Cómo encontrar fácilmente el valor máximo o mínimo de una función cuadrática

Coescrito por Personal de wikiHow

Por una serie de razones, es posible que necesites definir el valor máximo o mínimo de una función cuadrática seleccionada. Puedes hallar el máximo o mínimo si la función original está escrita en forma general, $f(x)=ax^{2}+bx+c$ , o en forma estándar, $f(x)=a(x-h)^{2}+k$ . Por último, probablemente también quieras realizar algunos cálculos básicos para definir el máximo o mínimo de cualquier función cuadrática.

Método 1

Método 1 de 3:

Comenzar con la forma general de la función

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Establece la función en forma general. Una función cuadrática es aquella que tiene un término $x^{2}$ $x^{2}$ . También existe la posibilidad de que contenga un término $x$ $x$ sin exponente. Asimismo, no habrá exponentes que sean mayores que 2. La forma general es $f(x)=ax^{2}+bx+c$ $f(x)=ax^{2}+bx+c$ . De ser necesario, combina los términos semejantes y reorganiza la ecuación para que la función adopte la forma general.^{[1]
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Fuente de investigación}
- Por ejemplo, supongamos que comienzas con $f(x)=3x+2x-x^{2}+3x^{2}+4$ $f(x)=3x+2x-x^{2}+3x^{2}+4$ . Combina los términos $x^{2}$ $x^{2}$ y los términos $x$ $x$ para obtener la siguiente forma general:
  - $f(x)=2x^{2}+5x+4$
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Determina la dirección del gráfico. Una función cuadrática da origen a una parábola en el gráfico, la cual puede estar orientada hacia arriba o hacia abajo. Si $a$ $a$ , el coeficiente del término $x^{2}$ $x^{2}$ , tiene valor positivo, la parábola estará orientada hacia arriba. Por el contrario, si $a$ $a$ tiene valor negativo, la parábola estará orientada hacia abajo. Observa los siguientes ejemplos:^{[2]
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Fuente de investigación}
- Para $f(x)=2x^{2}+4x-6$ , $a=2$ ; por lo tanto, la parábola se orienta hacia arriba.
- Para $f(x)=-3x^{2}+2x+8$ , $a=-3$ ; por lo tanto, la parábola se orienta hacia abajo.
- Para $f(x)=x^{2}+6$ , $a=1$ ; por lo tanto, la parábola se orienta hacia arriba.
- Puedes recordar este concepto pensando en caras sonrientes y ceños fruncidos. Si alguien es positivo, sonríe; mientras que alguien negativo frunce el ceño. De manera similar, un número positivo tendrá una parábola ascendente, mientras que uno negativo tendrá una descendente.
- Si la parábola se orienta hacia arriba, hallarás su valor mínimo, mientras que, si se orienta hacia abajo, hallarás su valor máximo.
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Calcula -b/2a. El valor de $-{\frac {b}{2a}}$ $-{\frac {b}{2a}}$ te indica el valor $x$ $x$ del vértice de la parábola. Si la función cuadrática está escrita en su forma general de $ax^{2}+bx+c$ $ax^{2}+bx+c$ , utiliza los coeficientes de los términos $x$ $x$ y $x^{2}$ $x^{2}$ de la siguiente manera:
- Para una función $f(x)=x^{2}+10x-1$ $f(x)=x^{2}+10x-1$ , $a=1$ $a=1$ y $b=10$ $b=10$ . Por lo tanto, halla el valor de x del vértice de la siguiente manera:
  - $x=-{\frac {b}{2a}}$
  - $x=-{\frac {10}{(2)(1)}}$
  - $x=-{\frac {10}{2}}$
  - $x=-5$
- Como segundo ejemplo, considera la siguiente función: $f(x)=-3x^{2}+6x-4$ $f(x)=-3x^{2}+6x-4$ . En este ejemplo, $a=-3$ $a=-3$ y $b=6$ $b=6$ . Por lo tanto, halla el valor de x del vértice de la siguiente forma:
  - $x=-{\frac {b}{2a}}$
  - $x=-{\frac {6}{(2)(-3)}}$
  - $x=-{\frac {6}{-6}}$
  - $x=-(-1)$
  - $x=1$
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Halla el valor de f(x) correspondiente. Introduce el valor de x que acabas de calcular en la función con la finalidad de hallar el valor correspondiente de f(x). Este será el valor mínimo o máximo de la función.
- En el caso del primer ejemplo mostrado previamente, $f(x)=x^{2}+10x-1$ $f(x)=x^{2}+10x-1$ , calculaste el valor de x para que el vértice sea $x=-5$ $x=-5$ . Reemplaza $x$ $x$ con $-5$ $-5$ en la función para hallar el valor máximo:
  - $f(x)=x^{2}+10x-1$
  - $f(x)=(-5)^{2}+10(-5)-1$
  - $f(x)=25-50-1$
  - $f(x)=-26$
- En el caso del segundo ejemplo mostrado previamente, $f(x)=-3x^{2}+6x-4$ $f(x)=-3x^{2}+6x-4$ , descubriste que el valor del vértice es $x=1$ $x=1$ . Reemplaza $x$ $x$ con $1$ $1$ en la función para hallar el valor máximo:
  - $f(x)=-3x^{2}+6x-4$
  - $f(x)=-3(1)^{2}+6(1)-4$
  - $f(x)=-3+6-4$
  - $f(x)=-1$
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Informa tus resultados. Revisa la pregunta que te han planteado. Si te piden las coordenadas del vértice, necesitarás hallar los valores de tanto $x$ $x$ como $y$ $y$ (o $f(x)$ $f(x)$ ). Si solo te piden el valor máximo o mínimo, lo único que necesitarás indicar es el valor de $y$ $y$ (o $f(x)$ $f(x)$ ). Remítete al valor del coeficiente $a$ $a$ para estar seguro de si tienes un valor máximo o mínimo.
- En el primer ejemplo, $f(x)=x^{2}+10x-1$ , el valor de $a$ es positivo, de modo que deberás indicar el valor mínimo. El vértice se encuentra en $(-5,-26)$ , y el valor mínimo es $-26$ .
- En el segundo ejemplo, $f(x)=-3x^{2}+6x-4$ , el valor de $a$ es negativo, de modo que deberás indicar el valor máximo. El vértice se encuentra en $(1,-1)$ , y el valor máximo es $-1$ .
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Método 2

