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Curso: Ingeniería eléctrica > Unidad 5

Lección 2: Los campos, el potencial y el voltaje

El potencial eléctrico y el voltaje

Las definiciones formales del potencial eléctrico y del voltaje. Escrito por Willy McAllister.

La ley de Coulomb nos permite calcular fuerzas entre cargas estáticas. A continuación exploramos qué ocurre si las cargas se mueven, encontramos qué significa hacer trabajo en un campo eléctrico y desarrollamos definiciones formales sobre algunos conceptos nuevos:

energía potencial eléctrica
potencial eléctrico (también conocido como voltaje)

La fuerza eléctrica y el campo eléctrico son cantidades vectoriales (tienen magnitud y dirección). Resulta que el potencial eléctrico es una cantidad escalar (solo tiene magnitud), una simplificación agradable.

Vamos a establecer una simple configuración de cargas y a hacernos algunas preguntas. Comencemos con dos cargas positivas, separadas por una distancia

r_{A}

. En esta discusión,

Q

permanece fija en su lugar y

q

(nuestra carga de prueba) es libre de moverse.

Q

repele a

q

(y viceversa) con una fuerza descrita por la ley de Coulomb,

F = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{q Q}{{r_{A}}^{2}}

Dicho de otro modo, en términos del campo eléctrico,

Q

establece un campo en todas las regiones del espacio,

E = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{Q}{r^{2}}

(el campo generado por

Q

apunta hacia afuera en dirección radial a

Q

A una distancia

r_{A}

q

, el campo eléctrico es, específicamente,

E = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{Q}{{r_{A}}^{2}}

Podemos volver a escribir la fuerza sobre

q

debida a

Q

en términos del campo eléctrico como,

F = q E

El monito en esta imagen enfatiza que algo tiene que mantener a

q

en su lugar. En un minuto, pondremos a este monito a trabajar.

Trabajo y energía potencial

Una fuerza es cualquier interacción que cambia el movimiento de un objeto. Un empujón o un jalón.

F = m a

La definición general de trabajo es "fuerza que actúa durante una distancia", o

W = F \cdot d

. En términos del campo eléctrico,

W = q E \cdot d .

La energía es "la capacidad para hacer trabajo". Cuando un objeto tiene energía, tiene la capacidad de realizar trabajo.

Cuando una fuerza hace un trabajo sobre un objeto, este puede almacenar energía potencial. Un objeto con energía potencial tiene el potencial de hacer trabajo (no está trabajando en este momento, pero tiene el potencial de hacerlo). Un objeto tiene energía potencial en virtud de su posición.

El trabajo y la energía potencial están estrechamente relacionados. La energía potencial adicional almacenada por un objeto es igual al trabajo hecho sobre el objeto para llevarlo a su nueva posición.

Puedes repasar los conceptos de trabajo y energía en mayor profundidad aquí.

El campo

Un campo es una región del espacio donde observamos fuerzas. La gravedad, la electricidad y el magnetismo generan campos.

Un campo es conservativo si un objeto que viaja en una trayectoria cerrada (un viaje redondo) no hace trabajo neto en contra de la fuerza asociada al campo.

El campo gravitacional es conservativo. Cuando levantas un libro, haces trabajo sobre el libro. Si lo devuelves suavemente a su posición original, el libro hace trabajo sobre ti. La cantidad neta de trabajo es cero. Puedes levantarlo y bajarlo cientos de veces y, si el libro termina a la altura original, la cantidad neta de trabajo es cero. Si mueves el libro horizontalmente, la cantidad de trabajo también es cero, pues en la dirección horizontal no hay fuerzas que se opongan al movimiento.

Un campo eléctrico estacionario es conservativo. No importa qué trayectoria haga un objeto cargado dentro del campo, si el objeto regresa al punto inicial, la cantidad neta de trabajo es cero.

