A continuación te voy a explicar qué son los vectores y conceptos relacionados con los vectores que necesitarás para calcular y operar con ellos, como las componentes de un vector, el módulo de un vector, su dirección y sentido.
También veremos los tipos de vectores que existen y con qué tipo de vectores conviene operar en matemáticas.
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En este vídeo tienes ejercicios resueltos sobre la descomposición de vectores paso a paso:
Y a partir de aquí tienes toda la explicación con lo que necesitas saber:
¿Qué son los vectores?
Los vectores son segmentos orientados, que se inician en punto que corresponde al origen del vector y terminan en otro punto, que es el extremo del vector:
Se definen mediante dos componentes: la componente x y la componente y, también llamadas coordenadas del vector. Son magnitudes de dos dimensiones.
Para expresarlos analíticamente, comúnmente se expresan mediante una letra minúscula con una flecha encima, con sus dos componentes entre paréntesis (igual que unas coordenadas):
Se suelen utilizar las letras u, v, w y z, aunque no es obligatorio y se puede utilizar cualquier letra.
Éstos son algunos ejemplos de vectores:
También se puede expresar mediante dos letras mayúsculas con una flecha encima, en las que la primera letra es el punto de origen y la segunda letra el es punto donde se sitúa el extremo:
Así, el vector AB, tendrá su origen en el punto A y su extremo en el punto B:
Además de las componentes del vector, otras características que definen a los vectores son el módulo, la dirección y el sentido.
Vamos a ir viendo cada uno de ellos.
Componentes de un vector
¿Qué son las componentes de un vector?
Pues son los elementos que definen a un vector, ya que sabiendo sus coordenadas, lo sabemos todo sobre él: módulo (que habrá que calcularlo), dirección y sentido.
Hablar de componentes del vector y de coordenadas del vector es lo mismo.
¿Cómo calcular las componentes de un vector?
Para calcular las componentes de un vector, necesitamos conocer previamente las coordenadas de su origen y de las coordenadas de su extremo, ya que se calcularan a partir de éstas.
Si las coordenadas del punto de origen de un vector son:
Y las coordenadas del punto de extremo de un vector son:
Calculamos las coordenadas del vector, restando las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen:
Para calcular la componente x del vector, realizamos la resta de la coordenada x del extremo, menos la coordenada x del origen. De la misma forma, para calcular la componente «y» del vector, realizamos la resta de la coordenada «y» del extremo menos la coordenada «y» del origen.
Acuérdate, siempre extremo menos origen y cada componente se resta con la suya: las x con las x y las «y» con las «0»y.
Vamos a ver un ejemplo:
Tenemos el punto de origen:
Y el punto correspondiente al extremo del vector:
Las coordenadas del vector AB, corresponderán por un lado, la coordenadas x del extremo menos la coordenada x del origen y por otro lado la coordenada «y» del extremo, menos la coordenada «y» del origen:
Ahora operamos dentro de cada componente y nos queda:
Módulo de un vector
¿Qué es el módulo de un vector?
El módulo de un vector es la distancia desde el origen hasta el extremo, por lo que corresponde a la longitud del vector.
Se representa encerrado a la letra del vector (o las letras) entre dos barras:
El módulo de un vector, al ser una longitud, es siempre positivo.
¿Cómo se calcula el módulo?
El módulo de un vector se calcular a partir de las coordenadas del vector mediante esta fórmula:
El módulo de un vector es la raíz cuadrada de la coordenada x al cuadrado más la coordenada «y» al cuadrado.
¿Te suena de algo esa fórmula?
Es la misma que para calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo, ya que para obtenerla, se aplica el teorema de Pitágoras en el triángulo que se forma entre el vector y sus componentes, donde el vector sería la hipotenusa:
No es necesario que te aprendas de dónde se obtiene la fórmula, aunque sí es importante que lo sepas.
Vamos a ver un ejemplo de cómo calcular el módulo de un vector. Tenemos el siguiente vector:
¿Cuál es su módulo?
