0. DEFINICIONES PREVIAS

0.1 PROYECCIÓN ORTOGONAL

Se denomina proyección ortogonal (o simplemente proyección) de un punto sobre una recta, al pie de la perpendiculartrazada desde el punto a la recta.

Se denomina proyección de un segmento sobre una recta, al segmento que tiene por extremos las proyecciones del segmento primitivo.

0.2 ALTURA

Es la perpendicular trazada desde un vértice al lado opuesto.

figura 2

Si la perpendicular desde A al lado opuesto encuentra a dicho lado en H solemos escribir

Y se distinguimos las tres posibles alturas según los tres vértices, usaremos

0.3 MEDIANA

Es la recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.

figura 3

Si la mediana desde A al encuentra al lado opuesto en M solemos escribir

Y se distinguimos las tres posibles medianas según los tres vértices, usaremos

0.4 BISECTRIZ

Es la recta bisectriz del ángulo que forman dos lados en ese vértice.

Si se considera el ángulo interior al triángulo, obtenemos una bisectriz interior.

Si se considera el suplementario al ángulo interior al triángulo, obtenemos una bisectriz exterior.

figura 4

Si la bisectriz interior en A encuentra al lado opuesto en W solemos escribir

Y se distinguimos las tres posibles bisectrices interiores según los tres vértices, usaremos

Si la bisectriz exterior en A encuentra al lado opuesto en W’ solemos escribir

Y se distinguimos las tres posibles bisectrices exteriores según los tres vértices, usaremos

0.5 CEVIANA

Es cualquier recta que pasa por un vértice del triángulo.

0.6 CEVIANA ISOGONAL

Dos cevianas por un mismo vértice se denominan isogonales respecto los lados del triángulo; cuando forman ángulos iguales con los lados; es decir, cuando son simétricas respecto a la bisectriz por ese vértice.

figura 5

0.7 RECTAS ANTIPARALELAS

Dos rectas a y b se llaman antiparalelas respecto a una tercera c, si una de ellas, b, es paralela a la simétrica de a respecto de c.

La recta c es antiparalela con a y b al ser paralela a una de las bisectrices del ángulo ∠ab.

La recta d también es antiparalela (ver figura 6).

Las rectas c o d son antiparalelas con las rectas a y b cuando forman ángulos iguales y en consecuencia forman triángulos isósceles.

figura 6

1. TEOREMAS PARA TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

1.1 TEOREMA DE LAS RECTAS ANTIPARALELAS

Si dos rectas AB, A'B' cortan a los lados de un ángulo ∠AOB, de tal manera que el ángulo que una de ellas forma con el primer lado del ángulo, es igual al que la otra forma con el segundo; estas dos rectas con antiparalelas respecto al ángulo ∠O.

figura 7

Observando la figura 7 vemos que

de lo que se deduce que A, B, A’, B’ son cocíclicos. Es decir, pertenecen a la misma circunferencia y entonces el cuadrilátero ABB’A’ es inscriptible.

Como ΔAOB es semejante a ΔA'OB' podemos escribir:

que no es más que la potencia del punto O respecto al círculo ABB’A’.

Si trazamos las bisectrices de los ángulos ∠O y ∠O’ se cortarán en P.

E1 triángulo ΔAOM está formado por los ángulos ∠A, ∠α, ∠β.

En el triángulo ΔONB' tenemos los ángulos:

lo que nos dice que el triángulo ΔMNO’ es isósceles, y la bisectriz 0'P es mediana y altura.

Corolario 1.1

Las bisectrices de un caudrilátero inscriptible, se cortan formando un ángulo recto. Determinan los segmentos

luego la figura MSNR es un rombo inscrito en el cuadrilátero ABB'A’.

1.2 TRIÁNGULO RECTÁNGULO - TEOREMA DEL CATETO

Cada cateto de un triángulo rectángulo es media proporcional entre la hipotenusa y su proyección sobre ella

figura 8

Demostración 1.2

Primera demostración

Demostremos, por ejemplo, que AB es media proporcional entre BC y BD, sólo basta ver que los dos triángulos rectángulos ΔABD y ΔABC son semejantes, ya que tienen en común el ángulo ∠A. Los homólogos de los lados AB y BD del primer triángulo son los lados BC y AB del segundo

Del mismo modo obtenemos

Segunda demostración

En el triángulo ΔABC rectángulo en A, la altura AH sobre la hipotenusa BC y un cateto, por ejemplo AC, son rectas antiparalelas respecto de los lados del ángulo formado por dicha hipotenusa y el otro cateto, ya que:

Corolario 1.2

Este teorema da un método de construir un segmento x media proporcional entre dos segmentos dados a y b.

