Ejemplos resueltos

Pirámide es un poliedro cuya base es un polígono cualquiera y cuyas caras laterales son triángulos con un vértice común llamado vértice de la pirámide.

Recordemos  los elementos de una pirámide

Para calcular el área total de una pirámide es necesario conocer:

1. El área de la base (áb ), que es el polígono donde se apoya la pirámide.
2. El perímetro de la base(pb ), que es la longitud de todas las caras.
3. La apotema de la base (ap), que es la distancia del centro de la base a cualquier lado.
4. La apotema de la pirámide (Ap), que es la altura de una cara lateral.
5. La altura del poliedro (h), que es la distancia que hay del centro de la base al vértice de la pirámide.

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Las fórmulas generales para obtener el área y el volumen de una pirámide son las siguientes:

Ejemplos de ejercicios de área y volumen de una pirámide.

1.- Hallar el área total y el volumen de una pirámide cuadrangular cuya arista de la base mide 10, la altura de 12 cm y un Apotema del poliedro de 13 cm.

Nos enfocamos en la forma de la base de la pirámide para despejar estas fórmulas. El problema

indica que es una pirámide cuadrangular con las siguientes medidas:

Obtengamos primero el área lateral (el de las cuatro caras triangulares) que es el área coloreada.

Ver vídeo (Para recordar cómo se obtiene el área de un triángulo).

Y ahora el área de la base. Para ello en la fórmula general vamos  a sustituir por la fórmula para obtener el área de un cuadrado, ya que la base es cuadrangular.  Es el área coloreada.

Ver vídeo (Para recordar cómo se obtiene el área de un cuadrado).

Por último sumamos los valores del área lateral y del área de la base para obtener el área total de la pirámide cuadrangular especificada.

Ahora obtenemos el volumen de la pirámide cuadrangular  sustituyendo la fórmula del área de la base por la del área del cuadrado y multiplicando por la altura del poliedro.

2.- Hallar el área total y el volumen de una pirámide regular pentagonal cuya altura mide 3.20m, el lado de la base 0.87185m, el apotema del poliedro 3.25576m;  y el apotema de la base 0.60m

Nos enfocamos en la forma de la base de la pirámide para despejar estas fórmulas. El problema indica que es una pirámide pentagonal con las siguientes medidas.

Obtengamos primero el área lateral (el de las cinco caras triangulares) que es el área coloreada.

Ver vídeo (Para recordar cómo se obtiene el área de un triángulo).

Y ahora el área de la base. Para ello en la fórmula general vamos  a sustituir por la fórmula para obtener el área de un pentágono regular, ya que la base es pentágono.  Es el área coloreada.

Por último sumamos los valores del área lateral y del área de la base para obtener el área total de la pirámide pentagonal especificada.

 

Ahora obtenemos el volumen de la pirámide pentagonal  sustituyendo la fórmula del área de la base por la del área del pentágono y multiplicando por la altura del poliedro.

3.- Hallar el área total y el volumen de una pirámide regular triangular  cuyas medidas son las siguientes:

Obtengamos primero el área lateral (el de las tres caras triangulares, sin la base), coloreadas en la figura de abajo.

Recuerda que en una pirámide regular la altura de cada uno de los triángulos laterales (caras), llamada apotema del poliedro (Ap), es igual a la altura del triángulo lateral.

Ver vídeo (Para recordar cómo se obtiene el área de un triángulo).

Y ahora el área de la base. Para ello en la fórmula general vamos  a sustituir por la fórmula para obtener el área de un triángulo, ya que la base es un triángulo equilátero.  Es el área coloreada.

Por último sumamos los valores del área lateral y del área de la base para obtener el área total de la pirámide regular triangular especificada.

Ahora obtenemos el volumen de la pirámide triangular con la siguiente fórmula:

Observa que se desconoce la medida de la altura (h) de la pirámide.

Ésta se obtiene a través del Teorema de Pitágoras = C²  = A² + B², donde C es igual a Ap (12 cm) y B es igual a la mitad de la altura de la base (la mitad de 5.19 = 2.595). El valor que busco es A, que es la altura de la pirámide y la encuentro restando B² = C² –  A²;.

Veamos en la siguiente imagen:

Ahora que ya tenemos el valor de la altura de la pirámide (h = 11.7160 cm), obtenemos el volumen de la pirámide:

 

Otros ejemplos relacionados. Ejercicio 1