Aplicamos la fórmula y nos queda:
Ahora operamos y resolvemos, obteniendo el valor del módulo:
Lo dejamos en forma de raíz, ya que la raíz de 13 no es exacta.
Cómo calcular el módulo de un vector con las coordenadas de su origen y de su extremo
Como hemos visto antes, las componentes de un vector se calculan a partir de las coordenadas de los puntos de su origen y de su extremo.
Por tanto, podemos calcular el módulo de un vector directamente si conocemos las coordenadas de los puntos de su origen y de su extremo, sólo con sustituir en la fórmula anterior de cálculo del módulo, las componentes x e «y» por la resta de las coordenadas del extremo menos las coordenadas del origen:
Vamos a verlo con un ejemplo.
Tenemos un vector cuyo origen está en el punto A y su extremo está en el punto B:
Vamos a calcular el módulo del vector AB, que será la raíz del cuadrado de la resta de las coordenadas x, menos el cuadrado de la resta de las coordenadas «y», restando siempre extremo menos origen:
Ten mucho cuidado con las coordenadas negativas. Eliminamos el paréntesis del -4 en el segundo término del interior de la raíz:
Ahora operamos dentro de cada paréntesis:
Elevamos al cuadrado y resolvemos:
También es posible hacer la operación a la inversa, es decir, conociendo el módulo del vector, calcular sus componentes. Eso lo tienes explicado con todo detalle en el Curso de Geometría Analítica en el Plano.
Descomposición de un vector: Cómo calcular las componentes de un vector a partir de su modulo
Ahora vamos a ver cómo calcular las componentes de un vector, x e «y», cuando tenemos su módulo. Para ello, además del módulo, también necesitamos saber el ángulo que forma con la horizontal.
Gráficamente, tenemos un vector, el cual forma un ángulo que con la horizontal:
Este vector lo podemos descomponer en una componente horizontal Vx y en una componente vertical Vy:
De tal forma que si sumamos gráficamente las componentes Vx y Vy, la resultante es el vector v (la suma gráfica de vectores la veremos en la siguiente lección):
Podemos sustituir el vector V por su módulo, el vector Vx por la componente x del vector V y el vector Vy por la componente «y» del vector V, por lo que nos queda:
Nos queda un triángulo rectángulo del cual conocemos el valor del módulo de v (hipotenusa) y el valor del ángulo que forma con la horizontal. La componente Vx y la componente Vy las desconocemos, pero las podemos calcular por medio de las razones trigonométricas de un triángulo rectángulo.
El coseno del ángulo es igual a la componente horizontal dividido entre el módulo del vector:
Si despejamos la componente Vx nos queda:
Por otro lado, el seno del ángulo es igual a la componente vertical entre el módulo del vector:
Y despejando la componente Vy nos queda:
Es decir, es igual que resolver un triángulo rectángulo cuando conocemos la hipotenusa y un ángulo.
Si sustituimos los valores de las componentes en el triángulo nos queda:
Para entender mejor este paso, te recomiendo que le eches un vistazo a las dos primeras lecciones del Curso de Trigonometría I.
Aunque en el triángulo trabajemos con distancias y por tanto no podemos tener distancias negativas, para obtener las componentes del vector, tenemos en cuenta los signos resultantes de multiplicar el módulo de v por el coseno o el seno.
Es decir, las componentes del vector sí pueden ser negativas:
Hay que tener en cuenta, que el ángulo que forme el vector con la horizontal siempre se mide en sentido antihorario desde la horizontal:
Es decir, no hay que tomar el ángulo desde referencias con la vertical ni en sentido horario con la horizontal, aunque en el enunciado de los ejercicios lo den así. Siempre hay que pasarlo a sentido antihorario desde la horizontal.
Esto es así para que los signos de las componentes sean los correctos.
Ejercicios resueltos de descomposición de vectores
1) Calcular las componentes del vector v sabiendo que su módulo es igual a 15 unidades y forma un ángulo de 60º.
