El volumen de un vaso cónico circular

            Dicen los médicos y los nutricionistas que para un buen desempeño, nuestro cuerpo requiere que consumamos unos ocho vasos de agua al día, es decir, tomando un vaso como 250 mL, tenemos que ocho vasos serán 2,0 L. (En realidad, esto es una generalización. Una vista más detallada nos llevaría a ver esta cantidad como el equivalente en vasos de la vigésima parte de nuestro peso en libras o, lo que es lo mismo, el equivalente a la décima parte de nuestro peso en kilogramos. Se tomó 80,0 Kg. como un peso promedio y de ahí lo de los ocho vasos diarios.)

            Sin embargo, no todos los vasos que usamos tienen una capacidad de exactamente 250,0 mL, por lo que nos es difícil realizar la sumatoria del volumen total consumido durante el día.

            No es este un asunto que me preocupe tanto como la resolución matemática del problema, utilizando solamente una regla de medir y las herramientas que nos proporciona el cálculo diferencial e integral, así como mostrar tan sólo una de las amplísimas aplicaciones del mismo e incitar al lector a la resolución de problemas más complejos valiéndose de los mismos métodos.

            Imaginemos que tenemos un vaso y que medimos su diámetro inferior, superior y altura con una regla. Hallamos que su diámetro en la base mide B cm., su diámetro superior mide T cm., y su altura es h cm.

           Imaginemos ahora una recta que atraviese el centro de ambas circunferencias y sea perpendicular a los discos formados por ellas. Asignamos arbitrariamente la dirección «x» a esa recta. Definamos ahora una recta «y», paralela a cualquier radio del disco de la base y por tanto perpendicular a la recta «x». Decidimos, por conveniencia, que el eje «y» atraviese el disco de la base por uno de sus diámetros, esto para simplificar el problema (así tendremos un x1 = 0)

volumen-de-un-vaso            Ahora podemos tratar la generatriz del vaso (que es una sección cónica circular) que está en el plano «xy» como una recta de la forma y = m x + b = G(x), definiendo dos puntos, P1: (0, B/2) y P2: (h, T/2) los cuales son pares ordenados, el resultado de la intersección de la recta G(x) con las circunferencias de la base y de la «tapa», respectivamente (ver figura 1.)

            Sabiendo que la ecuación de cualquier recta de esta forma se puede calcular hallando la pendiente m y el intercepto b mediante las ecuaciones:

m = (y2 – y1) / (x2 – x1)

y

y1 = m x1 + b

Resolvemos y obtenemos que la ecuación de la recta:

G(x) = [(T – B) / (2h)] x + (B/2)]

           

            Ahora es sumamente sencillo calcular el volumen del vaso, ya que podemos tratarlo como el sólido que se obtiene al girar G(x) en torno al eje «x». Para esto basta con hallar el valor de la integral:

∫x1x2 ∏ [G(x)] 2 dx

            Al sustituir los valores:

∫0h∏ ([(T – B) / (2h)] x + (B/2)) 2 dx

            Resolvemos la integral y hallamos entonces una fórmula general para calcular el volumen de cualquier vaso cónico circular con diámetro inferior B, diámetro superior T y altura h:

∏/12 [h (T2 + BT + B2)

            Ahora podemos calcular el volumen de nuestro vaso favorito y determinar cuántos debemos beber diariamente para que nuestro cuerpo realice su metabolismo adecuadamente.