cuándo utilizar ves y vez

Ves es el verbo ver conjugado en segunda persona de presente; significa ver, observar o considerar algo. Vez, en cambio, es un sustantivo que puede utilizarse como equivalente a 'turno', 'tiempo' u 'ocasión'.

Ahora, ¿cómo se escribe primera vez?

Lo correcto es 'primera vez', no 'primer vez'

Pero también, ¿qué es cada vez?

Cada que, cada vez que y siempre que son locuciones conjuntivas sinónimas: Cada que te veo recuerdo, cuando éramos novios. Cada vez que te veo, recuerdo cuando éramos novios.

Sabiendo esto, ¿cómo se escribe a la vez?

La palabra vez también aparece en diferentes locuciones adverbiales, como a la vez, que se emplea con el sentido de 'al mismo tiempo'; de una vez, que equivale a 'en una sola ocasión'; otra vez, que quiere decir 'nuevamente', o tal vez, que significa 'quizá'. Saltemos a la vez a la cuenta de tres.