Identificando funciones

 

Objetivos de aprendizaje

·         Determina si una relación es una función.

·         Determina el dominio de una función y el rango de una función.

·         Determina si una gráfica es de una función usando la prueba de la recta vertical.

 

 

El álgebra nos da una manera de explorar y describir relaciones. Imagina lanzar una pelota hacia arriba en el aire y mirarla alcanzar su punto más alto antes de volver a caer en tus manos. Conforme pasa el tiempo la altura de la pelota cambia. Hay una relación entre la cantidad de tiempo que pasa desde que se lanzó la pelota y la altura de la pelota. En las matemáticas, una correspondencia entre variables que cambian juntas (como el tiempo y la altura) se llama relación. Algunas relaciones, pero no todas, pueden también describirse como funciones.

 

 

Hay muchos tipos de relaciones. Las relaciones son simples correspondencias entre conjuntos de valores o información. Piensa en los miembros de tu familia y sus edades. Formar pares con cada miembro de tu familia y su edad es una relación. Cada miembro de la familia puede asociarse con una edad en un conjunto de edades de tu familia. Otro ejemplo de relación es asociar un estado con su senador de los Estados Unidos. Cada estado puede asociarse con dos individuos que han sido electos para servir como senadores. Por otro lado, cada senador puede asociarse con un estado específico que él o ella represente. Ambos son ejemplo de relaciones en el mundo real.

 

El primer valor de una relación es un valor de entrada y el segundo valor es un valor de salida. Una función es un tipo específico de relación en el que cada valor de entrada tiene sólo un valor de salida. La entrada es el valor independiente y la salida es el valor dependiente, porque depende del valor de la entrada.

 

Observa la primera tabla, donde la entrada es el “nombre” y la salida es la “edad”, cada entrada se asocia con exactamente una salida. Este es un ejemplo de una función.

 

(Entrada) Nombre del miembro de la familia	(Salida) Edad del miembro de la familia
Nellie	13
Marcos	11
Esther	46
Samuel	47
Nina	47
Paul	47
Katrina	21
Andrew	16
Maria	13
Ana	81

 

Compara esto con la siguiente tabla, donde la entrada es la “edad” y la salida es el “nombre.” Algunas de las entradas resultan en más de una salida. Este es un ejemplo de una correspondencia pero no es una función.

 

Información Inicial (Entrada) Edad del miembro de la familia	Información Relacionada (Salida) Nombre del miembro de la familia
11	Marcos
13	Nellie Maria
16	Andrew
21	Katrina
46	Esther
47	Samuel Nina Paul
81	Ana

 

Veamos de nuevo nuestros ejemplos para determinar si las relaciones son funciones o no y bajo qué circunstancias. Recuerda que una relación es una función si hay sólo una salida por cada entrada.

 

 

 

¿Cuál de las siguientes situaciones describe a una función?   A) Tu edad y tu peso en la tarde de tu cumpleaños cada año. B) El número de personas en un equipo profesional de basquetbol y el nombre del equipo. C) El diámetro de una galleta y el número de chispas de chocolate en ella.   Mostrar/Ocultar Respuesta A) Tu edad y tu peso en la tarde de tu cumpleaños cada año. Correcto. La edad sólo aumenta mientras que el peso puede cambiar. En cada cumpleaños, tienes sólo un peso en la mañana, entonces por cada entrada, hay sólo una salida.   B) El número de personas en un equipo profesional de basquetbol y el nombre del equipo. Incorrecto. Los equipos profesionales de basquetbol tienen el mismo número de jugadores, por lo que el número de jugadores no es una función del nombre del equipo. La respuesta correcta es tu edad y tu peso en la tarde de tu cumpleaños cada año.   C) El diámetro de una galleta y el número de chispas de chocolate en ella. Incorrecto. Si bien las galletas más grandes pueden tener más chispas de chocolate, el número exacto de cualquier tamaño de galleta varía con la receta y la manera de mezclar y distribuir la masa. Una entrada de tamaño de galleta producirá diferentes salidas de chispas de chocolate. La respuesta correcta es tu edad y tu peso en la tarde de tu cumpleaños cada año.