La energía potencial eléctrica se parece a la energía potencial gravitacional

El comportamiento de las cargas en un campo eléctrico se parece al comportamiento de las masa en un campo gravitacional. Así como hablamos de la energía potencial gravitacional, podemos hacerlo de la energía potencial eléctrica.

Hay dos diferencias entre los campos eléctrico y gravitacional que hay que tener en mente:

las cargas eléctricas pueden atraerse (como las masas gravitacionales), pero también pueden repelerse (las masas nunca lo hacen). Las cargas del mismo tipo se mueven lo más lejos posible unas de otras.
nuestra experiencia común con la gravedad sucede cerca de la superficie de la Tierra, a distancias muy pequeñas relativas al tamaño del planeta. Para problemas mundanos, a menudo tratamos la fuerza debida a la gravedad como una constante. Para problemas eléctricos, tomamos el término $1 / r^{2}$ ‍ en cuenta. Esto hace que las matemáticas sean un poco más difíciles, pero no es tan malo.

Tanto para la gravedad como para la electricidad, la diferencia entre las energías potenciales es lo que es importante. Donde sea que comience tu libro, tiene la misma energía potencial. Cuando lo mueves, agregas o quitas energía en relación a su posición inicial. Para cargas en movimiento, agregas o quitas energía potencial eléctrica en relación a la posición inicial de la carga.

Si te preguntas si un objeto está almacenando energía potencial, retira lo que sea que lo mantiene en su lugar. Si se mueve, estaba almacenando energía potencial. Una manzana cae de un árbol y te golpea en la cabeza. Tenía energía potencial. Suelta una carga en un campo eléctrico; si se mueve, estaba almacenando energía potencial eléctrica.

Hacer trabajo en un campo eléctrico

¿Qué ocurre si acercamos

q

Q

? ¿Cuánto trabajo realizamos? Para mover

q

hacia

Q

debemos empujar

q

lo suficientemente fuerte para vencer la fuerza eléctrica repulsiva.

En general, para problemas electrostáticos, queremos que el movimiento de

q

sea cuasiestático, de tal forma que no tengamos que preocuparnos por la energía cinética de cuerpos en movimiento. En procesos cuasiestáticos, aplicamos una fuerza neta apenas mayor que

q \vec{E}

, o nos aseguramos de que la magnitud de

\vec{F} - q \vec{E}

sea prácticamente nula. El desplazamiento de

q

ocurre sin acelerar, por lo que no hay término de energía cinética. Ir tan lento significa que mover

q

nos tomará un tiempo infinito. Esto no nos preocupa, pues solo vamos a hablar de ello, no esperar a que ocurra.

¿Cuánto trabajo realizamos para mover $q$ ‍ del punto $A$ ‍ al punto $B$ ‍ dentro de un campo eléctrico?

En un campo eléctrico, algo debe realizar trabajo sobre las cargas para lograr que se muevan. Para mover

q

, aplicamos una fuerza para apenas vencer la fuerza repulsiva provocada por

Q

Hagamos el razonamiento:
La cantidad de trabajo realizado es igual a la fuerza multiplicada por la distancia,

W = F \cdot d

. La distancia recorrida es

(r_{A} - r_{B})

. ¿Cuál es la fuerza? Esto es un poco más complicado, porque la fuerza cambia a lo largo de todo el trayecto. Mientras más nos acercamos a

Q

, mayor es la fuerza de repulsión, y más fuerte tenemos que empujar para que

q

se mueva. Establezcamos ciertas variables para que podamos hablar de lo que está ocurriendo.

$r$ ‍ es la distancia de $Q$ ‍ a la posición actual de $q$ ‍.
$d r$ ‍ es un pequeño cambio en la distancia. $d r$ ‍ es tan pequeño que podemos considerar que la fuerza eléctrica permanece constante al recorrer esta distancia.

