$ $\pi$ , el resultado probablemente sea una fracción con $\pi$ $\pi$ en el denominador, algo que no es incorrecto. Deberás dar el cálculo del área utilizando ese símbolo o podrías dar una aproximación al dividir el resultado entre 3,14.^{[9]
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Fuente de investigación}
- En este ejemplo, como la circunferencia mide 42 cm, el área será ${\frac {441}{\pi }}$ centímetros cuadrados.
- Si aproximas, ${\frac {441}{\pi }}={\frac {441}{3.14}}=140,4$ . El área medirá aproximadamente 140 centímetros cuadrados.
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Método 4

Método 4 de 4:

Hallar el área a partir de un sector del círculo

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En algunos problemas, podrían darte el valor de un sector del círculo y luego pedirte que halles el área de todo el círculo. Lee el problema con detenimiento y busca información similar a “Un sector del círculo O tiene un área de 15 $\pi$ cm². Halla el área del círculo O”.^{[10]
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Fuente de investigación}
Un sector de un círculo es una parte que, en ocasiones, se conoce también como una “poción”. Para definir un sector, se dibuja dos radios que parten desde el centro del círculo hasta el borde. El espacio entre ellos se denomina sector.^{[11]
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Fuente de investigación}
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Mide el ángulo central del sector. Utiliza un transportador para medir el ángulo central que forman ambos radios. Fija la base del transportador a lo largo de uno de los radios, alineando el punto central de este con el centro del círculo. Luego, lee la medida del ángulo que corresponda con la posición del segundo radio que forma el sector.^{[12]
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Fuente de investigación}
- Asegúrate de determinar si vas a medir el ángulo pequeño entre ambos radios o el más grande fuera de ellos. El problema debe indicártelo. La suma del ángulo pequeño y el grande será de 360 grados.
- En algunos problemas, en lugar de tener que medir el ángulo central, el problema simplemente puede indicarte dicha medida. Por ejemplo, podría decir lo siguiente: “El ángulo central del sector es de 45 grados” o, de lo contrario, probablemente debas medirlo por tu cuenta.
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Utiliza una fórmula modificada para hallar el área. Si conoces el área de un sector y la medida de su ángulo central, podrás utilizar la siguiente fórmula modificada para hallar el área del círculo:^{[13]
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Fuente de investigación}
- $A_{cir}=A_{sec}{\frac {360}{C}}$ $A_{{cir}}=A_{{sec}}{\frac {360}{C}}$
  - $A_{cir}$ es el área de todo el círculo
  - $A_{sec}$ es el área del sector
  - $C$ es la medida del ángulo central
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Ingresa los valores que conoces y halla el área. En este ejemplo, se te indicó que el ángulo central es de 45 grados y que el sector tiene un área de 15 $\pi$ $\pi$ . A continuación, ingresa estos valores en la fórmula y resuelve de la siguiente manera:^{[14]
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Fuente de investigación}
- $A_{cir}=A_{sec}{\frac {360}{C}}$
- $A_{cir}=15\pi {\frac {360}{45}}$
- $A_{cir}=15\pi (8)$
- $A_{cir}=120\pi$
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Da el resultado. En este ejemplo, el sector representa un octavo del círculo total. Por lo tanto, el área de todo el círculo mide 120 $\pi$ $\pi$ cm². Como el problema proporciona el área del sector utilizando el símbolo $\pi$ $\pi$ , puedes asumir que debes dar el área total del círculo utilizando el mismo símbolo.^{[15]
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Fuente de investigación}
- Si quieres dar un valor numérico, puedes multiplicar 120 x 3,14 para obtener un valor de 376,8 cm².
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