Si z es un número complejo, entonces admite una representación mediante módulo y argumento (forma polar) de la forma:: z rho e_ i theta, donde; rho arg(a+bi) De esta manera, en forma polar, las raíces n -ésimas de z, necesarias para la ecuación x_ n=z, pueden ser calculadas por medio de la fórmula:: sqrtnz, sqrtn rho,e i theta + 2 pi k over n, k in 0,1, cdots,n-1 Por tanto, un número complejo tiene n raíces enésimas distintas.
Calcular el polinomio resulta muy costoso, y extraer las raíces exactas de un polinomio de grado alto puede ser difícil de calcular y expresar: el teorema de Abel-Ruffini implica que las raíces de los polinomios de grado alto (5 o superior) no pueden expresarse usándose simplemente raíces enésimas.
Dentro de los números complejos scriptstyle mathbb C, para cada número z siempre es posible encontrar exactamente n raíces enésimas diferentes.
Suma de potencias enésimas:: Si –sólo si– n es impar, an+bn = (a+b)(a n-1 - a n-2 b + a n-3 b2 - cdots + b n-1), Diferencia de potencias enésimas:: an-bn = (a-b)(a n-1 + a n-2 b + a n-3 b2 + cdots + b n-1), Las fórmulas de binomio al cuadrado y binomio al cubo se pueden generalizar mediante el teorema del binomio.
Entre ellas se destacan: Adición de cubos:: a3+b3 = (a+b)(a2-ab+b2), Diferencia de cubos:: a3-b3 = (a-b)(a2+ab+b2), Es más frecuente listar las dos expresiones anteriores como las fórmulas de factorización, ya que los productos no tienen una forma particularmente simétrica, pero el resultado sí (contrástese, por ejemplo, con la fórmula de binomio al cubo).: (a+b)(a2-ab+b2) = a3+b3,: (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3, La suma y la diferencia de cubos se pueden generalizar a sumas y diferencias de potencias enésimas (o n - ésimas: x n).
Esta fórmula puede ser utilizada para encontrar tanto la potencia como las raíces enésimas de un número complejo escrito en la forma polar.: z=r left(cos x+i sin x right) Si el número complejo está en forma binómica, primero hay que convertirlo a forma polar.
Las raíces enésimas de la unidad no reales se presentan en pares de conjugados. Las raíces n -ésimas de la unidad forma con la multiplicación un grupo cíclico de orden n, y de hecho estos grupos comprenden todos los subgrupos finitos multiplicativos de los números complejos, excepto el grupo trivial 0.
Si bien no fue el primero en hacerlo, al-Kashi desarrolló un algoritmo para el cálculo de raíces enésimas que es un caso especial de los métodos que muchos siglos después darían Ruffini y Horner.
Entre las raíces enésimas de la unidad siempre está el número 1, el número -1 solo está cuando n es par y los números i y -i cuando n es múltiplo de cuatro.
Este mensaje de «error» también puede mostrarse si una función u operación no está matemáticamente definida, como es el caso de la división entre cero o las raíces enésimas pares de números negativos (la mayoría de las calculadoras científicas no permiten números complejos, si bien algunas cuentan con una función especial para trabajar con ellos).
En el estudio de los números complejos, se acude al concepto de " primos relativos" para definir raíces primitivas de la unidad. Si n es un número primo todas las raíces enésimas de 1 son raíces primitivas, salvo la raíz 1.
Todas sus raíces enésimas son números irracionales y números algebraicos, que tienden a 1, cuando el índice se hace cada vez más grande Como número entero es el representante canónico de la clase de equivalencia de números naturales (m,n)/ (m,n)~(3,0) ó m+0= n+3; m, n ∈ℕ.