Se suele aproximar una función mediante un número finito de términos de su serie de Taylor. El Teorema de Taylor facilita la estimación cuantitativa del error de dicha aproximación.
Cociente diferencial Serie de Newton Teorema de Taylor Transformación binomial Fórmula de Faulhaber Derivación Numérica Coeficiente de diferencias finitas William F.
El mismo trabajo contenía la famosa fórmula conocida como Teorema de Taylor, cuya importancia sólo se reconoció en 1772, cuando Lagrange se dio cuenta de su valor y lo definió como "el diferencial principal del fundamento del cálculo".
El teorema de Taylor puede expresarse por la fórmula: Delta_h mathrm e hD - 1, Donde D denota el operador derivada, que hace corresponder f, con su derivada f,', es decir, D u u, D3 u= u...
Por lo tanto, la diferencia posterior dividida por h aproxima a la derivada cuando h es pequeño. El error de esta aproximación puede derivarse del teorema de Taylor.
El teorema de Taylor establece que para cualquier x in B: k! left Obsérvese que el primer término aparece el gradiente y en el segundo la matriz hessiana, pero escrito con esta notación particular que resulta más cómoda y compacta.
Además existe una variación del teorema de Taylor para funciones con múltiples variables. La demostración de la fórmula, con el resto de la forma, se sigue trivialmente del teorema de Rolle aplicado a la función: Un cálculo rutinario permite ver que la derivada de esta función cumple que: Se define ahora la función G como: Es evidente que esta función cumple scriptstyle G(a) 0, y al ser esta función diferenciable, por el teorema de Rolle se sigue que: Y como: F(a) left Se obtiene finalmente que: Y substituyendo en esta fórmula la definición de F(a), queda precisamente la fórmula con la forma del resto.
Existen dos expresiones para R que se mencionan a continuación: donde a y x, pertenecen a los números reales, n a los enteros y xi es un número real entre a y x: Si R_n(f), es expresado de la primera forma, se lo denomina Término complementario de Lagrange, dado que el Teorema de Taylor se expone como una generalización del Teorema del valor medio o Teorema de Lagrange, mientras que la segunda expresión de R muestra al teorema como una generalización del Teorema fundamental del cálculo integral.
El teorema de Taylor anterior puede generalizarse al caso de varias variables como se explica a continuación. Sea B una bola en R N centrada en el punto a, y f una función real definida sobre la clausura bar B cuyas derivadas parciales de orden n +1 son todas continuas en cada punto de la bola.
Otro ejemplo es un cubo de agua que está rotando uniformemente; aquí el fluido está sujeto al teorema de Taylor-Proudman que afirma que pequeños movimientos tenderán a producir perturbaciones bidimensionales en el flujo rotacional.
En mecánica de fluidos, el teorema de Taylor-Proudman (por G. I. Taylor y Joseph Proudman) enuncia que cuando un cuerpo sólido es movido lentamente dentro de un fluido que es rotado de forma constante con una gran velocidad angular Omega, la velocidad del fluido será uniforme a lo largo de cualquier línea paralela al eje de rotación.
La forma vectorial del teorema de Taylor–Proudman tal vez se entienda mejor expandiéndola en sus componentes respecto de los ejes coordenados:: Omega_x frac partial mathbf u partial x =0: Omega_y frac partial mathbf u partial y =0: Omega_z frac partial mathbf u partial z =0 Ahora se eligen coordenadas en las cuales Omega_x0 y entonces las ecuaciones se reducen a: frac partial mathbf u partial z =0, si Omega_z neq 0.