Productos y Cocientes Elevados a Potencias

 

Objetivos de Aprendizaje

·         Elevar un producto a una potencia.

·         Elevar un cociente a una potencia.

·         Simplificar expresiones usando una combinación de las propiedades.

 

Introducción

 

Las reglas de los exponentes son muy útiles cuando simplificamos y evaluamos expresiones. Cuando multiplicas, divides o elevas a una potencia, usar las reglas de los exponentes te ayuda a hacer el proceso más eficiente. Ahora veamos estas reglas para encontrar el producto o cociente de una potencia.

 

 

Un Producto Elevado a una Potencia

 

Una vez que entiendes las reglas de los exponentes, puedes empezar a resolver expresiones complicadas más fácilmente. Recuerda que cuando tienes la potencia de una potencia, multiplicas los exponentes, (xa)b = xa·b.

 

¿Qué pasa cuando elevas toda una expresión dentro de paréntesis a una potencia? Puedes usar las técnicas que ya conoces para simplificar esta expresión.

 

             (2a)4  =  (2a)(2a)(2a)(2a)  =  (2 • 2 • 2 • 2)(a • a • a • a) = (24)(a4) = 16a4

 

Observa que el exponente se aplica a cada factor de 2a. Entonces, podemos eliminar los pasos intermedios.

 

(2a)4  =  (24)(a4), aplicando el 4 a cada factor, 2 y a.

= 16a4

 

El producto de dos o más números elevados a una potencia es igual al producto de cada número elevado a esa potencia.

 

Un Producto Elevado a una Potencia

 

Para cualesquiera números a y b distintos de cero y cualquier entero x, (ab)x = ax • bx.

 

 

 

¡Precaución!  No intentes aplicar estas reglas a sumas. Piensa en la expresión (2 + 3)2. ¿Es (2 + 3)2 igual a 22 + 32 ? No, no lo es t — (2 + 3)2 = 52 = 25 y 22 + 32  = 4 + 9 = 13. Entonces, solamente puedes usar esta regla cuando los números dentro del paréntesis están siendo multiplicados (o divididos, como veremos a continuación).

 

 

Ejemplo

Problema

Simplificar. (2yz)6

 

 

26y6z6

 

Aplicar el exponente a cada número en el producto.

Respuesta

(2yz)6 = 64y6z6

 

 

 

Si la variable tiene un exponente, usa las reglas de las potencias: multiplica los exponentes.

 

 

Ejemplo

Problema

Simplificar. (−7a4b)2

 

 

(−7)2(a4)2(b)2

Aplica el exponente 2 a cada factor dentro del paréntesis.

 

49a4•2 b2

Eleva al cuadrado el coeficiente y usa la regla de la potencia para elevar al cuadrado (a4)2.

 

49a8 b2

Simplificar.

Respuesta

(−7a4b)2 = 49a8 b2

 

 

 

Simplificar la expresión.

(−3x3y2)4

 

A) x4y4

B) -81xy8

C) 81x12y8

D) 81x7y6

 

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A) x4y4

Incorrecto. Recuerda aplicar el exponente a todos los términos dentro del paréntesis, incluyendo el coeficiente. (−3x3y2)4 = (−3)4(x3)4(y2)4; la respuesta correcta es 81x12y8.

 

B) -81xy8

Incorrecto. Recuerda aplicar el exponente a todos los términos dentro del paréntesis, incluyendo el coeficiente. (−3x3y2)4 = (−3)4(x3)4(y2)4; la respuesta correcta es 81x12y8.

 

C) 81x12y8

Correcto. ( 3x3y2)4 = (−3)4(x3)4(y2)4 = 81x12y8.

 

D) 81x7y6

Incorrecto. Recuerda que debes multiplicar los exponentes (no sumarlos) cuando elevas una potencia a una potencia. En este caso, (−3x3y2)4 = (−3)4(x3)4(y2)4 = −34 · x3·4 · y2·4. La respuesta correcta es 81x12y8.

 

 

 

Un Cociente Elevado a una Potencia

 

Ahora veamos lo que pasa si elevas un cociente a una potencia. Supongamos que tienes  y lo elevas a la 3ra potencia.

 

 

Puedes ver que elevar un cociente a la potencia 3 también se puede escribir como el numerador (3) a la potencia de 3, y el denominador (4) a la potencia de 3.

 

De manera similar, si usas variables, el cociente elevado a una potencia es igual al numerador elevado a la potencia sobre el denominador elevado a la potencia.

