RadianesObjetivosAl concluir esta lección, deberás ser capaz de:
IntroducciónPara muchas aplicaciones es útil encontrar la longitud del arco asociado a un ángulo determinado. Sabemos que la circunferencia de un círculo de radio r es 2πr. Esto corresponde a una vuelta completa al círculo, es decir, 360° o sea el arco que da vuelta completa a un círculo mide 2π veces su radio.
¿Cuál es la longitud del arco de un círculo formado por los lados de un ángulo central del círculo si ese ángulo mide 60°? Como 60° es la sexta parte de 360° entonces la longitud del arco mide 1/6 de la circunferencia. Si el radio del círculo mide r, el arco mide . La tabla siguiente resume la correspondencias previas entre medidas de ángulos centrales de un círculo y largos de arcos en la circunferencia del círculo:
En general, para un ángulo central de un círculo de medida α°, la longitud s del arco del círculo determinado por ese ángulo mide: donde r representa la medida del radio del círculo.La utilidad de la relación entre la medida de un ángulo central de un círculo y la longitud del arco del círculo determinado por ese ángulo motiva la definición de la una unidad de medida de arcos circulares conocida como radian. DefiniciónEl largo de un arco círcular se puede medir en téminos del radio del mismo círculo. Aunque esta medida depende del largo del radio del círculo, se utiliza la medida de un radio como la unidad y se llama radian. Ahora la correspondencia entre las medidas en grados de ángulos centrales de círculos y las medidas de largo de los arcos correspondientes del círculo en radios (radianes) es tan estrecho que por uso y costumbre los radianes se tratan como una medida de ángulos. El otorgar la unidad de radian el sentido de medida de ángulo, permite establecer una equivalencia entre unidades de radianes y unidades de grados. Esa equivalencia se basa en una vuelta completa de un círculo: Para simplificar el cambio de unidades se utiliza la equivalencia correspondiente a media vuelta de un círculo: Examina la tabla a continuación para observar la correspondencia entre medidas de ángulos en grados y medidas de los arcos circulares correspondientes en radianes.
Como se observa en la tabla previa a la derecha, se puede determinar la longitud de un arco medido en radianes en cualquier unidad de longitud, al multiplicar la medida de radianes por la medida del radio del círculo en la unidad deseada; sea centímetros, pulgadas, metros, pies, millas, kilómetros u otra. Mientras calcular la longitud de un arco desde la medida del ángulo central correspondiente en grados requiere dividir por 180, multiplicar por π y multiplicar por el largo del radio del círculo.
Conversión entre Radianes y GradosEn la sección anterior, se establecio que: De donde: Conversión de Radianes a Grados
Por ejemplo:
Conversión de Grados a Radianes
Por ejemplo:
NOTACIÓN: Generalmente se tiene la notación de Posición Estándar de los Ángulos Un ángulo está en su posición estándar, si este está graficado sobre el plano xy, su vértice está ubicado en el origen y el lado inicial del ángulo está ubicado sobre el eje x positivo. Longitud de un Arco Circular Un ángulo cuya medida en radianes es Definicián En un círculo de radio r, la longitud s del arco que sustenta al ángulo central de
radianes, está dada por: NOTA: Recuerde que para utilizar la ecuación anterior es necesario que el ángulo Para practicar la conversion de grados a radianes y radianes a grados haz click en el siguiente botón En la tabla a continuación se muestra las medidas en fracciones de vueltas del círculo, en grados y en radianes de algunos ángulos especiales:
Seno y Coseno con RadianesEn la sección El Círculo Unitario y las Funciones Seno y Coseno se definio las funciones de seno y coseno en términos de las coordenadas del punto (a,b) en el círculo unitario asociado con el angulo θ: cos(θ) = a sen(θ) = b Si el ángulo θ se expresa en radianes, entonces: Las tablas siguientes muestran valores aproximados de las funciones seno y coseno para ángulos medidos en radianes: Tabla de Valores Aproximados y Gráfica de la Función Seno
Tabla de Valores Aproximados y Gráfica de la Función Coseno
Otras Funciones Trigonométricas con RadianesSe puede utilizar las tablas de valores de las funciones seno y coseno para crear tablas de valores de las otras funciones trigonométricas con medidas de ángulos en Radianes.
PeriodicidadEn la sección de El Círculo Unitario, se mostró que el periodo de las funciones Seno y Coseno es de 360°. Como 360° es equivalente a 2π radianes, entonces el periodo de las funciones Seno y Coseno en radianes es 2π. Se puede observar el periodo de cada una de las funciones trigonométricas en radianes con la selección siguiente de gráficas.
PrácticaHaz click en el siguiente botón para practicar:ResumenAhora que has completado esta sección, debes ser capaz de:
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