El Orden de las Operaciones
Objetivos de Aprendizaje
· Usar el orden de las operaciones para simplificar expresiones.
· Simplificar expresiones que contienen valores absolutos.
Introducción
Las personas necesitamos un conjunto de reglas comunes para realizar cálculos básicos. ¿A qué es igual 3 + 5 • 2l? ¿Es 16 o 13? Tu respuesta depende de cómo entiendes el orden de las operaciones — un conjunto de reglas que te dicen el orden en el que se han de realizar la suma, la resta, la multiplicación y la división en un cálculo.
Los matemáticos han desarrollado un orden estándar que nos dice qué operaciones realizar primero en una expresión con más de una operación. Sin un procedimiento estándar para hacer cálculos, dos personas podrían obtener respuestas diferentes para el mismo problema.
Los bloques de construcción del orden de las operaciones son las operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación, y división. El orden de las operaciones dice que:
¿Cuál es la respuesta correcta para la expresión 3 + 5 • 2? Usa el orden de operaciones anterior.
Primero multiplica. 3 + 5 • 2 = 3 + 10
Luego suma. 3 + 10 = 13
Este orden de operaciones aplica a todos los números reales.
Ejemplo | ||
Problema | Simplifica 7 – 5 + 3 · 8. | |
| 7 – 5 + 3 • 8 | De acuerdo con el orden de las operaciones, la multiplicación es primero que la suma o la resta. Multiplica 3 · 8. |
| 7 – 5 + 24 | Ahora, suma y resta de izquierda a derecha. 7 – 5 es primero. |
| 2 + 24 = 26 | Finalmente, suma 2 + 24. |
Respuesta | 7 – 5 + 3 • 8 = 26 |
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Cuando estás aplicando el orden de las operaciones a expresiones que contienen fracciones, decimales, y números negativos, necesitarás recordar cómo hacer estos cálculos también.
Ejemplo | ||
Problema | Simplifica | |
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| De acuerdo con el orden de las operaciones, la multiplicación es antes que la suma o la resta. Primero multiplica . |
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| Ahora, divide . |
| 1 – 32 = −31 | Resta. |
Respuesta |
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Exponentes
Cuando estás evaluando expresiones, a veces verás exponentes que representan una multiplicación repetida. Recuerda que una expresión como por ejemplo es la notación exponencial de 7 • 7. (La notación exponencial tiene dos partes: la base y el exponente o potencia. En , 7 es la base y 2 es el exponente: el exponente determina cuántas veces se multiplica la base por sí misma.)
Los exponentes son una manera de representar una multiplicación repetida; el orden de las operaciones lo pone antes de cualquier multiplicación, división, resta, y suma.
Ejemplo | ||
Problema | Simplifica . | |
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| Este problema tiene exponentes y multiplicaciones. De acuerdo con el orden de las operaciones, simplificar 32 y 23 va primero que la multiplicación. |
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| es 3 · 3, que es igual a 9. |
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| es 2 · 2 · 2, que es igual a 8. |
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| Multiplica. |
Respuesta |
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Ejemplo | ||
Problema | Simplifica . | |
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| Este problema tiene exponentes y multiplicación, y una suma. De acuerdo con el orden de las operaciones, primero simplificas los términos con exponentes, luego multiplicas, y luego sumas. |
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| Evaluar: |
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| Evaluar: |
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Multiplicar. |
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| Simplificar. , para que puedas sumar . |
Respuesta |
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Simplificar: .
A) −300
B) 0
C) 100
D) 300
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Símbolos de agrupación
La última pieza a considerar en el orden de las operaciones son los símbolos de agrupación. Estos incluyen los paréntesis ( ), corchetes [ ], llaves { }, e incluso barras de fracción. Estos símbolos normalmente se usan para ayudarnos a organizar expresiones matemáticas (los verás frecuentemente en el álgebra).
Los símbolos de agrupación se usan para indicar qué operaciones se hacen primero, especialmente si se desea un orden específico. Si hay una expresión a simplificar dentro de los símbolos de agrupación, sigue el orden de las operaciones.
El Orden de las Operaciones
· Realiza primero todas las operaciones dentro de los símbolos de agrupación. Los símbolos de agrupación incluyen paréntesis ( ), corchetes [ ], llaves { }, y barras de fracción. · Evalúa los exponentes o raíces cuadradas. · Multiplica o divide, de izquierda a derecha. · Suma o resta, de izquierda a derecha.
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Cuando hay símbolos de agrupación dentro de símbolos de agrupación, calcula de adentro hacia afuera. Es decir, empieza simplificando el símbolo de agrupación de adentro.
Recuerda que los paréntesis también pueden usarse para mostrar multiplicación. En el ejemplo siguiente, se muestran ambos usos de los paréntesis para representar una agrupación, y también para expresar una multiplicación.
Ejemplo | ||
Problema | Simplifica (3 + 4)2 + (8)(4). | |
| (3 + 4)2 + (8)(4)
(3 + 4)2 + (8)(4) | Este problema tiene paréntesis, exponentes, una multiplicación, y una suma. El primer juego de paréntesis es un símbolo de agrupación. El segundo grupo indica multiplicación.