Construimos un triángulo rectángulo de hipotenusa BC=a y uno de cuyos catetos se proyecte según BH=b. A, el vértice del ángulo recto, tiene que estar situado en la circunferencia de diámetro BC y en la perpendicular a BC por H. El cateto AB=x es la media proporcional pedida.

figura 9

Toda cuerda de una circunferencia es media proporcional entre el diámetro por uno de sus extremos y su proyección sobre él.

1.3 TRIÁNGULO RECTÁNGULO - TEOREMA DE LA ALTURA

La altura sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es media proporcional entre los segmentos en que divide a ésta.

Recíprocamente, si se verifica lo anterior, el triángulo ΔABC es rectángulo.

Demostración 1.3

Los triángulos ΔABH y ΔCAH son semejantes ya que tienen todos sus lados perpendiculares (o ∠ABH=∠CAH)

Para el recíproco, si se verifica el directo, se infiere la semejanza de los triángulos rectángulos ΔBAH y ΔACH y por tanto

Corolario 1.3

Este teorema da un método de construir un segmento x media proporcional entre dos segmentos dados a y b.

Construimos un triángulo rectángulo de hipotenusa BC=BH+HC=a+b y cuyo vértice opuesto A se proyecte en H; es decir, A tiene que estar situado en la circunferencia de diámetro BC y en la perpendicular por H a BC El segmento AH=x es el segmento media proporcional pedida.

figura 10

Toda semi-cuerda de una circunferencia es media proporcional entre los segmentos en que divide al diámetro perpendicular.

En un círculo, la perpendicular al diámetro desde un punto cualquiera es media proporcional entre los segmentos que determina sobre este diámetro.

1.4 TRIÁNGULO RECTÁNGULO - EL PRODUCTO DE LOS DOS CATETOS

El producto de los catetos de un triángulo rectángulo es igual al producto de la hipotenusa por la altura correspondiente.

Demostración 1.4

Los triángulos semejantes ΔABH y ΔABC nos proporcionan

1.5 TRIÁNGULO RECTÁNGULO - TEOREMA DE PITÁGORAS

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

Demostración 1.5

1.6 TRIÁNGULO RECTÁNGULO - EL INVERSO DEL CUADRADO DE LA ALTURA

En un triángulo rectángulo, el cuadrado del inverso de la altura es igual a la suma de los cuadrados de los inversos de los catetos.

Demostración 1.6

1.7 TRIÁNGULO RECTÁNGULO - RAZÓN DE LOS CUADRADOS DE LOS CATETOS

En un triángulo rectángulo, la razón de los cuadrados de los catetos es igual a la razón de la proyección de cada cateto sobre la hipotenusa.

Demostración 1.7

2. TEOREMAS PARA TRIÁNGULOS CUALESQUIERA

2.1 DIFERENCIA DE CUADRADOS DE DOS LADOS DE UN TRIÁNGULO

La diferencia de cuadrados de dos lados de un triángulo es igual a la diferencia de cuadrados de sus proyecciones respectivas sobre el tercer lado.

figura 11

2.2 GENERALIZACIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS

Primero

En cualquier triángulo, el cuadrado del lado opuesto a un ángulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, MENOS dos veces el producto de uno de esos lados por la proyección del otro sobreél.

Segundo

En cualquier triángulo, el cuadrado del lado opuesto a un ángulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, MÁS dos veces el producto de uno de esos lados por la proyección delotro sobre él.

Demostración 2.2

Primero

(ver figura 11) En el triángulo ΔABC, sea BC el lado opuesto al ángulo agudo ∠A. Por B trazamos la perpendicular BH sobre AC. Se tiene, aplicando el teorema 2.1,

Pero CH es la diferencia entre AC y AH

Que sustituido en la ecuación anterior nos proporciona

Segundo

figura 12

En el triángulo ΔABC, sea BC el lado opuesto al ángulo obtuso ∠A. Por B trazamos la perpendicular BH sobre AC. Se tiene, aplicando el teorema 2.1,

Pero CH es la suma de AC con AH

Que sustituido en la ecuación anterior nos proporciona

Corolario 2.2

Un ángulo de un triángulo es agudo, recto u obtuso, de acuerdo a que el cuadrado del lado opuesto a este ángulo sea inferior, igual o superior a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

2.3 SUMA Y DIFERENCIA DE LOS CUADRADOS DE DOS LADOS DE UN TRIÁNGULO

La suma de los cuadrados de dos lados es igual al doble de la suma de los cuadrados de la mitad del tercer lado y la mediana correspondiente.