Para cualquier campo eléctrico, la fuerza sobre una carga positiva es

F = q E

La fuerza externa que requerimos debe apuntar en la dirección opuesta, es decir,

F_{e x t} = - q E

Para nuestro ejemplo específico cerca de una carga puntual, el campo eléctrico alrededor de

Q

es,

E = \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{Q}{r^{2}}

Y la fuerza externa que requerimos para mover

q

es,

F_{e x t} = - q E = - q \cdot \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{Q}{r^{2}}

Para lidiar con el problema de que la fuerza cambie en cada punto, escribimos una expresión para el pequeño trabajo necesario para mover

q

una pequeña distancia

d r

. La suposición que hacemos es que podemos hacer el término

d r

tan pequeño que la fuerza sea efectivamente constante sobre esa distancia. De la definición de trabajo,

d W = - q E \cdot d r = - q \frac{1}{4 π ϵ_{0}} \frac{Q}{r^{2}} d r

Para determinar la cantidad de trabajo realizado durante el viaje de

A

B

, sumamos todas las pequeñas cantidades de trabajo,

W_{A B} = \int_{r_{A}}^{r_{B}} - q E \cdot d r

W_{A B} = - \frac{q Q}{4 π ϵ_{0}} \int_{r_{A}}^{r_{B}} \frac{1}{r^{2}} d r

Al resolver la integral definida,

W_{A B} = - \frac{q Q}{4 π ϵ_{0}} \cdot (- \frac{1}{r}) |_{r_{A}}^{r_{B}}

El trabajo externo necesario para trasladar una carga

q

del punto

A

al punto

B

cerca de una carga puntual

Q

es,

W_{A B} = \frac{q Q}{4 π ϵ_{0}} (\frac{1}{r_{B}} - \frac{1}{r_{A}})

La energía potencial eléctrica

Pregunta: ¿cómo cambia la energía potencial de $q$ ‍?

El cambio en la energía potencial almacenada en

q

es igual al trabajo que se necesita para llevar

q

A

B

{diferencia en la energía potencial eléctrica}_{A B} = \int_{r_{A}}^{r_{B}} - q \vec{E} \cdot d r = \frac{q Q}{4 π ϵ_{0}} (\frac{1}{r_{B}} - \frac{1}{r_{A}})

Como el trabajo, la energía potencial eléctrica es una cantidad escalar.

Ahora hacemos una pequeña manipulación de esta expresión y algo muy especial sucede. Esta línea de razonamiento es similar a nuestro desarrollo del campo eléctrico.

Multiplica los términos,

{diferencia en la energía potencial eléctrica}_{A B} = (\frac{q Q}{4 π ϵ_{0}} \frac{1}{r_{B}}) - (\frac{q Q}{4 π ϵ_{0}} \frac{1}{r_{A}})

Etiqueta cada término con un nombre para que podamos hablar de ellos por un segundo. Sea

U_{r} = \frac{q Q}{4 π ϵ_{0}} \frac{1}{r}

La cantidad

U_{r}

representa la energía potencial eléctrica almacenada en la carga

q

cuando está a una distancia

r

Q

. Podemos escribir el cambio en la energía de ir de

A

B

como,

{diferencia en la energía potencial eléctrica}_{A B} = U_{B} - U_{A}

Los términos

U_{A}

U_{B}

están asociados con una sola posición en el espacio. Es decir,

U_{B}

solo depende de la posición

B

U_{A}

solo depende de la posición

A

(y ambos dependen de los valores de

q

Q

). Esto sugiere que podemos ver

U

como una propiedad de la posición. Podemos pensar la energía potencial eléctrica como un campo que existe alrededor de

Q

. La energía potencial es una cantidad escalar, por lo que el campo de energía potencial es un campo escalar. Tiene una magnitud en todos los puntos del espacio, pero no tiene dirección (otro ejemplo de un campo escalar es la temperatura en cualquier posición en una habitación).

También, observa que la expresión no menciona ningún otro punto, por lo que la diferencia en la energía potencial es independiente de la trayectoria que tomes para ir de

A

B

. Esta es una consecuencia de la naturaleza conservativa de los campos eléctricos.

