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Curso: 2° Secundaria > Unidad 13

Lección 1: Preguntas estadísticas, representación de datos a través de histogramas y polígonos de frecuencia

Polígonos de frecuencia

Problemas verbales sobre polígonos de frecuencias

Lo que necesitas saber para esta lección

Antes de iniciar esta lección, es necesario que revises la siguiente lección que se relaciona con la noción de histogramas.

Lo que aprenderás en esta lección

En esta lección, aprenderás conceptos relacionados al polígono de frecuencias y su aplicación en la resolución de diversos problemas.

Situación de reflexión

Realizamos una encuesta sobre la edad de los pacientes de una clínica en una población. Sistematizamos los datos en la siguiente tabla:

Edad	$x_{i}$ ‍	$f_{i}$ ‍
$[56; 62]$ ‍	$59$ ‍	$9$ ‍
$[62; 68]$ ‍	$65$ ‍	$7$ ‍
$[68; 74]$ ‍	$71$ ‍	$3$ ‍
$[74; 80]$ ‍	$77$ ‍	$6$ ‍
$[80; 86]$ ‍	$83$ ‍	$5$ ‍
Total	-	$30$ ‍

Marcelo lee la información de la tabla y dice:

“Hay una variación drástica en la cantidad de pacientes que se atienden en la clínica según su edad".

¿Es correcto lo que dice Marcelo?

Explicación

Para saber si lo que dice Marcelo es correcto, elaboraremos el histograma que se asocia a los datos que se recopilaron al hacer la encuesta y se resumieron en la tabla.

Al seguir los pasos sugeridos para elaborar un histograma, obtenemos el siguiente gráfico:

En este gráfico, ¿es fácil observar la variación de las edades de las personas que fueron encuestadas? Algunas veces no es muy fácil.

A partir del histograma, vamos a construir un gráfico de líneas denominado polígono de frecuencias. En el siguiente gráfico, se representa el polígono de frecuencias, construido con segmentos de recta que se trazan sobre el histograma:

Como puedes ver, el segundo gráfico representa más claramente la variación en las edades de las personas que fueron atendidas en la clínica. La variación drástica se observa entre los

64

y los

76

años aproximadamente. Podemos afirmar entonces que lo que dice Marcelo es correcto.

Polígonos de frecuencias

Son diagramas de línea que se obtienen al unir los puntos medios del lado superior de cada rectángulo del histograma correspondiente.

Para completar el polígono, se tiene en cuenta un punto en la marca de clase del intervalo que esta al inicio y otro punto en la marca de clase del intervalo final del histograma, ambos con frecuencia

0

El gráfico generado es un polígono, ya que está formado por segmentos rectos consecutivos.

Recuerda que el histograma y el polígono de frecuencias son gráficos que se utilizan para representar distribuciones de frecuencias para datos agrupados.

¿Cuáles son las ventajas del histograma y el polígono de frecuencias?

Se puede pensar que tanto el histograma como el polígono de frecuencias cumplen la misma función. Para explicar la diferencia entre estos gráficos, consideraremos cada una de sus ventajas.

Ventajas del histograma

Los rectángulos del histograma muestran cada clase de la distribución por separado.
El área de cada rectángulo es proporcional al número total de observaciones en cada clase.

Ventajas del polígono de frecuencias

El polígono de frecuencias es más sencillo de elaborar que su histograma correspondiente.
Bosqueja con mayor claridad el perfil del patrón de comportamiento de los datos.
El polígono se vuelve cada vez más suave y parecido a una curva conforme aumentamos el número de clases y el número de observaciones.

Veamos algunos ejemplos de aplicación del polígono de frencuencias.

Ejemplo 1

El siguiente es un polígono de frecuencias que relaciona el puntaje obtenido en un concurso y la cantidad de participantes del mismo:

¿Cuántos rectángulos debe tener el histograma asociado a este polígono de frencuencias?