La diferencia de los cuadrados de dos lados de un triángulo es igual al doble del producto del tercer lado por la distancia de su punto medio al pie de la altura correspondiente.

Demostración 2.3

figura 13

A partir del teorema 2.2

si sumamos estas dos igualdades

y si las sustraemos

Corolario 2.3

Supongamos fijos los puntos A y B de la figura 13, y el punto C variable con la condición

como c es constante, m_c también debe serlo; y recíprocamente si m_c es constante, lo es a²+b².

El lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de cuadrados de distancias a dos puntos fijos del mismo A, B es constante, es una circunferencia de centro en el punto medio de AB u radio m_c.

Dados k=a²+b² y los puntos A y B, para que exista el lugar basta que a²+b²>2(c/2)² es decir

figura 14

Si queremos ahora la constancia de la diferencia

y por lo tanto MH será constante ya que c ya lo es, y recíprocamente. Serán puntos del lugar todos los que se proyecten ortogonalmente sobre AN en un mismo punto H.

El lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de los cuadrados de las distancias a dos puntos fijos del mismo A, B es una cantidad constante, es una recta perpendicular a AB a una distancia de M, punto medio de AB

3. TEOREMAS PARA TRIÁNGULOS CUALESQUIERA - BISECTRICES

3.1 TEOREMA DE LAS BISECTRICES

Toda bisectriz interior divide al lado opuesto en dos segmentos proporcionales a los lados que con ella concurren.

Si una bisectriz exterior de un triángulo corta al lado opuesto, las distancias de su pie a los extremos de dicho lado son proporcionales a los lados concurrentes con la bisectriz y que pasan por ellos.

Demostración 3.1

figura 15

Primeo veremos que las dos bisectrices forman un ángulo recto.

Tomemos sobre AB y su prolongación AC’=AC”=AC. En estas condiciones los triángulos ΔACC’ y ΔACC” son isósceles; lo que nos lleva a que AW es perpendicular a CC’ o que BB’ es paralela a AW’. Del mismo modo, CC” es paralela a AW.

De lo anterior, se deduce que el triángulo ΔBWA es semejante al triángulo ΔBCC” y que el triángulo ΔBCC’ es semejante al triángulo ΔBW’A; con lo que podemos escribir gracias al teorema de Thales

3.2 SEGMENTOS QUE DETERMINAN LAS BISECTRICES SOBRE EL LADO OPUESTO

(Se observarán en su uso los signos de los segmentos)

Donde los signos de las diferencias (c-b), (a-c) y (b-a) determinan en que prolongación del lado cae W’.

Corolario 3.2

De lo anterior se desprende

Las intersecciones de las bisectrices (interior y exterior) de un ángulo de un triángulo, con el lado opuesto, están armónicamente separadas por los vértices de dicho lado.

Cortando dos rectas y las bisectrices de los ángulos que forman por una secante cualquiera de las cuatro rectas, se obtiene una cuaterna armónica.

figura 16

Esta propiedad permite construir el punto X’ armónicamente separado de X por M y N, sin más que hacer pasar por M y N los lados de un ánulo recto ∠MON y trazar luego la simétrica OX’ de OX respecto de uno de dichos lados.

figura 17

El mismo resultado se obtiene trazando un círculo cualquiera por MN, uniendo con X uno de los extremos D del diámetro perpendicular, y proyectando desde el otro extremo C el otro punto P de intersección de XD con el círculo. En efecto, PD es bisectriz del ángulo ∠MPN por la igualdad de los arcos MD y DN y PC es perpendicular a PD cor ser CD un diámetro.

El lugar geométrico de los puntos de un plano cuya razón de distancias a dos puntos fijos B y C es un valor dado (distinto de la unidad), es una circunferencia cuyo diámetro está determinado por los dos puntos W_a y W’_a de la recta BC cuya razón de distancias a los puntos B y C es el valor dado.

figura 18

Si suponemos fijos los vértices B y C del triángulo ΔABC y A variable de tal modo que la razón entre b y c sea constante, los pies W_a y W’a de las bisectrices por A serán también fijos, ya que son los únicos puntos de BC cuya razón de distancias a B y C es (b/c). Y como dichas bisectrices son constantemente perpendiculares entre sí, los vértices A están en la circunferencia de diámetro W_aW’_a.

Recíprocamente, la razón de distancias de todo punto A de dicha circunferencia a B y C es (b/c). Pues la recta simétrica de AB respecto de AW_a cortará a W_aW’_a en el único punto C armónicamente separado de W_a y W’_a; es decir, AW_a es la bisectriz del ángulo ∠BAC y, por tanto,

4. TEOREMAS PARA PRODUCTOS DE DOS LADOS - CEVIANAS ISOGONALES

4.1 CEVIANAS ISOGONALES - PRODUCTO DE DOS LADOS DE UN TRIÁNGULO

El producto de dos lados de un triángulo, es igual al producto de una ceviana cualquiera, que parte del vértice común a dichos lados, por la cuerda del círculo circunscrito isogonal con aquella ceviana.