 

 

Cuando un cociente es elevado a una potencia, puedes aplicar la potencia al numerador y al denominador individualmente, como se muestra abajo.

 

 =

 

Un Cociente Elevado a una Potencia

Para cualquier número a, y cualquier número b distinto de cero, y cualquier entero x, .

 

 

Ejemplo

Problema

Simplificar.

 

 

Aplicar la potencia a cada factor individual.

 

Separar en factores numéricos y variables.

 

Simplificar elevando el 2 a la tercera potencia y aplicando la regla de los exponentes — restando los exponentes de variables iguales.

 

Simplificar. Recuerda que x0 = 1.

Respuesta

 = 8y3

 

 

 

Simplificar la expresión.

 

A)

B)

C)

D)

 

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A) 1

Incorrecto. Sigue el orden de las operaciones. Primero aplica el exponente a cada variable en el producto, y luego usa la regla del cociente — resta los exponentes en términos que tengan la misma base. La respuesta correcta es .

 

B)

Correcto. Primero aplica el exponente a cada variable en el producto, y luego usa la regla del cociente — resta los exponentes en términos que tengan la misma base.

 

C)

Incorrecto. Si bien  es equivalente a , no está simplificado. Primero aplica el exponente a cada variable en el producto, y luego usa la regla del cociente — resta los exponentes en términos que tengan la misma base. La respuesta correcta es .

 

D)

Incorrecto. Esta es una expresión equivalente pero no está simplificada. Primero aplica el exponente a cada variable en el producto, y luego usa la regla del cociente — resta los exponentes en términos que tengan la misma base. La respuesta correcta es

 

 

 

Simplificando y Evaluando Expresiones con Exponentes

 

Ahora veamos algunas expresiones complejas para aplicar las reglas que te pueden ayudar a trabajar más fácilmente con exponentes. Si bien en principio estas expresiones se ven complicadas, sólo sigue las reglas de los exponentes para simplificarlas!

 

 

Ejemplo

Problema

Simplificar.

 

 

Recuerda que con exponentes negativos, puedes usar el recíproco, y moverlo al denominador con un exponente positivo.

 

Separa en factores numéricos y variables y aplica el exponente a cada uno.

 

 

 

Divide 1,024 entre 16, y resta exponentes usando la regla del cociente.

Respuesta

 

 

 

Al usar las reglas de los exponentes, has obtenido una expresión equivalente, 64x7, con la que es más fácil trabajar comparada con .

 

Las reglas de los exponentes también son útiles cuando evalúas expresiones para cierto valor de una variable.

 

 

Ejemplo

Problema

 Evalúa cuando x = 4 y y = −2

 

 

En el denominador, observa que un producto se está elevando a una potencia. Usa las reglas de los exponentes para simplificar el denominador.

 

Simplifica 22 y multiplica los exponentes por x.

 

 

Separa en factores numéricos y variables.

 

 

Divide los coeficientes, usa la regla del cociente para dividir las variables — resta los exponentes.

 

Simplifica. Recuerda que y0 es 1.

 

Sustituye el valor 4 por la variable x.

Respuesta

 = 96 cuando x = 4 y y = −2

 

 

Observa que pudiste haber trabajado el problema sustituyendo 4 por x y 2 por y en la expresión original De todos modos obtendrías la respuesta de 96, pero el cálculo habría sido mucho más complejo. También, no fue necesario usar el valor de y para evaluar la expresión.

 

 

Simplificar.

 

A)

 

B)

 

C)

 

D)

 

Mostrar/Ocultar Respuesta

A)

Incorrecto. El primer término ha sido elevado a una potencia, pero puedes simplificarlo aun más. Los dos factores no han sido multiplicados. La respuesta correcta es .

 

B)

Incorrecto. El coeficiente del primer término también debe elevarse a la potencia. La respuesta correcta es .

 

C)

Incorrecto. Cuando calculas la potencia de una potencia se multiplican los exponentes. La respuesta correcta es .

 

D)

Correcto. En tu respuesta, cada variable aparece sólo una vez, los coeficientes han sido multiplicados, y no hay potencias de potencias. , que se simplifica como .

 

 

 

Sumario

 

Hay muchas reglas que se pueden usar cuando trabajamos con expresiones exponenciales. Puedes usar estas reglas, así como la definición de los exponentes, para simplificar expresiones complejas. Simplificar una expresión antes de evaluarla a veces puede hacer el cálculo más sencillo.