Un motivo para la primera convención es que la integrabilidad de f sobre un intervalo a, b implica que f es integrable sobre cualquier subintervalo c, d, pero en particular las integrales tienen la propiedad de que: Aditividad de la integración sobre intervalos.
Teorema fundamental del cálculo. Sea f una función real integrable definida en un intervalo cerrado a, b. Si se define F para cada x de a, b por: F(x) = int_ax f(t), dt.:entonces F es continua en a, b.
Por ello comenzamos primero con unos comentarios sobre estas funciones. Una función monótona y acotada en un intervalo a, b es integrable y tiene límites laterales finitos en cada punto.
Si p = 2 estos espacios son además un espacio de Hilbert, sea por tanto, L ² μ (X) el espacio de funciones medibles cuadrado-integrables complejo-valoradas en X, módulo el subespacio de esas funciones cuya integral cuadrática sea cero, o equivalentemente igual a cero casi por todas partes. cuadrado integrable significa que la integral del cuadrado de su valor absoluto es finita.
Observe que ni A ni B se definen en todo H, puesto que en el caso de A la derivada no necesita existir, y en el caso de B la función del producto no necesita ser cuadrado-integrable.
En la notación matemática en árabe moderno, que se escribe de derecha a izquierda, se usa un signo integral invertido 22px. Si una función tiene una integral, se dice que es integrable.
Sobre la esfera unitaria, toda función de cuadrado integrable puede, por lo tanto, ser expandida como una combinación lineal de:: f(theta, varphi)0 infty sum_ m=- ell ell f_ ellm, Y_ ellm(theta, varphi).
En esta notación, una función real integrable puede ser expresada como una suma de armónicos esféricos de infinitos términos como: f(theta, varphi) 0 infty sum_ m=- ell ell f_ lm, Y_ lm (theta, varphi).
La integral de Darboux de una función f en a,b existe si y solo si Del Teorema de Caracterización que dice que si f es integrable en a,b entonces ∀ε 0 ∃ P partición de a,b: 0≤U(f,P)-L(f,P)≤ε, evidencia la equivalencia entre las definiciones de Integral de Riemman e Integral de Darboux pues se sigue que La integral de Riemann no está definida para un ancho abanico de funciones y situaciones de importancia práctica (y de interés teórico).
Una función medible cualquiera f, se separa entre sus valores positivos y negativos a base de definir: begin align f+(x) & = begin cases f(x), & text si f(x) 0 0, & text de otro modo end cases f-(x) & = begin cases -f(x), & text si f(x) 0 0, & text de otro modo end cases end align Finalmente, f es Lebesgue integrable si: int_E f, d mu y entonces se define la integral por: int_E f, d mu = int_E f+, d mu - int_E f-, d mu.,!
Si f y g son dos funciones, entonces podemos emplear su producto, potencias y valores absolutos:: (fg)(x) (f(x))2,; f (x) = f(x).,:Si f es Riemann integrable en a, b entonces lo mismo se cumple para f, y: left int_ab f(x), dx right leq int_ab f(x), dx.:Es más, si f y g son ambas Riemann integrables entonces f 2, g 2, y fg son también Riemann integrables, y: left(int_ab (fg)(x), dx right)2 leq left(int_ab f(x)2, dx right) left(int_ab g(x)2, dx right).:Esta desigualdad se conoce como desigualdad de Cauchy-Schwarz, y desempeña un papel fundamental en la teoría de los espacios de Hilbert, donde el lado de la derecha se interpreta como el producto escalar de dos funciones integrables f y g en el intervalo a, b.
A.T. Fomenko, V. V. Trofimov Integrable Systems on Lie Algebras and Symmetric Spaces. Gordon and Breach, 1987. A.T. Fomenko, A.A.Tuzhilin Geometry of Minimal Surfaces in Three-Dimensional Space.