(Y también) El producto de dos lados de un triángulo, es igual al producto de los segmentos de dos isogonales que concurren con ellos y limitados respectivamente por el lado opuesto y por el círculo circunscrito.

figura 19

Demostración 4.1

Se ve en la figura 19 que

y las rectas AQ y AP son isogonales respecto de los lados AB y AC.

También vemos que

ya que son ángulos inscritos con el mismo arco capaz.

De ello se desprende que los triángulos ΔABQ y ΔAPC son semejantes por tener dos ángulos respectivamente iguales. De donde

4.2PRODUCTO DE DOS LADOS DE UN TRIÁNGULO EN FUNCIÓN DE LA ALTURA Y EL DIÁMETRO DEL CÍRCULO CIRCUNSCRITO

El producto de dos lados de un triángulo, es igual al producto del diámetro por la altura sobre el tercer lado.

figura 20

Demostración 4.2

Suponemos que el segmento de la ceviana limitada por el lado opuesto es la altura concurrente con los dos lados;

de lo que deducimos que AP es el diámetro por A al círculo circunscrito y el teorema anterior queda como

Corolario 4.2

Si recordamos ahora el área del triángulo junto con este último resultado

El área de un triángulo es igual al producto de los tres lados del triángulo dividido por cuatro veces el radio del círculo circunscrito.

4.3 PRODUCTO DE DOS LADOS DE UN TRIÁNGULO EN FUNCIÓN DE LA BISECTRIZ

El producto de dos lados de un triángulo es igual al cuadrado de la bisectriz concurrente con ellos más el producto de los segmentos en que dicha bisectriz divide al lado opuesto.

Demostración 4.3

figura 21

Si suponemos ahora que la ceviana limitada por el lado opuesto es la bisectriz AW_a, su isogonal es ella misma y el segmento limitado por el círculo circunscrito es AP.

De donde P es, en este caso, el punto medio del arco BC.

Aplicando el teorema 4.1 a este caso

El segundo sumando es en valor absoluto la potencia de W_a respecto al círculo circunscrito y podemos sustituirlo por

de donde

5. CÁLCULO DE LAS LÍNEAS DEL TRIÁNGULO EN FUNCIÓN DE LOS LADOS

5.1 TEOREMA DE STEWART

Dado un triángulo ΔABC y un punto D entre B y C, se cumple que:

o

figura 22

Demostración 5.1

Desde el punto A trazamos sobre BC la perpendicular AH y suponemos, para fijar ideas, que H cae al mismo lado de D que el punto C. Aplicamos la generalización del teorema de Pitágoras al triángulo ΔACD y al triángulo ΔABD

Multiplicamos la primera igualdad por BD y la segunda igualdad por DC (¡ojo! con los signos de los segmentos)

y sumando ambas igualdades

arreglando queda

5.2 CÁLCULO DE CEVIANAS - APLICACIÓN DEL TEOREMA DE STEWART

figura 23

Supongamos ahora que (observando que DB y DC tienen signos contrarios)

Tenemos que (observando los signos)

Por el teorema de Stewart

y de aquí

con lo que

5.3 CÁLCULO DE LAS MEDIANAS EN FUNCIÓN DE LOS LADOS

figura 24

Primer método

A partir de la generalización del teorema de Pitágoras, en el apartado 2.3 establecimos

de donde

Segundo método

Aplicando el teorema de Stewart, sólo basta observar que

con lo que sustituyendo en la fórmula, obtenemos

5.4 CÁLCULO DE LAS BISECTRICES EN FUNCIÓN DE LOS LADOS

figura 25

Primer método

A partir de las propiedades de las cevianas isogonales, hemos establecido en el apartado 4.3

y en el apartado 3.2

de donde

que expresado en función del semi-perímetro

y obtenemos

Segundo método

El teorema de Stewart proporciona un camino fácil tanto para las bisectrices interiores como para las exteriores.

