qué tipo de palabra es fui

La palabra fui es aguda porque la sílaba tónica es la última sílaba. No lleva tilde (acento ortográfico) porque los monosílabos en español no se acentúan. La palabra fui tiene un diptongo ui. Tipo de acentuación: aguda.

Puede que te preguntes, ¿cómo se escribe correctamente fui?

La palabra FUI no debe llevar tilde.

Aunque, ¿cómo se dice fui en pasado?

Fui es primera persona del singular del pasado perfecto de indicativo del verbo semiauxiliar 'ser'. Fui también es primera persona del singular del pasado perfecto de indicativo del verbo 'ir'.

Sin embargo, ¿cuándo se tilda el monosílabo ti?

Ti, pronombre personal de segunda persona, se escribe sin acento ortográfico, a diferencia de lo que ocurre con mí y sí. En los medios de comunicación es muy habitual encontrar frases como «¡Va por tí, Wagner!», «Óscar 2015, la cobertura completa solo para tí» o «Lo que tus ojos dicen de tí».