He comentado en ocasiones anteriores que las matemáticas son la ciencia del reconocimiento de patrones. También puede considerarse que es una ciencia que nos permite tanto entender el orden de lo que observamos, como explicarlo, mediante cadenas de razonamientos, a través de objetos matemáticos.

Entre esos objetos matemáticos están la recta numérica, con sus puntos y el plano cartesiano, con sus coordenadas cartesianas. Ellos son de gran ayuda, entre otras cosas, para ordenar y entender de forma visual lo que ocurre en el mundo.
Como todo en matemáticas, si conocemos los cuidados que es necesario tener, podemos salir adelante al localizar puntos en la recta y coordenadas en el plano cartesiano. Como tantas cosas en matemáticas, asusta un poco (o un mucho) cuando no se entiende. He escuchado demasiadas veces entre mis alumnos recién llegados a la universidad decir que no les gusta graficar, al grado que he mandado a hacer unas reglas con un mensaje alentador para que lo tengan presente cuando se enfrenten a una gráfica:

¡Si puedo! ¡Vale el esfuerzo!

Veamos qué cuidados es necesario tener… para poder.

La recta numérica

Empezó a usarse apenas en el siglo XVII, lo cual significa que antes los niños no hacían saltar a una ranita para atrás y para delante de la recta numérica para sumar y restar (como aprendí yo y quizá más de alguno de ustedes). Probablemente usaban los dedos o algún otro apoyo concreto.

La recta numérica es una línea recta en la que se pueden ubicar todos los números reales debido a que está graduada, es decir, tiene marcados los números enteros ordenados y espaciados homogéneamente (a la misma distancia cada uno y el siguiente).

Las flechas indican que continúa hasta el infinito en ambos sentidos.

Al centro de la recta numérica va el número cero, a la derecha van los positivos y a la izquierda los negativos. Recordemos que el cero no tiene signo.

El número con el que se identifica cualquier punto en la recta numérica indica la distancia de dicho punto hacia el centro de la misma.

Los números enteros se ubican directamente en la posición correspondiente al número. El -2 está 2 unidades a la izquierda (por ser negativo) del 0 mientras que el 1 está 1 unidad a la derecha (por ser positivo) del 0.

Para ubicar las fracciones es necesario tener ciertos cuidados (ver más sobre tipos de fracciones aquí):

Las fracciones propias positivas siempre van entre el 0 y el 1. Para ubicar 3/4, por ejemplo, se divide la unidad en cuatro partes y se elige la tercera división. Para ubicar 1/2, se divide la unidad en dos partes y se elige la primera división.

Las fracciones aparentes son realmente números enteros, por lo que van en la posición entera correspondiente:

Las fracciones impropias podemos reescribirlas como números mixtos para que sea más sencillo ubicarlas. Es muy importante que la recta numérica tenga al menos hasta la unidad siguiente al ubicar un número mixto, para que la partición de la última unidad pueda hacerse adecuadamente:

Para ubicar los números con decimales (como los irracionales), se parte la unidad en 10 partes y se ubica tan aproximado como se pueda la posición del punto. 1.45 está a la mitad entre 1.4 y 1.5:

La recta numérica resulta muy útil para ordenar números y distinguir cuál es mayor, al ubicar cada uno sobre dicha recta.

El que esté más a la derecha será siempre mayor: 1.5 < 7/4

Cuidado especial con los negativos

Los números negativos y positivos se acomodan de manera simétrica sobre la recta numérica, con el 0 como eje de simetría. Eso significa que si el 0.9 se ubica un poco a la izquierda del 1, el -0.9 se ubica un poco a la derecha del -1.

De la misma forma, si el 2.1 se ubica un poco a la derecha del 2, el -2.1 se ubica un poco a la izquierda del -2.

Para tomar en cuenta

A la recta numérica también se le conoce como recta real y se le considera una representación visual del conjunto de los números reales, los cuales tienen un orden que se aprecia en la recta. Como habíamos mencionado, cualquier número a la derecha de otro es mayor a él.

Sin embargo, si bien se pueden identificar y marcar todos los números enteros que pertenecen al tramo de recta numérica que dibujamos, no es posible marcar todas las fracciones ni todos los decimales, porque siempre habrá más entre cada par que identifiquemos.

Entre 1 y 2 no existe ningún otro entero. En cambio, entre  5/7 y 6/7 está el 11/14 y entre 1.45 y 1.46 está el 1.455.

Cuidados al medir

Recordemos que el cero siempre es el punto de partida. Entonces, para medir algo con una regla o con una cinta métrica, se acomoda el cero en la orilla de lo que se va a medir y se revisa en qué valor de la regla quedó la otra orilla para determinar cuánto midió el objeto. Lo menciono porque he visto algunos niños que creen que lo correcto es poner el 1 de la regla en la orilla del objeto, lo cual les da una medida 1 unidad menor a la real.

La recta numérica para sumar y restar

Mencioné antes que recuerdo haber aprendido a sumar, entre otras formas, poniendo a brincar a una ranita sobre la recta numérica.

Por ejemplo, para sumar 3 más 2, la rana partía del 0, daba 3 saltos y luego otros 2, para llegar al número 5, que es la suma de 3 más 2.

Algo similar se hacía para restar, por ejemplo, 5 – 2. La rana saltaba 5 unidades y luego saltaba 2 de regreso, para llegar al 3, que era la respuesta.