Bisectriz interior

y de aquí

Bisectriz exterior

que expresado en función del semi-perímetro

obtenemos

5.5 CÁLCULO DE LAS ALTURAS EN FUNCIÓN DE LOS LADOS

figura 26

Desde el punto A, trazamos la altura AH. Suponemos, para fijar ideas, que ∠B es un ángulo agudo. Aplicamos entonces la generalización del teorema de Pitágoras al lado AC=b opuesto al ángulo ∠B y escribimos

obteniendo el segmento BH como

Si aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo ΔAHB

Esta igualdad, cuyo segundo miembro es una diferencia de dos cuadrados, se puede escribir

A su vez, cada uno de los factores del segundo miembro sigue siendo una diferencia de cuadrados

que expresado en función del semiperímetro queda

y de aquí

Corolario 5.5

Atendiendo a la sencilla fórmula del área del triángulo, por ejemplo

que es la denominada FÓRMULA DE HERÓN del área del triángulo en función de los lados.

Y retomando el área expresada en función de los lados y el radio del círculo circunscrito del corolario 4.2

6. SEGMENTOS QUE EL CÍRCULO INSCRITO Y LOS EX-INSCRITOS DEFINEN EN LOS LADOS

6.1 SEGMENTOS QUE EL CÍRCULO INSCRITO Y LOS EX-INSCRITOS DEFINEN EN LOS LADOS

figura 27

Por triángulos semejantes o por potencias deducimos que para los puntos de contacto de los círculos ex-inscritos

Sabemos que

de donde

De nuevo, por potencias o triángulos semejantes, deducimos que para los puntos de contacto del círculo inscrito

Sabemos que

de donde

y de forma análoga

Combinaremos ahora los puntos de contacto del círculo inscrito y los ex-inscritos.

y de aquí

análogamente

Si consideramos ahora el punto medio de BC, CA y AB

Determinamos ahora los segmentos desde los vértices a los puntos de contacto próximos de los círculos ex-inscritos

Y teniendo en cuenta los puntos extremos de contacto en cada lado

y análogamente

Consideremos ahora

y análogamente

y de modo parecido

7. CÁLCULO DE LOS RADIOS DE LOS CÍRCULOS DEL TRIÁNGULO

7.1 CÁLCULO DE LOS RADIOS DE LOS CÍRCULOS DEL TRIÁNGULO

figura 28

Hallemos primero el área del triángulo en función de radio del círculo inscrito y de los ex-inscritos

y además como los triángulos ΔAC’I y ΔAC_aI_a son semejantes

Recopilando

de lo que se deduce

Recordando el corolario 5.5 y las fórmulas hasta aquí elaboradas

7.2 RELACIONES ENTRE RADIOS

figura 29

Sea S el punto de intersección de ña bisectriz AI_a con el círculo circunscrito de centro O y D la intersección del mismo círculo con la bisectriz AI_b . SD es perpendicular a BC en el punto medio M_a; ya que S y D son los puntos medios de los arcos capaces del lado BC (como hemos visto en 4.3 con el punto P).

y de aquí (ver figura 29)

Si recordamos la expresión del área según los radios de los círculos ex-inscritos

y sumando las tres últimas igualdades

7.3 RELACIONES ENTRE RADIOS Y ALTURAS

Recordando, de nuevo, el área del triángulo

y sumando las tres últimas igualdades

y análogamente

de donde

y restando los inversos de los radios

y sumando los inversos de los radios

8. CÁLCULO DE LAS DISTANCIAS ENTRE LOS CENTROS DE LOS CÍRCULOS DEL TRIÁNGULO

8.1 DISTANCIA ENTRE EL INCENTRO Y EL CIRCUNCENTRO

figura 30

Atendiendo a los ángulos del triángulo ΔCIS y a sus arcos capaces en el círculo circunscrito

por lo que podemos deducir que el triángulo ΔCIS es isósceles y por tanto

pero

por lo que el cuadrilátero ICI_aB es inscriptible y el diámetro de su círculo es III_a siendo su centro S, luego

Aplicando ahora la generalización del teorema de Pitágoras

Sustituyendo la segunda igualdad en la primera

y así

8.2 DISTANCIA ENTRE EL CIRCUNCENTRO Y LOS EX-INCENTROS

Trabajando ahora con el triángulo ΔCI_aS

sustituyendo la segunda igualdad en la primera

con lo que obtenemos

8.3 DISTANCIA ENTRE EL INCENTRO Y LOS EX-INCENTROS

de donde obtenemos

8.4 DISTANCIA ENTRE LOS EX-INCENTROS

Si tenemos en cuenta ahora el triángulo ΔI_bI_cX y el triángulo ΔII_aY

Por lo tanto dividiendo miembro a miembro desaparecen los senos y podemos despejar I_bX

Obtenido I_bX, podemos obtener I_bI_c aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo en X ΔI_bI_cX

y despejando I_b I_c y recordando de 7.2 la expresión de 4R en función de los radios de los círculos inscritos y ex-inscritos

y de aquí