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Proposiciones
- 1. Universidad Fermín Toro Vice-rectorado Académico Decanato de Ingeniería Departamento de Mantenimiento Mecánico PROPOSICIONES Henderson Quevedo JUNIO 2012
- 2. Proposición “Una proposición se define como un enunciado, una oración declarativa, o una expresión simbólica, de la cual se puede decir sin ambigüedad, que es verdadera o falsa, pero no ambas”. Ejemplo: La Coca-Cola es una empresa transnacional…………………………………… verdadero. Todos los alumnos del ITESCAM son menores de edad……..…………………….. falso El grupo de ing. mecatrónica está iniciando el curso de matemáticas discretas…….……. verdadero. La veracidad (V) o falsedad (F) de una proposición se llama valor de verdad y viene dada por algún criterio independiente de la proposición. Expresiones que no son proposiciones Todas las proposiciones son oraciones, pero no todas las oraciones son proposiciones, las oraciones exclamativas, exhortativas o imperativas, las desiderativas y las exclamativas o admirativas no son proposiciones porque ninguna de ellas afirma o niega algo, por lo tanto no son verdaderas ni falsas, así mismo las oraciones dubitativas, así como los juicios de valor (a pesar de que afirman algo), no constituyen proposiciones, pues su veracidad o falsedad no puede ser establecida. Expresiones que no son Porque no es una proposición proposiciones Ejemplos: Proposición ¡Viva la familia! Exclamación o admiración ¿Está lloviendo? Pregunta Lávate la cara Imperativa u orden Pedro es muy malo Juicio de valor Debemos honrar a nuestros Exhortativa héroes Que tengas muy buen día Desiderativa Quizá llueva mañana Dubitativa Toda proposición es una oración aseverativa (afirman algo), pero no toda oración aseverativa es una proposición.
- 3. Ejemplos: · Eduardo es un número racional · La mesa es inteligente ·X+3=5 · A es la capital de Campeche Todas las anteriores son ejemplos de expresiones aseverativas, pero no de proposiciones, son expresiones lingüísticas que tienen apariencia de proposiciones, pero que realmente no lo son porque no tiene sentido o no se puede afirmar que son verdaderas o falsas. En conclusión, para que una expresión sea proposición debe cumplir con los siguientes requisitos: · Ser oración. · Afirmar algo. · Ser bien verdadera o bien falsa Variables proposiciones Las proposiciones se representan mediante variables proposicionales simbolizadas con letras minúsculas p, q, r,...... que se denominan átomos. Ejemplo: p: Calkiní es un municipio del estado de Campeche. q: Un gobernador puede reelegirse según la constitución política mexicana. De esta manera podemos decir que “p” puede ser verdadera o falsa dependiendo de alguna situación, lo mismo para “q” y así poder asignarle valores de verdad. Estos símbolos pueden modificarse o combinarse mediante conectivos lógicos dando lugar a proposiciones compuestas o moleculares. Conectivos Lógicos (Términos de Enlace) “Son palabras y/o símbolos que enlazan proposiciones con el fin de construir un lenguajes (verbal o simbólico) más amplio”. Los conectivos lógicos más usuales son: |
- 4. La jerarquía de las proposiciones son: negación, conjunción, disyunción, implicación, bicondicional y son asociadas por la izquierda. De esta manera sin nos encontramos ante la siguiente proposición: p →q ¬r El correcto para resolverlo sería para este caso: 1. Primero negamos r ( ¬r ) 2. Luego resolvemos la conjunción (q ¬q) 3. Por último resolvemos la implicación → Pero tiene mayor los signos de agrupación, des esta manera, si nos encontramos con la proposición: (p →q) ¬r 1. Primero resolvemos la implicación (p →q) 2. Luego hacemos la negación de r ( ¬r ) 3. Por ultimo la conjunción. Incorrectos los siguientes ejemplos: p¬ q↔r Solo por mencionar algunos ejemplos, porque podrían haber muchas combinaciones incorrectas. Formulas bien formadas (wff) A la combinación de proposiciones y