Considero que es una forma útil para iniciar a un niño en la suma y la resta. Ayuda a recordar el orden de los números y a comprender el concepto de cada operación. Sólo que no debe ser la única forma en que se enseñe, para evitar encasillar el conocimiento.

Plano cartesiano

Cuenta la leyenda que estaba René Descartes acostado en su cama por una enfermedad, cuando vio a una mosca volar y pararse en diferentes posiciones en el techo. Sin tener otra cosa mejor qué hacer, se le ocurrió inventar un método que le permitiera saber dónde estaba parada la mosca en un momento dado. Se dio cuenta de que podía decir que la mosca estaba parada en el techo a tantos centímetros de la pared del fondo y a tantos centímetros de la pared izquierda. Eso le proporcionaba con exactitud la posición de la mosca. Ese día nació el plano cartesiano.

Nota: la historia pudo haber sido un poco distinta, escribí aquí una versión libre. Ocurrió en el siglo XVII,  cuando ya existía la recta numérica.
Ah, por si se lo preguntaban, la imagen principal de esta entrada alude a la rana de la recta numérica y a la mosca de la historia del plano cartesiano a la vez.

¿Cómo se construye un plano cartesiano?

Se colocan dos rectas numéricas una perpendicular a la otra, haciendo que intersecten en el cero de ambas. Al punto de intersección se le llama origen.

A la recta horizontal se le llama eje de las abscisas, o de las “x” y a la recta vertical se le llama eje de las ordenadas, o de las “y”.

El eje «x» tiene los números positivos hacia la derecha y el eje «y» tiene los números positivos hacia arriba.

Los espaciados entre los números deben ser del mismo tamaño, aunque en casos muy especiales se pudiera llegar a cambiar la escala (tamaño de los espacios) entre los ejes, cuando se quiera representar algo que con la escala regular no se apreciaría bien.

Normalmente se agregan flechas a la derecha de la recta horizontal y arriba de la recta vertical.

Las dos rectas dividen el plano cartesiano en cuatro cuadrantes, que se numeran en el sentido contrario a las manecillas del reloj (llamado también sentido matemático), de la siguiente forma:

¿Cómo se ubica un punto en el plano cartesiano?

Las distancias que imaginó Descartes se miden a lo largo de cada una de las rectas numéricas para localizar cada punto.

Esas distancias se dan en pares ordenados, eso significa que tienen un orden, que es muy importante respetar. Se escriben entre paréntesis, con una coma separando los dos datos, y siempre se da primero la distancia, con respecto al origen, en x y después la distancia, con respecto al origen, en y, así: (x,y).

En el cuadrante I, ambos datos son positivos.

En el cuadrante II, el dato de la x (abscisa) es negativo y el de la y (ordenada) es positivo.

En el cuadrante III, ambos datos son negativos.

En el cuadrante IV, el dato de la x (abscisa) es positivo y el de la y (ordenada) es negativo.

Los puntos que están sobre los ejes no se considera que pertenecen a los cuadrantes, pues tienen uno de los datos igual a cero (sin signo):

En el origen, ambos datos son 0.

Los puntos sobre el eje x tienen ordenada igual a 0 siempre.

Los puntos sobre el eje y tienen abscisa igual a 0 siempre.

Veamos algunos ejemplos de puntos localizados en el plano cartesiano:

Todos los cuidados que es necesario tener al ubicar puntos en la recta numérica se deben tener (y por partida doble) al ubicar puntos en el plano cartesiano.

El cuidado extra que se requiere es el asegurarse de tomar el primer dato para medir la distancia horizontal y el segundo dato para medir la distancia vertical, ambas del punto al origen.

De los nueve puntos localizados en el plano cartesiano anterior, sólo tres: (-1,-1), (0,0) y (1,1) se localizarían en el mismo lugar si los interpretamos al revés, por tener los mismos datos en ambas posiciones. Para el resto, (0,-1) y (-1,0), (0,1) y (1,0), (-1,1) y (1,-1) el orden (x,y) es muy importante para ubicarlos correctamente.

Brevísimo paréntesis sobre funciones:

El hecho de que una de las coordenadas sea cero cuando el punto está sobre un eje es el que permite determinar las intersecciones con los ejes de forma analítica cuando se tiene una función:

La intersección con el eje y tendrá la forma (0,y), por lo que se obtiene sustituyendo x=0 y calculando el valor de y.

Las intersecciones con el eje x tendrán la forma (x,0), por lo que se obtienen sustituyendo y=0 y encontrando los valores de x que cumplen la igualdad.

Cuando la función pasa por el origen, al sustituir x=0 se obtiene y=0.

Fin del paréntesis.

Para cerrar

Localizar puntos en la recta numérica nos permite ordenarlos y compararlos. Localizar puntos en el plano cartesiano tiene otras aplicaciones interesantes, además de saber cuál está más lejos o más cerca del origen en sentido horizontal o vertical. Por cuestiones de espacio, dedicaré una entrada posterior a esas aplicaciones.

Muchas gracias a los lectores por leer y compartir con aquellos a quienes consideren que les puede resultar útil.

Hasta la próxima semana.

Rebeca

PD1: Aún no he logrado insertar en esta sección un botón que permita seguir el blog… lamento la molestia que implica ir a la página principal para hacerlo.

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Hice muchas imágenes en Geogebra

Licencia imagen Descartes: Ivan Podornikov, M.A. en Filosofía, Concordia Montreal / Paris-Sorbonne University, tomada de: http://www.supercoloring.com/es/dibujos-para-colorear/rene-descartes