 

 

Las relaciones pueden escribirse como pares ordenados de números o como números en una tabla de valores. Examinar las entradas (coordenada x) y las salidas (coordenada y), puedes determinar si una relación es o no una función. Recuerda, en una función cada entrada tiene sólo una salida. Veamos un par de ejemplos.

 

 

 

 

 

 

Recuerda que en una función, un valor de entrada debe tener uno y sólo un valor de salida.

 

Existe un nombre para el conjunto de valores de entrada y otro nombre para el conjunto de valores de salida de una función. El conjunto de valores de entrada se llama dominio de la función. Y el conjunto de valores de salida se llama rango de la función.

 

Si tienes un conjunto de pares ordenados, puedes encontrar el dominio enlistando todos los valores de entrada, que son las coordenadas x. Y puedes encontrar el rango, enlistando todos los valores de salida, que son las coordenadas y.

 

Entonces para los siguientes pares ordenados,

 

{(−2, 0), (0, 6), (2, 12), (4, 18)}

 

Tienes lo siguiente:

 

Dominio: {−2, 0, 2, 4}

 

Rango: {0, 6, 12, 18}

 

 

Jamie planea vender pasteles caseros a $10 cada uno. La cantidad de dinero que gana es una función de cuántos pasteles vende: $0 si vende 0 pasteles, $10 si vende 1 pastel, $20 si vende 2 pasteles, etc. Jaime no quiere que se echen a perder los pasteles antes de que los pueda vender, por lo que no hará (o venderá) más de 9 pasteles. ¿Cuál es el dominio y el rango de la función?   A) Dominio: {0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90}  Rango: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} B) Dominio: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}  Rango: {0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90} C) Dominio: {0, 1, 2}  Rango: {0, 10, 20} D) Dominio: todos los números mayores o iguales a 0   Mostrar/Ocultar Respuesta A) Dominio: {0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90}  Rango: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Incorrecto. El número de pasteles es la entrada y la cantidad de dinero es la salida de la función. Esto significa que el dominio es todo número posible de pasteles y el rango es todo el dinero hecho de esos pasteles. La respuesta correcta es Dominio: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Rango: {0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90}.   B) Dominio: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}  Rango: {0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90} Correcto. El número de pasteles que Jaime puede vender es la entrada y eso puede ser cualquier número desde 0 hasta el máximo que es 9. El dinero que gana de esos pasteles es siempre un múltiplo de 10: 0 para 0 pasteles, 10 para 1 pastel, 20 para 2 pasteles, etc.   C) Dominio: {0, 1, 2}  Rango: {0, 10, 20} Incorrecto. El dominio y el rango continúan más allá de esos valores. Jaime puede vender hasta 9 pasteles y como resultado él puede ganar más de $20. Debes incluir en el rango todos los valores posibles del dominio. La respuesta correcta es Dominio: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Rango: {0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90}.   D) Dominio: todos los números mayores o iguales que 0 Incorrecto. Jamie no vende fracciones de pasteles, por lo que las únicas entradas son números enteros del 0 al 9 y todas las posibles salidas son 0 y múltiplos de 10 hasta 90. La respuesta correcta es Domino: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Rango: {0, 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90}.

 

 

 

 

 

 

Cuando la cantidad independiente (entrada) y la cantidad dependiente (salida) son números reales, una función puede representarse por una gráfica en el plano de coordenadas. El valor independiente se grafíca en el eje x y el valor de pendiente se grafíca en el eje y. El hecho de que cada valor de entrada tiene exactamente un valor de salida significa que las gráficas de funciones tienen ciertas características. Para cada entrada en la gráfica, hay exactamente una salida.

 

Por ejemplo, la siguiente gráfica de la función dibujada en azul se ve como un semicírculo. Sabes que y es una función de x porque por cada coordenada x hay exactamente una coordenada y.