Método 2 de 3:

Utilizar la forma estándar o vértice

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Escribe la función cuadrática en forma estándar o vértice. La forma estándar de una función cuadrática general, la cual también puede llamarse la forma vértice, se ve de la siguiente manera:^{[3]
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Fuente de investigación}
- $f(x)=a(x-h)^{2}+k$
- Si ya te proporcionaron la función en esta forma, solo necesitas reconocer las variables $a$ , $h$ y $k$ . Si, por el contrario, la función comienza en la forma general $f(x)=ax^{2}+bx+c$ , tendrás que completar el cuadrado para reescribirla en la forma vértice.
- Si quieres ver cómo completar el cuadrado, lee el artículo “Cómo completar el cuadrado”.
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Determina la dirección del gráfico. Como solo una función cuadrática escrita en su forma general, podrás determinar la dirección de la parábola al ver el coeficiente $a$ $a$ . Si, en esta forma estándar, el coeficiente $a$ $a$ es positivo, entonces la parábola estará orientada hacia arriba. Si, por el contrario, es negativo, entonces la parábola estará orientada hacia abajo. Presta atención a los siguientes ejemplos:^{[4]
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Fuente de investigación}
- Para $f(x)=2(x+1)^{2}-4$ , $a=2$ , el cual es positivo. Por lo tanto, la parábola se orienta hacia arriba.
- Para $f(x)=-3(x-2)^{2}+2$ , $a=-3$ , el cual es negativo. Por lo tanto, la parábola se orienta hacia abajo.
- Si la parábola se orienta hacia arriba, hallarás su valor mínimo. Si la parábola se orienta hacia abajo, hallarás su valor máximo.
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Identifica el valor mínimo o máximo. Cuando la función está escrita en la forma estándar, hallar el valor máximo o mínimo será tan simple como establecer el valor de la variable $k$ $k$ . En el caso de los dos ejemplos mencionados previamente, estos valores son los siguientes:
- Para $f(x)=2(x+1)^{2}-4$ , $k=-4$ . Este es el valor mínimo de la función, pues esta parábola se orienta hacia arriba.
- Para $f(x)=-3(x-2)^{2}+2$ , $k=2$ . Este es el valor máximo de la función, pues esta parábola se orienta hacia abajo.
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Halla el vértice. Si te solicitan las coordenadas del valor mínimo o máximo, el punto será $(h,k)$ $(h,k)$ . No obstante, ten en cuenta que, en la forma estándar de la ecuación, el término dentro de los paréntesis es $(x-h)$ $(x-h)$ , de modo que necesitas el signo opuesto del número que sigue a $x$ $x$ .
- Para $f(x)=2(x+1)^{2}-4$ , el término dentro de los paréntesis es (x+1), el cual puede reescribirse como (x-(-1)). De modo que $h=-1$ . Por lo tanto, las coordenadas del vértice para esta función son $(-1,-4)$ .
- Para $f(x)=-3(x-2)^{2}+2$ , el término dentro de los paréntesis es (x-2). De modo que, $h=2$ . Por lo tanto, las coordenadas del vértice son (2, 2).
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Método 3