La diferencia de potencial eléctrico

Con otra simplificación, ideamos una nueva manera de pensar en lo que ocurre en un espacio eléctrico. La ecuación anterior para la diferencia de energía potencial expresa cómo la energía potencial cambia para una carga arbitraria,

q

, cuando se realiza trabajo sobre ella dentro de un campo eléctrico. Definimos un nuevo término, la diferencia de potencial eléctrico (donde eliminamos la palabra "energía"), como el cambio normalizado de energía potencial eléctrica.

diferencia de [e n e r g í a] {potencial eléctrico}_{A B} = \frac{U_{B}}{q} - \frac{U_{A}}{q}

La diferencia de potencial eléctrico es el cambio en la energía potencial que experimenta una carga de prueba con valor

+ 1

La diferencia de energía potencial eléctrica tiene unidades de joules.
La diferencia de potencial eléctrico tiene unidades de joules/coulomb.

El potencial eléctrico

Podemos nombrar los dos términos de la ecuación anterior para la diferencia de potencial eléctrico. Podemos decir que hay un potencial eléctrico en todos lados del espacio alrededor de

Q

, dado por,

potencial eléctrico = \frac{U_{r}}{q}

Puede parecer extraño pensar acerca de esto como una propiedad del espacio (pero no más extraño que la noción de un campo eléctrico). Es básicamente decir: si pusiéramos una carga unitaria de prueba en esta posición, tendría esta energía potencial. Si retiramos la carga de prueba, la propiedad del espacio permanece.

Podemos usar el concepto de potencial eléctrico para realizar toda esta discusión al revés. Supón que conocemos cómo se ve el potencial eléctrico en alguna región del espacio. Entonces, podemos determinar el trabajo necesario para mover un objeto de una posición a otra con el siguiente procedimiento:

restar el potencial inicial del potencial final para obtener la diferencia, y
multiplicar la diferencia de potencial por la carga real del objeto en cuestión.

El potencial eléctrico cerca de una carga puntual

Cerca de una carga puntual, podemos unir los puntos entre las posiciones que tienen el mismo potencial, creando curvas equipotenciales. Recuerda que, para una carga puntual, solo importa la diferencia en el radio, por lo que las curvas equipotenciales son círculos centrados en la carga que crea el campo de potencial, que en este caso es

Q

El voltaje

La diferencia de potencial eléctrico recibe un nombre muy especial. La llamamos voltaje, y, en honor a Alessandro Volta, el inventor de la batería, la medimos en unidades de volts. El voltaje entre los puntos

A

B

es,

{voltaje}_{A B} = diferencia de {potencial eléctrico}_{A B} = \frac{U_{B}}{q} - \frac{U_{A}}{q}

El voltaje absoluto

Hasta ahora hemos escrito todas las ecuaciones en términos de la diferencia de potencial eléctrico. Podemos hablar de la diferencia de potencial entre aquí y allá. Pero ¿podemos elaborar un concepto de diferencia absoluta de potencial (un voltaje absoluto)? Sí, sí podemos, en un sentido. Una convención establecida es definir el

voltaje = 0

en un punto infinitamente distante. Con esta convención, al establecer la posición inicial en

r_{A} = \infty

, emerge el significado de voltaje absoluto. Entonces, el voltaje a una distancia

r

de una carga puntual es,

V_{r} = (\frac{Q}{4 π ϵ_{0}} \frac{1}{r}) - {(\frac{Q}{4 π ϵ_{0}} \frac{1}{\infty})}^{0}

El término

1 / \infty

es igual a cero. Definimos el voltaje absoluto en una posición como el trabajo externo necesario para mover una carga unitaria de prueba del infinito a alguna posición.

V_{r} = \frac{Q}{4 π ϵ_{0}} \frac{1}{r}

No hay ninguna magia aquí. Es tan solo una manera de hablar; significa lo mismo que decir que el voltaje en la posición

x

es la diferencia de potencial entre

x

e infinito. Esto funciona porque compartimos la suposición de que el punto de referencia para el voltaje cero está en infinito.