Como el histograma nos permite hallar el polígono de frecuencias, en este caso las frecuencias absolutas, podemos hacer la reconstrucción de los rectángulos del histograma.

Para esto, debemos recordar que, para trazar tanto la parte inicial como la parte final del polígono, se consideraron dos clases adicionales en el histograma. Es decir, dos rectángulos más, uno al inicio y otro al final, como puedes observar en el siguiente gráfico:

Ahora, si contamos los rectángulos que son propiamente del histograma, el resultado sería

6

Así, el histograma asociado al polígono de frecuencias tiene $6$ ‍ rectángulos.

Ejemplo 2

Un grupo médico del distrito de San Miguel realizó una campaña de salud en un centro educativo. El objetivo fue determinar los posibles casos de bajo peso y sobrepeso en un grupo de estudiantes del centro educativo. Obtuvieron los siguientes resultados:

De $28$ ‍ $kg$ ‍ a $30$ ‍ $kg$ ‍; $6$ ‍ estudiantes
De $30$ ‍ $kg$ ‍ a $32$ ‍ $kg$ ‍: $10$ ‍ estudiantes
De $32$ ‍ $kg$ ‍ a $34$ ‍ $kg$ ‍: $8$ ‍ estudiantes
De $34$ ‍ $kg$ ‍ a $36$ ‍ $kg$ ‍: $12$ ‍ estudiantes
De $36$ ‍ $kg$ ‍ a $38$ ‍ $kg$ ‍: $4$ ‍ estudiantes
De $38$ ‍ $kg$ ‍ a $40$ ‍ $kg$ ‍: $2$ ‍ estudiantes

¿Cuál es el polígono de frecuencias que relaciona el peso con la cantidad de estudiantes que formaron parte de la campaña?

Como se explicó anteriormente, debemos elaborar el histograma que permitirá obtener el polígono de frecuencias.

Primer paso

Elaboramos nuestra tabla de frecuencias absolutas.

Edad	$x_{i}$ ‍	$f_{i}$ ‍
$[28; 30]$ ‍	$29$ ‍	$6$ ‍
$[30; 32]$ ‍	$31$ ‍	$10$ ‍
$[32; 34]$ ‍	$33$ ‍	$8$ ‍
$[34; 36]$ ‍	$35$ ‍	$12$ ‍
$[36; 38]$ ‍	$37$ ‍	$4$ ‍
$[38; 40]$ ‍	$39$ ‍	$2$ ‍
Total	-	$42$ ‍

Segundo paso

Construimos el histograma que se asocia a la tabla de frecuencias previamente elaborada.

Ahora trazamos el polígono de frecuencias. Recuerda que debes incluir un rectángulo al inicio y otro al final del histograma para obtener el polígono de frecuencias.

Finalmente, tenemos nuestro polígono de frecuencias:

Ejemplo 3

Se realizó un estudio a un grupo de personas para saber cuánto tiempo tardan en utilizar un cajero automático para retirar dinero.

Observa el siguiente gráfico, que representa el histograma y el polígono de frecuencias asociado a este histograma:

Ahora responde:

a) ¿Cuántas personas formaron parte del estudio?

b) ¿Cuál es el tiempo de uso más común, entre las personas que lo utilizan?

c) ¿Qué significan los valores $48$ ‍ segundos y $72$ ‍ segundos?

Parte (a)

Al observar el gráfico, podemos determinar que la cantidad de personas que formaron parte del estudio son:

9 + 7 + 3 + 6 + 5

, es decir, un total de

30

personas.

Estos datos se visualizan con facilidad, porque los vértices del polígono nos permiten obtener la cantidad de personas que corresponde a cada valor de tiempo.

Parte (b)

Para explicar esta parte, es más conveniente completar los valores de los rectángulos del histograma. Así, se tiene el siguiente gráfico:

Recuerda que los valores de tiempo que corresponden al polígono de frecuencias son las marcas de clase de los intervalos que forman parte del histograma.

De ahí, observamos que la cantidad de tiempo más común de uso del cajero automático es de entre