Entrada 74 del blog. La dedicaremos a revisar el tema de las líneas paralelas, perpendiculares, oblicuas y coincidentes, ¿cómo se distinguen unas de otras? y ¿dónde se les puede encontrar? Regularmente se mencionan solamente las primeras tres, sin embargo al escribir el blog siempre trato de ser exhaustiva, en la medida de lo posible y del alcance que busco, entonces contemplaremos los cuatro casos.

Este tema puede verse al menos desde dos puntos de vista: el geométrico y el algebraico (geometría analítica). La forma algebraica ya la revisamos en una entrada anterior (ver aquí). Veremos hoy la geométrica.

Antes de empezar

Al dibujar, es conveniente distinguir:

Una línea recta o simplemente recta: No tiene principio ni fin. Se conocen dos puntos por donde pasa y se dibuja con una cabeza de flecha al final de cada extremo.

Un rayo: Tiene principio, pero no tiene fin. Se conoce el punto donde empieza y algún otro punto por donde pasa. Se dibuja con una cabeza de flecha del lado contrario al que empieza.

Un segmento de recta: Tiene principio y fin, se dibuja sin puntas de flecha en ningún extremo.

Clasificación de las rectas

Secantes: son dos rectas que tienen un punto en común.

Paralelas: dos rectas que no tienen ningún punto en común

Coincidentes: dos rectas que tienen todos los puntos en común

Nota: esos tres casos incluyen todas las posibilidades en el plano: cero, uno o todos los puntos en común, aunque este último caso se menciona poco. Existen en el espacio (tres dimensiones) las rectas alabeadas, que no se cortan pero tampoco son paralelas.

Las secantes, por su parte, se clasifican en dos: perpendiculares y oblicuas.

En las rectas perpendiculares, tanto los ángulos adyacentes (comparten un lado) como los opuestos por el vértice (comparten el vértice y cada lado es extensión de un lado del otro ángulo) son iguales.

En las rectas oblicuas sólo los ángulos opuestos por el vértice son iguales. En este caso, dos de los ángulos opuestos por el vértice son obtusos y los otros dos son agudos, de forma tal que los adyacentes sean suplementarios (suman 180°). Como cada par de ángulos adyacentes suman 180°, los ángulos opuestos por el vértice deben ser iguales.

Otra forma de entender a las rectas perpendiculares es que forman dos ángulos adyacentes iguales y eso sólo es posible si ambos miden 90°.

Si en vez de rectas completas se toman sólo segmentos, también se pueden encontrar segmentos de recta perpendiculares que forman una L, o una T, además de la típica cruz: +, aunque no necesitan estar en esa posición, «derechitos», pueden estar giradas o en espejo y seguirán formando ángulos rectos.

Segmentos de recta paralelos, perpendiculares, oblicuos y coincidentes en las figuras geométricas planas

Las figuras geométricas están definidas por ciertas características. En esta sección mencionaré principalmente las que tienen qué ver con paralelismo y perpendicularidad, más algunas otras complementarias. En la siguiente entrada, que dedicaré a los distintos tipos de ángulos, complementaré la información.

Triángulos:

Las alturas son perpendiculares a las bases (por definición).

En un triángulo rectángulo, los dos catetos son perpendiculares.

Además, si se traza la altura usando como base uno de los catetos, el segmento de recta correspondiente a la altura es coincidente con el otro cateto.

Ver más sobre triángulos aquí.

Cuadriláteros:

En un cuadrado, los lados opuestos son paralelos entre sí y las diagonales son perpendiculares entre sí. Los cuatro lados miden lo mismo y los lados consecutivos son perpendiculares. Los cuatro ángulos miden lo mismo (son rectos). Las dos diagonales también.

En un rectángulo, los cuatro ángulos miden lo mismo (son rectos), por lo que los lados consecutivos son perpendiculares. Los lados opuestos son paralelos entre sí y miden lo mismo dos a dos, pero las diagonales no necesariamente son perpendiculares entre sí, aunque sí miden lo mismo. Cuando las diagonales son perpendiculares, se trata de un cuadrado.