Método 3 de 3:

Utilizar el cálculo para derivar el mínimo o máximo

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Comienza con la forma general. Escribe la función cuadrática en la forma general, $f(x)=ax^{2}+bx+c$ $f(x)=ax^{2}+bx+c$ . De ser necesario, quizás necesites combinar los términos semejantes y reorganizarlos para dar lugar a forma adecuada.^{[5]
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Fuente de investigación}
- Comienza con la siguiente función: $f(x)=2x^{2}-4x+1$ .
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Utiliza la regla de exponentes para hallar la primera derivada. Mediante el uso de cálculos básicos, podrás hallar la primera derivada de la función cuadrática general: $f^{\prime }(x)=2ax+b$ $f^{{\prime }}(x)=2ax+b$ .^{[6]
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Fuente de investigación}
- En el caso de la función $f(x)=2x^{2}-4x+1$ $f(x)=2x^{2}-4x+1$ , Halla la derivada de la siguiente manera:
  - $f^{\prime }(x)=4x-4$
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Iguala la derivada a cero. Recuerda que la derivada de una función te indica la pendiente que tiene en un punto seleccionado. El mínimo o máximo de una función se produce cuando la pendiente equivale a cero. Por lo tanto, para hallar el punto en que se produce el mínimo o máximo, iguala la derivada a cero. Continúa con el problema utilizado anteriormente a modo de ejemplo:^{[7]
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Fuente de investigación}
- $f^{\prime }(x)=4x-4$
- $0=4x-4$
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Halla x. Utiliza álgebra básica para reorganizar la función y hallar el valor de x, cuando la derivada sea igual a cero. Esta solución te indicará la coordenada x del vértice de la función, que es el punto en que se produce el máximo o el mínimo.^{[8]
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Fuente de investigación}
- $0=4x-4$
- $4=4x$
- $1=x$
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Introduce el valor resulto de x en la función original. El valor mínimo o máximo de la función será el valor de $f(x)$ $f(x)$ en la posición $x$ $x$ seleccionada. Introduce el valor de $x$ $x$ en la función original y halla el mínimo o máximo.^{[9]
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Fuente de investigación}
- En el caso de la función $f(x)=2x^{2}-4x+1$ $f(x)=2x^{2}-4x+1$ en $x=1$ $x=1$ ,
  - $f(1)=2(1)^{2}-4(1)+1$
  - $f(1)=2-4+1$
  - $f(1)=-1$
La solución indicará el vértice del punto máximo o mínimo. En el caso de esta función $f(x)=2x^{2}-4x+1$ , el vértice estará en $(1,-1)$ . El coeficiente $a$ es positivo, de modo que la función está orientada hacia arriba. Por lo tanto, el valor mínimo de la función es la coordenada y del vértice, la cual es $-1$ .^{[10]
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Fuente de investigación}

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