Primero se simplifican los símbolos de agrupación. Suma los números en los paréntesis. |
| 72 + (8)(4) 49 + (8)(4) | Simplifica 72. Realiza la multiplicación. |
| 49 + 32 = 81 | Realiza la suma. |
Respuesta | (3 + 4)2 + (8)(4) = 81 |
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Ejemplo | ||
Problema | Simplifica (1.5 + 3.5) – 2(0.5 · 6)2. | |
| (1.5 + 3.5) – 2(0.5 · 6)2 | Este problema tiene paréntesis, exponentes, una multiplicación, una resta y una suma.
Primero se simplifican los símbolos de agrupación. Suma los números en el primer juego de paréntesis. |
| 5 – 2(0.5 · 6)2
| Multiplica los números en el segundo juego de paréntesis. |
| 5 – 2(3)2
| Evalúa los exponentes. |
| 5 – 2 · 9
| Multiplica. |
| 5 – 18 = −13 | Resta. |
Respuesta | (1.5 + 3.5) – 2(0.5 · 6)2 = −13 |
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Ejemplo | ||
Problema | Simplifica | |
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| Este problema tiene corchetes, paréntesis, fracciones, exponente, una multiplicación, una resta, y una suma.
Primero se consideran los símbolos de agrupación. Los paréntesis alrededor del -6 no son símbolos de agrupación, simplemente están aclarando que el signo negativo pertenece al 6. Empieza con el juego de paréntesis que son símbolos de agrupación, están en el numerador de la fracción, (2 · −6), La barra de fracción también actúa como un tipo de símbolo de agrupación; simplificas el numerador y el denominador independientemente, y luego al final divides el numerador entre el denominador.) |
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| Suma los valores en los corchetes. |
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| Resta 5 – [−9] = 5 + 9 = 14. |
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| La parte superior de la fracción ya está simplificada, pero la parte inferior (el denominador) no ha sido tocado, Aplica el orden de operaciones también. Empieza evaluando 32 = 9. |
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Ahora suma. 9 + 2 = 11. |
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Respuesta |
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Simplifica
A) 25
B) 26
C) 151
D)
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Recordando el Orden de las Operaciones
El Orden de las Operaciones
· Realiza primero todas las operaciones dentro de los símbolos de agrupación. Los símbolos de agrupación incluyen paréntesis ( ), corchetes [ ], llaves { }, y barras de fracción. · Evalúa los exponentes o raíces cuadradas. · Multiplica o divide, de izquierda a derecha. · Suma o resta, de izquierda a derecha.
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Es importante conocer el orden de las operaciones, pero algunas veces es difícil de recordar. Algunas personas usan una frase que les ayuda a recordar el orden de las operaciones. La frase es “Please Excuse My Dear Aunt Sally,” o “PEMDAS”. La primera letra de cada palabra empieza con la misma letra que una operación aritmética.
Please Paréntesis (y otros símbolos de agrupación) |
Excuse Exponentes (y raíces) |
My Dear Multiplicación y División (de izquierda a derecha) |
Aunt Sally Adición y Sustracción (de izquierda a derecha) |
Nota: A pesar de que en la frase la multiplicación aparece primero que la división, la división puede realizarse primero. Si es la multiplicación o la división la que se realiza primero depende de cuál aparece primero de izquierda a derecha. Lo mismo sucede con la suma y la resta. ¡No dejes que la frase te confunda en esto!
Las expresiones de valor absoluto son uno de los métodos finales para agrupar. Recuerda que el valor absoluto de una cantidad es siempre positivo o 0.
Cuando ves una expresión de valor absoluto incluida en una expresión más grande, sigue el orden de las operaciones y evalúa la expresión con el símbolo de valor absoluto. Luego toma el valor absoluto de la expresión. El ejemplo siguiente muestra cómo se hace esto.
Ejemplo | ||
Problema | Simplifica | |
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| Este problema tiene valores absolutos, decimales, una multiplicación, una resta, y una suma.
Primero consideramos los símbolos de agrupación, incluido el valor absoluto. Simplifica el numerador, luego el denominador. Evalúa |2 – 6|. |
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| Toma el valor absoluto de |−4|. |
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| Suma los números en el numerador. |
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| Ahora que el numerador está simplificado, pasa al denominador. Evalúa primero la expresión del valor absoluto. |
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| La expresión “2|4.5|” dice “2 veces el valor absoluto de 4.5.” Multiplica 2 por 4.5. |
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| Resta. |
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Respuesta |
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Simplifica: (5|3 – 4|)3.
A) −125
B) 1331
C) −49
D) 125
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Sumario
El orden de las operaciones nos da un estándar, un método consistente a usar para simplificar cadenas de números en expresiones algebraicas. Sin el orden de las operaciones, otras personas podrían encontrar resultados distintos del mismo problema. Algunas personas recuerdan el orden de las operaciones usando la frase “Please Excuse My Dear Aunt Sally” o simplemente, PEMDAS.