 

 

 

Si dibujas una recta vertical en la gráfica de la función, sólo intersecta la función una vez en el valor de x. Esto sucede sin importar dónde se dibuje la recta vertical. Moviendo dicha recta en la gráfica es una buena manera de determinar si muestra una función.

 

Compara la gráfica anterior con ésta, que se parece a un círculo azul. Esta relación no puede ser una función, porque algunas de las coordenadas en x tienen dos coordenadas en y correspondientes.

 

 

 

Cuando una recta vertical se coloca sobre la gráfica de esta relación, intersecta la gráfica en más de un punto de los valores de x. Si la gráfica muestra dos o más intersecciones con la recta vertical, entonces una entrada (coordenada x) puede tener más de una salida (coordenada y) y y no es una función de x. Examinar la gráfica de la relación para determinar si la recta vertical se intersecta con más de un punto es una manera rápida de determinar si una relación mostrada en una gráfica es una función. Este método normalmente se llama “prueba de la recta vertical.”

 

El método de la recta vertical también puede aplicarse a un conjunto de pares ordenados graficados en un plano de coordenadas para determinar si la relación es una función. Considera los pares ordenados {(−1, 3),(−2, 5),(−3, 3),(−5, −3)}, graficados abajo.

 

 

Aquí, puedes ver que en el conjunto de pares enlistados, cada valor independiente tiene uno y sólo un valor de pendiente. También puedes comprobar esto con una recta vertical pasándola por cada punto sin que se intersecte con otro punto. Una recta horizontal se intersectaría con dos puntos, pero eso no importa. (Recuerda, ¡es una recta vertical y no una recta horizontal la que prueba si una relación es una función!)

 

En otro conjunto de pares ordenados, {(3, −1),(5, −2),(3, −3),(−3, 5)}, una de las entradas, 3, puede producir dos salidas diferentes, −1 y −3. Sabes lo que esto significa — este conjunto de pares ordenados no es una función. Una gráfica confirma esto.

 

 

Observa que la recta vertical pasa por dos puntos en la gráfica. Una coordenada x tiene varias coordenadas y. Esta relación no es una función.

 

 

¿Cuál de los siguientes es un conjunto de pares ordenados que representan una función?   A) {2, 4, 4, 8, 8, 16, 16, 32} B) {(0, 0), (1, 1), (1, −1), (2, 2), (2, −2)} C) {(5, −10), (5, −3), (5, 0), (5, 2), (5, 17)} D) {(−2, 2), (−1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 2)}   Mostrar/Ocultar Respuesta A) {2, 4, 4, 8, 8, 16, 16, 32} Incorrecto. Estos números no están agrupados en pares ordenados. Sin la notación apropiada, es imposible saber cuáles valores son entradas y cuales son salidas. La respuesta correcta es {(−2, 2), (−1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 2)}.   B) {(0, 0), (1, 1), (1, −1), (2, 2), (2, −2)} Incorrecto. Algunas coordenadas x están repetidas y tienen diferentes coordenadas y. Esta no es una función. La respuesta correcta es {(−2, 2), (−1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 2)}.   C) {(5, −10), (5, −3), (5, 0), (5, 2), (5, 17)} Incorrecto. Este conjunto contiene cinco pares ordenados, cada uno con una coordenada x de 5 y distintas coordenadas y como salidas. Esta no es una función, porque una función requiere que cada entrada tenga sólo una salida. La respuesta correcta es {(−2, 2), (−1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 2)}.   D) {(−2, 2), (−1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 2)} Correcto. Ninguna coordenada x está repetida y cada una tiene exactamente una coordenada y, entonces {(−2, 2), (−1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 2)} es una función.

 

 

En la vida real y en el álgebra, es común que diferentes variables se asocien. Cuando un cambio en un valor de una variable causa un cambio en el valor de otra variable, su interacción se llama relación. Una relación tiene un valor de entrada que corresponde a un valor de salida. Cuando cada valor de entrada tiene un sólo valor de salida, la relación es una función. Las funciones pueden escribirse como pares ordenados, tablas o gráficas. El conjunto de valores de entrada se llama dominio y el conjunto de valores de salida se llama rango.