Si no nos dicen desde dónde se referencia el ángulo, suponemos que es desde la horizontal. Por tanto, según el enunciado del ejemplo tenemos lo siguiente:
Vamos a calcular sus componentes Vx y Vy:
A partir del coseno despejamos la componente horizontal Vx y la calculamos:
Hacemos lo mismo con el seno para calcular la componente vertical Vy:
Finalmente, las componentes del vector v son:
2) Calcular las componentes del vector u sabiendo que su módulo es igual a 20 unidades y forma un ángulo de 30º con el sentido positivo del eje vertical.
Según los datos del enunciado tenemos:
Sin embargo, recuerda que el ángulo hay que tomarlo siempre desde la horizontal en sentido antihorario. Para lograr esto, a los 30º que nos da el enunciado hay que sumarle 90º que hay desde la horizontal hasta el eje vertical positivo:
El resultado es un ángulo de 120º:
Date cuenta de que el vector están en la misma posición, no hemos cambiado nada. Tan solo hemos tomado el ángulo desde otra referencia.
Ahora ya podemos calcular las componentes del vector, siguiendo el mismo procedimiento que en el ejercicio anterior:
Aplicando las fórmulas de seno y coseno nos queda:
Date cuenta que la componente horizontal es negativa porque está orientada hacia la izquierda.
Por tanto, las componentes del vector u, teniendo en cuenta los signos son:
3) Unos niños en una excursión deciden hacer un concurso del tesoro escondido, para lo cual primero deben dibujar el mapa, que tiene las siguientes instrucciones: desde la palmera, camine 40 pasos al sur, luego 60 pasos a 30º suroeste, después 50 pasos al norte y finalmente 30 pasos a 45º al noreste.
a) Dibuja el mapa del tesoro
b) Determina las componentes horizontal y vertical de cada uno de los desplazamientos.
El mapa del tesoro queda de la siguiente manera, suponiendo que la palmera está en el origen de coordenadas:
Para calcular cada uno de los desplazamientos, previamente pasamos el ángulo correspondiente a sentido antihorario desde la horizontal:
Dirección y sentido de un vector
Como hemos dicho antes, un vector, es un segmento orientado, entonces, la dirección de un vector, es la recta a la que pertenece ese vector.
Todos los vectores paralelos, tienen la misma dirección.
El sentido de un vector es hacia donde va ese vector, hacia dónde apunta la flecha.
El sentido del vector AB irá desde el punto A hasta el punto B, mientras que el sentido del vector BA irá desde el punto B hasta el punto A:
Ambos vectores tienen la misma dirección, pero sentidos contrarios
Para que te quede más claro, vamos a comparar el vector con una carretera recta. La carretera en sí, sería la dirección del vector y dentro de la carretera, se puede ir en ambos sentidos, que corresponderían con los sentidos del vector.
Tipos de vectores
Los vectores pueden ser fijos, cuando su punto su origen y su extremo no pueden moverse y libres cuando su origen puede estar en cualquier punto del espacio.
Vector fijo
Para definir un vector fijo, necesitas saber las coordenadas de su origen y las de su extremo. Al ser fijo, no se puede mover de ninguna manera.
Dos vectores paralelos, de igual módulo, pero de distinto punto de origen, son vectores distintos.
A los vectores que tienen el mismo módulo, dirección y sentido, pero que tienen su origen en distinto punto se les llaman vectores equipolentes.
Vector libre
Los vectores libres son aquellos vectores cuyo origen se puede situar en cualquier punto y son con los que se trabajan en matemáticas, ya que tienen una característica que los hace especiales.
¿Y qué hace tan especial a un vector libre?
Pues que como podemos mover el origen de un vector libre al punto que queramos, podemos suponer siempre que su origen en está en el origen de coordenadas (0,0) y por tanto el vector quedará definido sólo conociendo las coordenadas del extremo.
Ya no será necesario restar las coordenadas del origen a las coordenadas del extremo para calcular las componentes del vector.
Así, cuando decimos que el vector:
Estamos queriendo decir que su origen es (0,0) y su extremo (1,-4)
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