El concepto de energía potencial gravitacional absoluta también requiere un punto de referencia convencional. Solo podemos medir diferencias de energía potencial gravitacional entre dos puntos. Usualmente, el punto de referencia desde el que medimos (piso, superficie de la mesa, nivel del mar, centro de la Tierra) queda implícitamente definido por el contexto. Suponemos convenciones culturales para el punto de referencia cuando hacemos preguntas como "¿Cuánto mides?", "¿Qué tan alta es esa montaña?", "¿Qué tanto jala la gravedad de la Tierra a la Luna?".

Conforme aprendemos sobre el potencial eléctrico, utilizamos la analogía con la gravedad. Extrañamente (para mí, al menos), cuando hablamos de potencial gravitacional, no existe una palabra que corresponda al "voltaje". Simplemente lo llamamos "potencial gravitacional", sin honrar a ningún científico.

Resumen

Los términos que hemos estado manejando pueden sonar similares, por lo que es fácil confundirlos.

La energía potencial eléctrica es una propiedad de un objeto cargado, por virtud de su posición dentro de un campo eléctrico. La energía potencial eléctrica existe si hay un objeto cargado en esa posición.
La diferencia de potencial eléctrico, también conocida como voltaje, es el trabajo externo necesario para mover una carga de una posición a otra dentro de un campo eléctrico. La diferencia de potencial eléctrico es el cambio en la energía potencial experimentado por una carga de prueba de valor $+ 1$ ‍.
El potencial eléctrico existe en una posición y es una propiedad del espacio. Una posición tiene un potencial eléctrico aun si no hay una partícula cargada ahí.
El voltaje absoluto en una posición es algo de lo que podemos hablar siempre y cuando todo el mundo esté de acuerdo que el cero (0 volts) está en el infinito. El concepto de voltaje absoluto es una especie de "as en la manga" verbal. Siempre es seguro apegarnos a la definición: el voltaje es una diferencia de potencial.

En este artículo desarrollamos el concepto de voltaje por medio de una carga puntual fija

Q

como la fuente de campo eléctrico. Derivamos una expresión exacta para el voltaje en el espacio que rodea a

Q

. Las ideas de potencial eléctrico y de voltaje son válidas para cualquier configuración de cargas. Por supuesto, hay una solución diferente que es particular a cada caso (la ecuación anterior para

U = …

cambia, pero todo procedimiento que utilice a

U

permanece válido). El poder del concepto de voltaje es que describe el espacio con un campo escalar. No necesitamos tener en cuenta direcciones de vectores, lo que simplifica significativamente las matemáticas.

¿Qué es un volt ?

Te podrás haber dado cuenta de que hasta ahora algo falta. No hemos dado ningún detalle sobre la unidad del voltaje: el volt. El volt es lo que se llama una "unidad derivada" en el SI. En el artículo sobre unidades eléctricas estándar cubrimos a detalle la definición de "volt".

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jalbornoz
Publicado hace hace 5 años. Enlace directo a la publicación “Estimado, además de agrad...” de jalbornoz
Estimado, además de agradecer por este post, me gustaría realizar una consulta. Luego de un arduo trabajo mental por tratar de comprender qué es el voltaje , ¿podríamos decir en palabras simples que el voltaje es una cantidad de energía almacenada que permite mover cierta cantidad de carga de un punto a otro en un campo eléctrico?. Lo pregunto porque estoy tratando de armar una definición lo más simple posible para estudiantes de 13 años que no conocen los conceptos de energía potencial, ni fuerza eléctrica, ni nada por el estilo; y debo enseñarles la ley de Ohm. Saludos.
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Respuesta
- Edgargare
  Publicado hace hace 5 años. Enlace directo a la publicación “Porque es correcto decir ...” de Edgargare
  Porque es correcto decir que el voltaje es energía. Es para una tarea.
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  (1 voto)

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