- 5. conectivos se la denomina fórmula bien formada (well-formed formula, wff). Una fórmula bien formada puede ser una proposición simple o compuesta que tiene sentido completo y cuyo valor de veracidad, puede ser determinado. Ejemplos: [ p ( p q ) ] q ; [ p (p q ) ] q [(pq)(pr)](qr) No todas las formulas son bien formadas, si a una formula no se le puede dar un valor se dice que no es un formula bien formada. Como podemos observar los operadores se colocan a la izquierda de la variable proposicional, siendo incorrectos los siguientes ejemplos: Tablas de verdad Son un instrumento empleado en la lógica proposicional, para indicar las diferentes interpretaciones de una fórmula y el resultado de las mismas. Representan de manera gráfica todas las posibles combinaciones de los valores de verdad que se formen de las proposiciones. Sus valores pueden ser V (verdadero) o F (falso), 1 (encendido) o 0 (apagado), para saber cuantas filas deben utilizarse se aplica la formula 2n donde “2” representa los dos posibles valores que puede tomar y “n” es el número de proposiciones con las que se forme la formula. Proposición con forma Disyuntiva o Disyunción Una proposición Disyuntiva, es aquella que está formada por proposiciones atómicas o moleculares, digamos p y q, con el conectivo Lógico “o”. Se simboliza así: “V”, se escribe: p v q y se lee: “p o q” Existen dos operadores de disyunción: La disyunción exclusiva o excluyente y la disyunción inclusiva o incluyente.
- 6. Disyunción Inclusiva Son dos o mas proposiciones de las cueles puedo elegir una o mas de una, se caracteriza por permitir que las proposiciones que contiene sean todas verdaderas, así que se le llama también Incluyente. A continuación se presenta una tabla de los valores que puede tener la Disyunción Inclusiva: El joven se encuentra ante dos situaciones que reflejaremos en las siguientes proposiciones: · p: Juan saca 10 en su examen semanal. · q: Juan lava el coche de su papá de lunes a viernes. · p v q: Juan saca 10 en su examen semanal o lava el coche de su papá de lunes a viernes Proposición con forma de Negación “La negación es una operación unitaria que se aplica a una proposición y tiene el efecto de revertir el valor de verdad”. Se simboliza así: “¬” o con el símbolo “ ’ ”, se escribe: ¬ p y se lee: No p; negación de p; o, No es cierto que p, esto es, si p es verdadera entonces ¬p es falsa, y si p es falsa entonces ¬p es verdadera. Una proposición de este tipo, puede estar formada por una proposición atómica o molecular a diferencia de los otros conectivos que afectan a mas de una, digamos p, con el conectivo Lógico “No”. CONJUNCIONES COORDINANTES Unen elementos (palabras u oraciones) que están en el mismo nivel jerárquico, es decir, Que realizan la misma función o pertenecen a la misma categoría gramatical. Yo canto y bailo (aquí la conjunción copulativa y une a canto y bailo, que son dos
- 7. Verbos). CONJUNCIONES SUBORDINANTES Establecen una relación entre dos proposiciones (oraciones) de distinta jerarquía. Una De ellas está subordinada a la otra, es decir, necesita de ella para tener significación plena, y Además realiza una función sintáctica de la proposición principal. Conectivos lógicos: Uno de los procesos por los cuales adquirimos conocimiento es el proceso de razonamiento, por ejemplo hay personas que no saben sumar pero pueden hacer sus compras basándose en simples conductas lógicas que han ido aprendiendo a lo largo de sus vidas. A su vez, hay una variedad de modos o formas mediante las cuales razonamos o argumentamos a favor de una conclusión que puede ser cierta o no. Ciertas formas de razonamiento parecen mostrar que si se suponen ciertas premisas, entonces la conclusión se sigue necesariamente. A tales razonamientos se los ha denominado deductivos y forman el objetivo central de lo que clásicamente se ha denominado lógica. En un sentido amplio, el término lógico hace referencia al estudio de todos los razonamientos, y en un sentido estricto ha estado circunscrito al estudio del razonamiento deductivo. Cierto tipo de razonamiento deductivo se basa en la lógica proposicional. Lo que caracteriza a la lógica proposicional es que toma como unidades básicas a las proposiciones y que tiene en cuenta como se combinan entre ellas por medio de conectivos lógicos para formar argumentos Válidos.