En un rombo, las diagonales son perpendiculares entre sí, aunque no necesariamente miden lo mismo. Los lados opuestos son paralelos entre sí y los cuatro miden lo mismo. Cuando las diagonales miden lo mismo, se trata de un cuadrado.

En un romboide, los pares de lados opuestos son paralelos entre sí, aunque no necesariamente miden lo mismo. Las diagonales no son necesariamente perpendiculares entre sí. Cuando son perpendiculares, se trata de un rombo. Si además son iguales, se trata de un cuadrado.

Los cuadriláteros con dos pares de lados paralelos se conocen como paralelogramos.

En un trapecio, sólo dos lados son paralelos entre sí, pero las diagonales no necesariamente son perpendiculares entre sí. La altura se mide de forma perpendicular a uno de los lados que son paralelos.

Si el trapecio tiene dos lados iguales, es isósceles, si no, es escaleno. Si tiene dos ángulos rectos, es rectángulo, si no, es oblicuángulo.

Un cuadrilátero en el que no haya ningún par de lados paralelos es un trapezoide.

Ver más sobre cuadriláteros y polígonos regulares aquí.

Polígonos regulares:

Si tienen un número par de lados n, tienen n/2 pares de lados paralelos. Por ejemplo, un hexágono (6 lados), tiene 3 pares de lados paralelos.

La apotema se mide de forma perpendicular a cualquiera de los lados.

Círculos

Lo sé, los círculos no están formados por segmentos de rectas, sin embargo hay rectas notables en ellos que tienen características como las que estamos revisando aquí. Una de ellas es la recta tangente, que es perpendicular al radio que toca la circunferencia en el punto de tangencia. Ver más sobre círculos aquí.

¿En qué otras figuras geométricas se presentan segmentos de rectas paralelas o perpendiculares?

Un dato interesante

¿Saben cómo se identificaba hace tiempo que dos líneas eran perpendiculares? Una forma era con el teorema de Pitágoras. Por ejemplo, una cuerda cerrada con 12 nudos equidistantes la acomodaban de tal forma que formara un triángulo. La línea de los 3 nudos (a) y la de los 4 nudos (b) eran perpendiculares si la de 5 nudos está estirada.

¿Y para saber si 2 líneas eran paralelas?, no estoy segura de cómo le hacían, pero algo que se me ocurre es medir la distancia entre ambas en un punto, caminar la misma distancia hacia el mismo lado y volver a medir la distancia entre ambas. Si permanece, se pueden considerar paralelas.

¿Qué otras formas se les ocurren para identificar el paralelismo y la perpendicularidad?

¿En dónde es importante que las líneas sean paralelas?

En las vías del tren

En los pasamanos de una escalera eléctrica

En el chasís de un tren/coche/tren de aterrizaje de un avión

…

¿En dónde es importante que las líneas sean perpendiculares?

En los durmientes de las vías del tren

Los escalones de la escalera eléctrica son perpendiculares a los pasamanos

El eje de las llantas es perpendicular al largo del chasís de un coche.

…

¿Antónimos?

No, paralelo y perpendicular no son antónimos, sólo son diferentes, porque hay líneas que no son entre sí ni paralelas ni perpendiculares.

De la misma forma, horizontal y vertical no son antónimos, porque hay líneas inclinadas.

Por cierto, por alguna extraña razón, a algunos alumnos les cuesta relacionar las palabras horizontal y vertical con su significado, supongo que por lo descontextualizado que se los enseñaron.

A mí me gusta recordarles que las palabras horizonte y horizontal están relacionadas (forman parte de la misma familia de palabras). Si recuerdan cómo se ve el horizonte podrán recordar cuál es la posición de un objeto horizontal. Por eliminación recordarán cuál es la posición de vertical.

Para cerrar

Para que las palabras les sirvan a dos personas para comunicarse, deben significar lo mismo para ambas. Confío en que la entrada de hoy sirva para que les quede más claro el significado de paralelo, perpendicular, oblicuo, coincidente al referirse a pares de rectas, así como sus implicaciones en las figuras geométricas planas básicas.

Gracias a todos los que leen y comparten estas ideas, por ayudarme a difundir el mensaje.

¡Hasta el siguiente miércoles!

Rebeca

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